數(shù)學中考壓軸題解析-資料下載頁
2025-06-07 19:01本頁面
【正文】 B26．解：（1）CD=BE．理由如下: 1分 ∵△ABC和△ADE為等邊三角形 ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o ∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD 3分 ∴CD=BE 4分 （2）△AMN是等邊三角形．理由如下： 5分圖11CNDABME ∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD． ∵M、N分別是BE、CD的中點， ∴BM= ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN． ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC． 6分 ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o ∴△AMN是等邊三角形． 7分 設AD=a，則AB=2a． ∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE． ∵△ADE為等邊三角形， ∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o， ∴∠EDC=∠ECD=30o ， ∴∠ADC=90o． 8分 ∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ， ∴ CD=．∵N為DC中點， ∴， ∴． 9分∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN 10分解法二：△AMN是等邊三角形．理由如下： 5分∵△ABE ≌ △ACD，M、N分別是BE、CN的中點，∴AM=AN，NC=MB．∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC ，∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o∴△AMN是等邊三角形 7分設AD=a，則AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a易證BE⊥AC，∴BE=，∴ ∴∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形 ∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN 10分27.（2009年綿陽市）如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOBC在第一象限內(nèi)，E是邊OB上的動點（不包括端點），作∠AEF = 90176。，使EF交矩形的外角平分線BF于點F，設C（m，n）．（1）若m = n時，如圖，求證：EF = AE；（2）若m≠n時，如圖，試問邊OB上是否還存在點E，使得EF = AE？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（3）若m = tn（t＞1）時，試探究點E在邊OB的何處時，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出點E的坐標．xOEBAyCFxOEBAyCFxOEBAyCF25．（1）由題意得m = n時，AOBC是正方形．如圖，在OA上取點C，使AG = BE，則OG = OE．∴ ∠EGO = 45176。，從而 ∠AGE = 135176。．由BF是外角平分線，得 ∠EBF = 135176。，∴ ∠AGE =∠EBF．∵ ∠AEF = 90176。，∴ ∠FEB +∠AEO = 90176。．在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90176。，∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．（2）假設存在點E，使EF = AE．設E（a，0）．作FH⊥x軸于H，如圖．由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．∴ FH = OE，EH = OA．∴ 點F的縱坐標為a，即 FH = a．由BF是外角平分線，知∠FBH = 45176。，∴ BH = FH = a．又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，xOEBAyCFG∴ EH = m－a + a = m．又EH = OA = n， ∴ m = n，這與已知m≠n相矛盾．因此在邊OB上不存在點E，使EF = AE成立．（3）如（2）圖，設E（a，0），F(xiàn)H = h，則EH = OH－OE = h + m－a．由 ∠AEF = 90176。，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，∴ EF =（t + 1）AE等價于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，且，即，整理得 nh = ah + am－a2，∴ ．HxOEBAyCF把h =（t + 1）a 代入得 ，即 m－a =（t + 1）（n－a）．而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．化簡得 ta = n，解得．∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB邊上．∴當E在OB邊上且離原點距離為處時滿足條件，此時E（，0）．
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