【正文】 ．所以O(shè)N＝OC＝1，N(1, 0)．所以直線CN為．如圖4，過點P作x軸的垂線，垂足為K，PK交MN于E，過點M作y軸的垂線交PK于F．所以S△PMN＝S△PME＋S△PNE＝．因為MF＋NK為定值，因此當(dāng)PE最大時，△PMN的面積最大．設(shè)P，E，那么PE＝＝＝．所以當(dāng)時，PE取得最大值，△PMN面積最大．此時P．考點伸展第（3）題也可以這樣思考：如圖5，由于MN是定值，因此點P到MN的距離最大時，△PMN的面積也最大．過點P作MN的平行線，當(dāng)這條直線與拋物線y2只有一個交點時，兩條平行線間的距離最大，也就是說方程組只有一組解，即?＝0．解得．圖2 圖3 圖4 圖5167。．因此．設(shè)M，那．整理，得x2－13x＋24＝0．解得．所以點M的橫坐標(biāo)為．（3）如圖2，如圖3，由于∠ADC＝30176。＝．由AD＝，得．解得．所以4≤t≤．（3）等腰三角形CPD存在兩種情況：①如圖6，當(dāng)PC＝PD時，點P在DC的垂直平分線上，N是DC的中點．此時t＝3＋6＝9．②如圖7，當(dāng)CP＝CD＝12時，在Rt△CPN中，由cos30176。BC＝16cm，AD是斜邊BC上的高，垂足為D，BE＝1cm，點M從點B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運動，點N從點E出發(fā)，與點M同時同方向以相同的速度運動．以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH．點M到達(dá)點D時停止運動，點N到達(dá)點C時停止運動．設(shè)運動時間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時，點G剛好落在線段AD上？（2）設(shè)正方形MNGH與Rt△ABC重疊部分的圖形的面積為S．當(dāng)重疊部分的圖形是正方形時，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t的取值范圍；（3）設(shè)正方形MNGH的邊NG所在直線與線段AC交于點P，連結(jié)DP，當(dāng)t為何值時，△CPD是等腰三角形？圖2 圖1圖3圖4 圖5當(dāng)點G剛好落在線段AD上時，DN＝0．而DN＝BD－BM－MN＝4－t－1＝3－t，所以3－t＝0．解得t＝3． （2）重疊部分的圖形是正方形，存在兩種情況：①當(dāng)HM在AD的左側(cè)時，正方形MNGH的大小不變，邊長為1，S＝1．如圖3，當(dāng)H落在AB上時，BM＝HMtan30176。所以．因此EC＝x．由AC＝EA＋EC＝a，得2x＋x＝a．所以x＝．所以在Rt△EAF中，EF＝，EA＝，由勾股定理，得圓的直徑AF＝．圖1 圖2 圖3 圖4考點伸展第（2）題也可以求△ADF與△AEF的面積和．由于，所以AD＝，S△ADF＝．由于，所以AE＝，S△AEF＝．因此S＝S△ADF＋S△AEF＝＝．例 3 湖南省郴州市中考第25題如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90176。CF＝4－m，所以，．所以S△CEF＝＝．因此S＝S四邊形ADFE＝S△ABC－S△BDF－S△CEF＝＝＝．所以當(dāng)m＝2時，S取得最大值，最大值為．此時點F是BC的中點（如圖3）．（3）如圖4，由于A、D、F、E四點共圓，所以∠EAF＝∠EDF．因為∠AEF＝90176。所以△BDF∽△CEF．（2）如圖2，當(dāng)?shù)冗吶切蜛BC的邊長a＝4時，S△ABC＝．在Rt△BDF中，∠B＝60176。．因此這種情況下，依然有BG⊥EF．第（1）題還有更簡便的割補辦法：如圖7，連結(jié)EN．由于S四邊形NBFE＝S△ENF＋S△BNF＝，S△AEN＝，所以y＝S四邊形ABFE＝S四邊形NBFE＋S△AEN＝．例 2 湖南省湘潭市中考第25題如圖1，△ABC為等邊三角形，邊長為a，點F在BC邊上，DF⊥AB，EF⊥AC，垂足分別為D、E．（1）求證：△BDF∽△CEF；（2）若a＝4，設(shè)BF＝m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時S取得最大值；（3）已知A、D、F、E四點共圓，已知tan∠EDF＝，求此圓的直徑（用含a的式子表示）． 圖文解析（1）如圖1，因為∠B＝∠C＝60176。所以∠CGF＝∠BFP．所以△FGC∽△PFB．圖5 圖6 圖7考點伸展如圖6， 由于tan∠EFP＝tan∠PBN， 所以∠EFP＝∠PBN．又因為∠PBN＋∠1＝90176。所以B、C、G、F四點共圓．所以∠FCG＝∠PBF，∠CGB＝∠CFB．又因為∠CGF＝∠CGB＋90176。所以∠2＋∠EFP＝90176。．應(yīng)用這個結(jié)論，就容易解答第（4）題：如圖3，作ME⊥l于E，那么MF＝ME．當(dāng)ME＋MA的值最小時，MF＋MA的值也最?。?dāng)A、M、E三點共線時，ME＋MA的值最小，最小值為AE．而AE的最小值為點A到l的垂線段，即AE⊥l時，AE最小（如圖4）．167。HN＝．又因為HF＝．所以HF2＝HS1．7 因動點產(chǎn)生的線段和差問題課前導(dǎo)學(xué)線段和差的最值問題，常見的有兩類：第一類問題是“兩點之間，線段最短”．兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）．三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）．兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點共線時，兩條線段差的最大值就是第三邊的長．如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時點P在AB的延長線上，即P′．解決線段和差的最值問題，有時候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題．第二類問題是“兩點之間，線段最短”結(jié)合“垂線段最短”．如圖4，正方形ABCD的邊長為4，AE平分∠BAC交BC于E．點P在AE上，點Q在AB上，那么△BPQ周長的最小值是多少呢？如果把這個問題看作“牛喝水”問題，AE是河流，但是點Q不確定啊．第一步，應(yīng)用“兩點之間，線段最短”．如圖5，設(shè)點B關(guān)于“河流AE”的對稱點為F，那么此刻PF＋PQ的最小值是線段FQ．第二步，應(yīng)用“垂線段最短”．如圖6，在點Q運動過程中，F(xiàn)Q的最小值是垂線段FH．這樣，因為點B和河流是確定的，所以點F是確定的，于是垂線段FH也是確定的．圖4 圖5 圖6圖1 圖2例 50 湖南省郴州市中考第26題已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三點．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最??？若存在，請求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(－1, 0)、B(2, 0)兩點，設(shè)y＝a(x＋1)(x－2)．代入點C(0, 2)，可得a＝－1．所以這條拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）如圖3，連結(jié)OP．設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,－x2＋x＋2)．由于S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2，所以S四邊形ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4．因此當(dāng)x＝1時，四邊形ABPC的面積最大，最大值為4．此時P(1, 2)．（3）第一步，幾何說理，確定點G的位置：如圖4，在△CMG中，CM為定值，因此當(dāng)GC＋GM最小時，△CMG的周長最?。捎贕A＝GC，因此當(dāng)GA＋GM最小時，GC＋GM最?。?dāng)點G落在AM上時，GA＋GM最?。ㄈ鐖D5）．圖3 圖4 圖5圖6 圖7 圖8第二步，代數(shù)計算，求解點G的坐標(biāo)：如圖6，cos∠CAO＝，所以，E．如圖7，由y＝－x2＋x＋2＝，得M．由A(－1, 0)、M，得直線AM的解析式為．作GH⊥x軸于H．設(shè)點G的坐標(biāo)為．由于tan∠GEH＝tan∠ACO＝，所以，即EH＝2GH．所以．解得．所以G．考點伸展第（2）題求四邊形ABPC的面積，也可以連結(jié)BC（如圖8）．因為△ABC的面積是定值，因此當(dāng)△PCB的面積最大時，四邊形ABPC的面積也最大．過點P作x軸的垂線，交CB于F．因為△PCF與△PBF有公共底邊PF，高的和等于C、B兩點間的水平距離，所以當(dāng)PF最大時，△PCB的面積最大．設(shè)點P(x,－x2＋x＋2)，F(xiàn)(x,－x＋2)，那么PF＝－x2＋2x．當(dāng)x＝1時，PF最大．此時P(1, 2)．例 51 湖南省湘西州中考第25題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c關(guān)于y軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點O，點B和點C(－3,－3)均在拋物線上，點F在y軸上，過點作直線l與x軸平行．（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；（2）設(shè)點D(x, y)是線段BC上的一個動點（點D不與B、C重合），過點D作x軸的垂線，與拋物線交于點G，設(shè)線段GD的長為h，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時，線段GD的長度h最大，最大長度h的值是多少？（3）若點P(m, n)是拋物線上位于第三象限的一個動點，連結(jié)PF并延長，交拋物線于另一點Q，過點Q作QS⊥l，垂足為S，過點P作PN⊥l，垂足為N，試判斷△FNS的形狀，并說明理由；（4）若點A(－2, t)在線段BC上，點M為拋物線上的一個動點，連結(jié)AF，當(dāng)點M在何位置時，MF＋MA的值最?。堉苯訉懗龃藭r點M的坐標(biāo)與MF＋MA的最小值．圖1 圖2 圖3 圖4圖文解析（1）因為拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，所以y＝ax2．代入點C(－3,－3)，得．所以拋物線的解析式為．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，代入B、C(－3,－3)，得解得，b＝－2．所以直線BC的解析式為．（2）由于點D、G分別在直線BC和拋物線上，所以D，G．所以h＝GD＝＝．因此當(dāng)時，h取得最大值，最大值為．（3）如圖2，設(shè)點為H．設(shè)直線PQ的解析式為．聯(lián)立直線PQ：與拋物線，消去y，得．所以x1．（3）如圖5，連結(jié)MQ，那么∠PMQ＝90176。．此時等邊三角形ABC的高為，所以S△ABC＝．（2）0176。sinB＝．因此OD＝DE，即圓心D到直線AB的距離等于圓D的半徑．所以此時圓D與直線AB相切于點E（如圖4）．考點伸展在本題情境下，點P運動到什么位置時，平行四邊形ACDP的面積最大？S平行四邊形ACDP＝AC1．5 因動點產(chǎn)生的面積問題課前導(dǎo)學(xué)面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類：第一類，先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗方程的根．第二類，先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗證假設(shè)是否正確．如圖1，如果三角形的某一條邊與坐標(biāo)軸平行，計算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式．如圖2，圖3，三角形的三條邊沒有與坐標(biāo)軸平行的，計算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補”的方法．圖1 圖2 圖3圖4 圖5 圖6計算面積長用到的策略還有：如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖5，同底三角形的面積比等于高的比．如圖6，同高三角形的面積比等于底的比．例 32 湖南省常德市中考第25題如圖1，已知二次函數(shù)的圖象過點O(0,0)、A(4，0)、B()，M是OA的中點．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)P是拋物線上的一點，過P作x軸的平行線與拋物線交于另一點Q，要使四邊形PQAM是菱形，求點P的坐標(biāo)；（3）將拋物線在軸下方的部分沿軸向上翻折，得曲線OB′A（B′為B關(guān)于x軸的對稱點），在原拋物線x軸的上方部分取一點C，連結(jié)CM，CM與翻折后的曲線OB′A交于點D，若△CDA的面積是△MDA面積的2倍，這樣的點C是否存在？若存在求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于O(0,0)、A(4，0)兩點，設(shè)y＝ax(x－4)．代入點B()，得．解得．所以．（2）如圖2，由A(4，0)，M是OA的中點，可知OA＝4，MA＝2，M(2, 0)．如果四邊形PQAM是菱形，已知PQ//OA，首先要滿足PQ＝2，再必須MP＝2．因為拋物線的對稱軸是直線x＝2，P、Q關(guān)于x＝2對稱，所以點P的橫坐標(biāo)為1，故點P的坐標(biāo)為．由M(2, 0)、P，可得MP＝2．所以當(dāng)點P的坐標(biāo)為時，四邊形PQAM是菱形．（3）如圖3，作CE⊥x軸于E，作DF⊥x軸于F．我們把面積進行兩次轉(zhuǎn)換：如果△CDA的面積是△MDA面積的2倍，那么△MCA的面積是△MDA面積的3倍．而△MCA與△MDA是同底三角形，所以高的比CE∶DF＝3∶1，即yC∶yD＝3∶1．因此ME∶MF＝3∶1．設(shè)MF＝m，那么ME＝3m．原拋物線的解析式為，所以翻折后的拋物線的解析式為．所以D，C．根據(jù)yC∶yD＝3∶1，列方程．整理，得3m2＝4．解得．所以．所以點C的坐標(biāo)為（如圖3），或（如圖4）．圖1 圖2 圖3 圖4考點伸展第（1）題可以設(shè)拋物線的頂點式：由點O(0,0), A(4，0)，B()的坐標(biāo)，可知點B是拋物線的頂