山東煙臺(tái)中考數(shù)學(xué)試題解析版-資料下載頁
2025-06-07 17:57本頁面
【正文】 ：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)G，E是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、G重合），直線DE交⊙O于點(diǎn)F，⊙O的半徑為r.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在直徑AB上時(shí)，試證明：OEOP＝r2（2）當(dāng)點(diǎn)E在AB（或BA）的延長線上時(shí)，以如圖2點(diǎn)E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標(biāo)注上字母，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.ABCDEFP.OG（圖1）.ABCDE.OG（圖2）【解】（1）證明：連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ.∵FQ是⊙O直徑，∴∠FDQ＝90176。. ∴∠QFD＋∠Q＝90176。. ∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90176。.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.∴.∴OEOP＝OF2＝r2.（2）解：（1）中的結(jié)論成立.理由：如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM.∵FM是⊙O直徑，∴∠FCM＝90176。，∴∠M＋∠CFM＝90176。.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90176。.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E. ∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.∴，∴OEOP＝OF2＝r2.【思路分析】（1）要證等積式，需要將其化為比例式，再利用相似證明. 觀察圖形，此題顯然要連半徑OF，構(gòu)造OE、OP所在的三角形， 這樣問題便轉(zhuǎn)化為證明△FOE∽△POF了. 而要證明△FOE∽△POF，由于已經(jīng)存在一個(gè)公共角，因此只需再證明另一角對應(yīng)相等即可，這一點(diǎn)利用圓周角定理及其推論可獲證，且方法不惟一；（2）同（1）類似.【方法規(guī)律】此題綜合考查圓的性質(zhì)及相似的知識，解題關(guān)鍵是輔助線的靈活添加. 值得注意的是（2）問是（1）知識的變式，能開拓視野，提高思維深度、靈敏性，其證明同（1）類似，可不必證明.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】（1）不會(huì)添加輔助線；（2）證不出相似所需一角對應(yīng)相等的條件. 【關(guān)鍵詞】圓，圓周角定理，相似.【難度】★★★★☆【題型】證明題. 26. （2011山東煙臺(tái)，26，14分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，=－x+，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（－4，0），（0，4）.動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，在折線BCD上勻速運(yùn)行，（秒）時(shí)，△OPQ的面積為s（不能構(gòu)成△OPQ的動(dòng)點(diǎn)除外）.（1）求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）求s隨t變化的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)t為何值時(shí)s有最大值？并求出最大值.OxyABCDPQOxyABCD（備用圖1）90（備用圖2）90OxyABCD【解】（1）把y＝4代入y＝－x＋，得x＝1. ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）. 當(dāng)y＝0時(shí)，－x＋＝0，∴x＝4.∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0）.（2）作CM⊥AB于M，則CM＝4，BM＝3.∴BC＝＝＝5.∴sin∠ABC＝＝.①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，作QN⊥OB于N，則QN＝BQsin∠ABC＝t.∴S＝OPQN＝（4－t）t ＝－t2＋t（0＜t＜4）.②當(dāng)4＜t≤5時(shí)，（如備用圖1），連接QO，QP，作QN⊥OB于N.同理可得QN＝t.∴S＝OPQN＝（t－4）t. ＝t2－t（4＜t≤5）.③當(dāng)5＜t≤6時(shí)，（如備用圖2），連接QO，QP.S＝OPOD＝（t－4）4. ＝2t－8（5＜t≤6）.（3）①在0＜t＜4時(shí)，當(dāng)t＝＝2時(shí)，S最大＝＝.②在4＜t≤5時(shí)，對于拋物線S＝t2－t，當(dāng)t＝－＝2時(shí)，S最小＝22－2＝－.∴拋物線S＝t2－t的頂點(diǎn)為（2，－）.∴在4＜t≤5時(shí)，S隨t的增大而增大.∴當(dāng)t＝5時(shí)，S最大＝52－5＝2.③在5＜t≤6時(shí)，在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S隨t的增大而增大.∴當(dāng)t＝6時(shí)，S最大＝26－8＝4.∴綜合三種情況，當(dāng)t＝6時(shí)，S取得最大值，最大值是4.（說明：（3）中的②也可以省略，但需要說明：在（2）中的②與③的△OPQ，③中的底邊OP和高CD都大于②③中的△OPQ面積一定大于②中的△OPQ的面積.）【思路分析】（1）點(diǎn)B、C的橫、縱坐標(biāo)分別已知，將其代入直線CB的表達(dá)式y(tǒng)=－x+，可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo). （2）根據(jù)三角形面積公式列函數(shù)關(guān)系式，注意需分三種情況討論. （3）按（2）中的三種情況，結(jié)合所列函數(shù)的性質(zhì)分別求出最大值，最后加以綜合，得出結(jié)論.【方法規(guī)律】此題綜合考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等知識，較以往壓軸題難度降低，一改往年拋物線上架構(gòu)幾何圖形的壓軸題特點(diǎn)，令人耳目一新，也更實(shí)用. 解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形特征分類討論；能靈活應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合自變量取值范圍的限制條件求最值.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】考慮問題不全面，只討論其中一種或二種情況.【關(guān)鍵詞】一次函數(shù)，二次函數(shù)【難度】★★★★☆【題型】壓軸題12
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