【正文】 軸于H．設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為．由于tan∠GEH＝tan∠ACO＝，所以，即EH＝2GH．所以．解得．所以G．考點(diǎn)伸展第（2）題求四邊形ABPC的面積，也可以連結(jié)BC（如圖8）．因?yàn)椤鰽BC的面積是定值，因此當(dāng)△PCB的面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積也最大．過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交CB于F．因?yàn)椤鱌CF與△PBF有公共底邊PF，高的和等于C、B兩點(diǎn)間的水平距離，所以當(dāng)PF最大時(shí)，△PCB的面積最大．設(shè)點(diǎn)P(x,－x2＋x＋2)，F(xiàn)(x,－x＋2)，那么PF＝－x2＋2x．當(dāng)x＝1時(shí)，PF最大．此時(shí)P(1, 2)．例 51 湖南省湘西州中考第25題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)B和點(diǎn)C(－3,－3)均在拋物線上，點(diǎn)F在y軸上，過(guò)點(diǎn)作直線l與x軸平行．（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)D(x, y)是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)G，設(shè)線段GD的長(zhǎng)為h，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，線段GD的長(zhǎng)度h最大，最大長(zhǎng)度h的值是多少？（3）若點(diǎn)P(m, n)是拋物線上位于第三象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PF并延長(zhǎng)，交拋物線于另一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QS⊥l，垂足為S，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥l，垂足為N，試判斷△FNS的形狀，并說(shuō)明理由；（4）若點(diǎn)A(－2, t)在線段BC上，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AF，當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，MF＋MA的值最?。?qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與MF＋MA的最小值．圖1 圖2 圖3 圖4圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以y＝ax2．代入點(diǎn)C(－3,－3)，得．所以拋物線的解析式為．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，代入B、C(－3,－3)，得解得，b＝－2．所以直線BC的解析式為．（2）由于點(diǎn)D、G分別在直線BC和拋物線上，所以D，G．所以h＝GD＝＝．因此當(dāng)時(shí)，h取得最大值，最大值為．（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)為H．設(shè)直線PQ的解析式為．聯(lián)立直線PQ：與拋物線，消去y，得．所以x1x2＝．它的幾何意義是HSHN＝．又因?yàn)镠F＝．所以HF2＝HSHN．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因?yàn)椤?與∠3互余，所以∠2與∠3互余．所以△FNS是直角三角形．（4）MF＋MA的最小值是，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是．考點(diǎn)伸展第（3）題也可以通過(guò)計(jì)算得到PF＝PN．同理得到QF＝QS．這樣我們就可以根據(jù)“等邊對(duì)等角”及“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，得到∠NFC＝90176。．應(yīng)用這個(gè)結(jié)論，就容易解答第（4）題：如圖3，作ME⊥l于E，那么MF＝ME．當(dāng)ME＋MA的值最小時(shí)，MF＋MA的值也最小．當(dāng)A、M、E三點(diǎn)共線時(shí)，ME＋MA的值最小，最小值為AE．而AE的最小值為點(diǎn)A到l的垂線段，即AE⊥l時(shí)，AE最?。ㄈ鐖D4）．167。2．1 由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題課前導(dǎo)學(xué)（一）圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求兩條線段之間的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題．產(chǎn)生兩條線段間的函數(shù)關(guān)系，常見(jiàn)的情況有兩種，一是勾股定理，二是比例關(guān)系．還有一種不常見(jiàn)的，就是線段全長(zhǎng)等于部分線段之和．由勾股定理產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，在兩種類(lèi)型的題目中比較常用．類(lèi)型一，已知“邊角邊”，至少一邊是動(dòng)態(tài)的，求角的對(duì)邊．如圖1，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3, 4)，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OB＝x，AB＝y(tǒng)，那么我們?cè)谥苯侨切蜛BH中用勾股定理，就可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．類(lèi)型二，圖形的翻折．已知矩形OABC在坐標(biāo)平面內(nèi)如圖2所示，AB＝5，點(diǎn)O沿直線EF翻折后，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在AB邊上，設(shè)AD＝x，OE＝y(tǒng)，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．圖1 圖2 圖1 圖2 圖3由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，在兩種類(lèi)型的題目中比較常用．一是由平行線產(chǎn)生的對(duì)于線段成比例，二是相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．一般步驟是先說(shuō)理產(chǎn)生比例關(guān)系，再代入數(shù)值或表示數(shù)的字母，最后整理、變形，根據(jù)要求寫(xiě)出定義域．關(guān)鍵是尋找比例關(guān)系，難點(diǎn)是有的整理、變形比較繁瑣，容易出錯(cuò)．課前導(dǎo)學(xué)（二）圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求面積隨某個(gè)量變化的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題．計(jì)算面積常見(jiàn)的有四種方法，一是規(guī)則圖形的面積用面積公式；二是不規(guī)則圖形的面積通過(guò)割補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算；三是同高（或同底）三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)邊（或高）的比；四是相似三角形的面積比等于相似比的平方．前兩種方法容易想到，但是靈活使用第三種和第四種方法，可以使得運(yùn)算簡(jiǎn)單．一般情況下，在求出面積S關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系后，會(huì)提出在什么情況下（x為何值時(shí)），S取得最大值或最小值．關(guān)于面積的最值問(wèn)題，有許多經(jīng)典的結(jié)論．例1，周長(zhǎng)一定的矩形，當(dāng)正方形時(shí)，面積最大．例2，面積一定的矩形，當(dāng)正方形時(shí)，周長(zhǎng)最?。?，周長(zhǎng)一定的正多邊形，當(dāng)邊數(shù)越大時(shí)，面積越大，極限值是圓．例4，如圖1，銳角△ABC的內(nèi)接矩形DEFG的面積為y，AD＝x，當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，面積y最大．例5，如圖2，點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于AB的中點(diǎn)E的正上方時(shí)，△PAB的面積最大．例6，如圖3，△ABC中，∠A和對(duì)邊BC是確定的，當(dāng)AB＝AC時(shí)，△ABC的面積最大．例 1 湖南省常德市中考第26題如圖1，圖2，已知四邊形ABCD為正方形，在射線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，作PE⊥AD（或延長(zhǎng)線）于E，作PF⊥DC（或延長(zhǎng)線）于F，作射線BP交EF于G．（1）在圖1中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，四邊形ABFE的面積為y，設(shè)AP＝，求y關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）GB⊥EF對(duì)于圖1，圖2都是成立的，請(qǐng)任選一圖形給出證明；（3）請(qǐng)根據(jù)圖2證明：△FGC∽△PFB．圖1 圖2圖3 圖4圖文解析（1）如圖3，延長(zhǎng)EP交BC于M，延長(zhǎng)FP交AB于N，那么四邊形AEPN和四邊形CFPM是正方形．由AP＝，可得正方形AEPN的邊長(zhǎng)為．所以FC＝DE＝．由于S△DEF＝＝，S△BCF＝＝，所以y＝S四邊形ABFE＝S正方形ABCD－S△DEF－S△BCF＝4－－＝．（2）如圖4，因?yàn)閠an∠EFP＝，tan∠PBN＝，且PE＝NP，PF＝NB，所以∠EFP＝∠PBN．又因?yàn)椤?＝∠2，∠1＋∠PBN＝90176。，所以∠2＋∠EFP＝90176。．所以GB⊥EF．（3）如圖5，由于GB⊥EF，∠BCF＝90176。，所以B、C、G、F四點(diǎn)共圓．所以∠FCG＝∠PBF，∠CGB＝∠CFB．又因?yàn)椤螩GF＝∠CGB＋90176。，∠BFP＝∠CFB＋90176。，所以∠CGF＝∠BFP．所以△FGC∽△PFB．圖5 圖6 圖7考點(diǎn)伸展如圖6， 由于tan∠EFP＝tan∠PBN， 所以∠EFP＝∠PBN．又因?yàn)椤螾BN＋∠1＝90176。，所以∠EFP＋∠1＝90176。．因此這種情況下，依然有BG⊥EF．第（1）題還有更簡(jiǎn)便的割補(bǔ)辦法：如圖7，連結(jié)EN．由于S四邊形NBFE＝S△ENF＋S△BNF＝，S△AEN＝，所以y＝S四邊形ABFE＝S四邊形NBFE＋S△AEN＝．例 2 湖南省湘潭市中考第25題如圖1，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)F在BC邊上，DF⊥AB，EF⊥AC，垂足分別為D、E．（1）求證：△BDF∽△CEF；（2）若a＝4，設(shè)BF＝m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時(shí)S取得最大值；（3）已知A、D、F、E四點(diǎn)共圓，已知tan∠EDF＝，求此圓的直徑（用含a的式子表示）． 圖文解析（1）如圖1，因?yàn)椤螧＝∠C＝60176。，∠BDF＝∠CEF＝90176。，所以△BDF∽△CEF．（2）如圖2，當(dāng)?shù)冗吶切蜛BC的邊長(zhǎng)a＝4時(shí)，S△ABC＝．在Rt△BDF中，∠B＝60176。，BF＝m，所以，．所以S△BDF＝＝．在Rt△CEF中，∠C＝60176。，CF＝4－m，所以，．所以S△CEF＝＝．因此S＝S四邊形ADFE＝S△ABC－S△BDF－S△CEF＝＝＝．所以當(dāng)m＝2時(shí)，S取得最大值，最大值為．此時(shí)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)（如圖3）．（3）如圖4，由于A、D、F、E四點(diǎn)共圓，所以∠EAF＝∠EDF．因?yàn)椤螦EF＝90176。，所以AF是圓的直徑．在Rt△EAF中，由于tan∠EAF＝＝，設(shè)EF＝，EA＝2x．在Rt△ECF中，∠C＝60176。，所以．因此EC＝x．由AC＝EA＋EC＝a，得2x＋x＝a．所以x＝．所以在Rt△EAF中，EF＝，EA＝，由勾股定理，得圓的直徑AF＝．圖1 圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（2）題也可以求△ADF與△AEF的面積和．由于，所以AD＝，S△ADF＝．由于，所以AE＝，S△AEF＝．因此S＝S△ADF＋S△AEF＝＝．例 3 湖南省郴州市中考第25題如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90176。，∠B＝60176。，BC＝16cm，AD是斜邊BC上的高，垂足為D，BE＝1cm，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)，與點(diǎn)M同時(shí)同方向以相同的速度運(yùn)動(dòng)．以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH．點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)G剛好落在線段AD上？（2）設(shè)正方形MNGH與Rt△ABC重疊部分的圖形的面積為S．當(dāng)重疊部分的圖形是正方形時(shí)，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；（3）設(shè)正方形MNGH的邊NG所在直線與線段AC交于點(diǎn)P，連結(jié)DP，當(dāng)t為何值時(shí)，△CPD是等腰三角形？圖2 圖1圖3圖4 圖5當(dāng)點(diǎn)G剛好落在線段AD上時(shí)，DN＝0．而DN＝BD－BM－MN＝4－t－1＝3－t，所以3－t＝0．解得t＝3． （2）重疊部分的圖形是正方形，存在兩種情況：①當(dāng)HM在AD的左側(cè)時(shí)，正方形MNGH的大小不變，邊長(zhǎng)為1，S＝1．如圖3，當(dāng)H落在AB上時(shí)，BM＝HMtan30176。＝．所以≤t＜4．②如圖4，當(dāng)HM在AD上時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為t－3，S＝(t－3)2．如圖5，當(dāng)G落在AC上時(shí)，AH＝HGtan30176。＝．由AD＝，得．解得．所以4≤t≤．（3）等腰三角形CPD存在兩種情況：①如圖6，當(dāng)PC＝PD時(shí)，點(diǎn)P在DC的垂直平分線上，N是DC的中點(diǎn)．此時(shí)t＝3＋6＝9．②如圖7，當(dāng)CP＝CD＝12時(shí)，在Rt△CPN中，由cos30176。＝，得．此時(shí)t＝．圖6 圖7 25題圖1考點(diǎn)伸展當(dāng)點(diǎn)G落在AC上時(shí)，CG∶AG的比值是多少呢？如圖5，．例 4 湖南省常德市中考第25題如圖1，曲線y1是拋物線的一部分，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且表達(dá)式為（x≤3），曲線y2與曲線y1關(guān)于直線x＝3對(duì)稱(chēng)．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線y2的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)C作CD//x軸交曲線y1于點(diǎn)D，連結(jié)AD，在曲線y2上有一點(diǎn)M，使得四邊形ACDM為箏形（如果一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線垂直平分，這樣的四邊形為箏形），請(qǐng)求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)直線CM與軸交于點(diǎn)N，試問(wèn)在線段MN下方的曲線y2上是否存在一點(diǎn)P，使△PMN的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖文解析（1）由，得A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, )．因?yàn)锳(－1, 0)、B(3, 0) 關(guān)于直線x＝3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(7, 0)、B(3, 0)，所以拋物線y2的表達(dá)式為（x＞3）．（2）由CD//x軸，可知C、D關(guān)于拋物線y1的對(duì)稱(chēng)軸x＝1對(duì)稱(chēng)，所以D(2,)．如圖2，由A(－1, 0)、C(0,)、D(2,)，可得AC＝DC＝2．因此點(diǎn)C在AD的垂直平分線上．如果四邊形ACDM的對(duì)角線互相垂直平分，那么四邊形ACDM是菱形，此時(shí)點(diǎn)M在x軸上，不在拋物線y2上．因此只存在MC垂直平分AD的情況．如圖2，如圖3，過(guò)點(diǎn)A、M分別作x軸的垂線，與直線CD分別交于點(diǎn)G、H，那么∠ADG＝∠CMH．由于tan∠ADG＝＝，所以∠ADC＝30176。．因此．設(shè)M，那．整理，得x2－13x＋24＝0．解得．所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．（3）如圖2，如圖3，由于∠ADC＝30176。，當(dāng)CM⊥AD時(shí)，∠OCN＝30176。．所以O(shè)N＝OC＝1，N(1, 0)．所以直線CN為．如圖4，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為K，PK交MN于E，過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線交PK于F．所以S△PMN＝S△PME＋S△PNE＝．因?yàn)镸F＋NK為定值，因此當(dāng)PE最大時(shí)，△PMN的面積最大．設(shè)P，E，那么PE＝＝＝．所以當(dāng)時(shí)，PE取得最大值，△PMN面積最大．此時(shí)P．考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣思考：如圖5，由于MN是定值，因此點(diǎn)P到MN的距離最大時(shí)，△PMN的面積也最大．過(guò)點(diǎn)P作MN的平行線，當(dāng)這條直線與拋物線y2只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩條平行線間的距離最大，也就是說(shuō)方程組只有一組解，即?＝0．解得．圖2 圖3 圖4 圖5167。3．1 代數(shù)計(jì)算及通過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題課前導(dǎo)學(xué)計(jì)算說(shuō)理是通過(guò)計(jì)算得到結(jié)論；說(shuō)理計(jì)算側(cè)重說(shuō)理，說(shuō)理之后進(jìn)行代入求值．壓軸題中的代數(shù)計(jì)算題，主要是