【正文】 注意應(yīng)用點(diǎn)在函數(shù)解析式上應(yīng)適合這個(gè)函數(shù)解析式． 16．如圖是一位同學(xué)設(shè)計(jì)的用手電筒來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖．點(diǎn) P 處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn) A 出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻 CD 的頂端 C 處，已知 AB⊥ BD， CD⊥ BD，測(cè)得 AB=2 米， BP=3 米， PD=12 米，那么該古城墻的高度 CD 是 8 米． 【考點(diǎn)】 相似三角形的應(yīng)用． 【分析】 首先證明 △ ABP∽△ CDP，可得 = ，再代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得答案． 【解答】 解：由題意可得： ∠ APE=∠ CPE， ∴∠ APB=∠ CPD， ∵ AB⊥ BD， CD⊥ BD， ∴∠ ABP=∠ CDP=90176。， ∴△ ABP∽△ CDP， ∴ = ， ∵ AB=2 米， BP=3 米， PD=12 米， ∴ = ， CD=8 米， 故答案為： 8． 第 40 頁(yè)（共 50 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例． 17．某地區(qū) 2022 年投入教育經(jīng)費(fèi) 2500 萬(wàn)元， 2022 年投入教育經(jīng)費(fèi) 3025 萬(wàn)元． （ 1）求 2022 年至 2022 年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率； （ 2）根據(jù)（ 1）所得的年平均增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì) 2022 年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬(wàn)元． 【考點(diǎn)】 一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）一般用增長(zhǎng)后的量 =增長(zhǎng)前的量 （ 1+增長(zhǎng)率）， 2022 年要投入教育經(jīng)費(fèi)是 2500（ 1+x）萬(wàn)元，在 2022 年的基礎(chǔ)上再增長(zhǎng) x，就是 2022 年的教育經(jīng)費(fèi)數(shù)額，即可列出方程求解． （ 2）利用（ 1）中求得的增長(zhǎng)率來(lái)求 2022 年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi)． 【解答】 解：設(shè)增長(zhǎng)率為 x，根據(jù)題意 2022 年為 2500（ 1+x）萬(wàn)元， 2022 年為2500（ 1+x） 2 萬(wàn)元． 則 2500（ 1+x） 2=3025， 解得 x==10%，或 x=﹣ （不合題意舍去）． 答：這兩年投入教育經(jīng) 費(fèi)的平均增長(zhǎng)率為 10%． （ 2） 3025 （ 1+10%） =（萬(wàn)元）． 故根據(jù)（ 1）所得的年平均增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì) 2022 年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi) 萬(wàn)元． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了一元二次方程中增長(zhǎng)率的知識(shí)．增長(zhǎng)前的量 （ 1+年平均增長(zhǎng)率） 年數(shù) =增長(zhǎng)后的量． 四、 18．方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為 1 個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)第 41 頁(yè)（共 50 頁(yè)） 系后， △ ABC 的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 4，﹣ 1）． （ 1）作出 △ ABC 關(guān)于 y 軸對(duì)稱的 △ A1B1C1，并寫(xiě)出 A1 的坐標(biāo)； （ 2）作出 △ ABC 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。后得到的 △ A2B2C2，并求出 C2 所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 作圖 旋轉(zhuǎn)變換；作圖 軸對(duì)稱變換． 【分析】 （ 1）分別作出各點(diǎn)關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可，根據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)即可； （ 2）分別作出各點(diǎn)繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。后得到的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算可得 C2 所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)． 【解答】 解：（ 1）如圖， △ A1B1C1 即為所求作三角形 A1（﹣ 5，﹣ 4）； （ 2）如圖， △ A2B2C2即為所求作三角形， ∵ OC2= = ， ∴ C2 所經(jīng)過(guò)的路徑 的長(zhǎng)為 = π． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是作圖﹣軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換，作出各頂點(diǎn)軸對(duì)稱變換和第 42 頁(yè)（共 50 頁(yè)） 旋轉(zhuǎn)變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解答此題作圖的關(guān)鍵． 19．甲布袋中有三個(gè)紅球，分別標(biāo)有數(shù)字 1， 2， 3；乙布袋中有三個(gè)白球，分別標(biāo)有數(shù)字 2， 3， 4．這些球除顏色和數(shù)字外完全相同．小亮從甲袋中隨機(jī)摸出一個(gè)紅球，小剛從乙袋中隨機(jī)摸出一個(gè)白球． （ 1）用畫(huà)樹(shù)狀圖（樹(shù)形圖）或列表的方法，求摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字之和為 6的概率； （ 2）小亮和小剛做游戲，規(guī)則是：若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字之和為奇數(shù)，小亮勝；否則，小剛勝．你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？為什么？ 【考點(diǎn)】 游戲公平性；列表法與樹(shù)狀圖法． 【分析】 游戲是否公平，關(guān)鍵要看游戲雙方獲勝的機(jī)會(huì)是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等． 【解答】 解： （ 1）解法一：樹(shù)狀圖 ∴ P（兩個(gè)球上的數(shù)字之和為 6） = ．（ 2 分） 解法二：列表 2 3 4 1 （ 1， 2） （ 1， 3） （ 1， 4） 2 （ 2， 2） （ 2， 3） （ 2， 4） 3 （ 3， 2） （ 3， 3） （ 3， 4） ∴ P（兩個(gè)球上的數(shù)字之和為 6） = ． （ 2）不公平．（ 1 分） ∵ P（小亮勝） = ， P（小剛勝） = ．（ 2 分） ∴ P（小亮勝） ≠ P（小剛勝）． ∴ 這個(gè)游戲不公平．（ 2 分） 第 43 頁(yè)（共 50 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率 =所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 20．如圖，在 △ ABC 中， BE 平分 ∠ ABC 交 AC 于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) E 作 ED∥ BC 交 AB 于點(diǎn) D． （ 1）求證： AE?BC=BD?AC； （ 2）如果 S△ ADE=3， S△ BDE=2， DE=6，求 BC 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）由 BE 平分 ∠ ABC 交 AC 于點(diǎn) E， ED∥ BC，可證得 BD=DE， △ ADE∽△ ABC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得 AE?BC=BD?AC； （ 2）根據(jù)三角形面積公式與 S△ ADE=3， S△ BDE=2，可得 AD： BD=3： 2，然后由平行線分線段成比例定理，求得 BC 的長(zhǎng)． 【解答】 （ 1）證明： ∵ BE 平分 ∠ ABC， ∴∠ ABE=∠ CBE． …（ 1 分） ∵ DE∥ BC， ∴∠ DEB=∠ CBE…（ 1 分） ∴∠ ABE=∠ DEB． ∴ BD=DE， …（ 1 分） ∵ DE∥ BC， ∴△ ADE∽△ ABC， 第 44 頁(yè)（共 50 頁(yè)） ∴ …（ 1 分） ∴ ， ∴ AE?BC=BD?AC； …（ 1 分） （ 2）解：設(shè) △ ABE 中邊 AB 上的高為 h． ∴ ， …（ 2 分） ∵ DE∥ BC， ∴ ． …（ 1 分） ∴ ， ∴ BC=10． …（ 2 分） 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 21．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC，以 AB 為直徑作 ⊙ O，交 BC 邊于邊 D，交 AC 邊于點(diǎn) G，過(guò) D 作 ⊙ O 的切線 EF，交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，交 AC 于點(diǎn) E． （ 1）求證： BD=CD； （ 2）若 AE=6， BF=4，求 ⊙ O 的半徑． 【考點(diǎn)】 切線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）連接 AD，根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明． （ 2）設(shè) ⊙ O 的半徑為 R，則 FO=4+R， FA=4+2R， OD=R，連接 OD，由 △ FOD∽△FAE，得 = 列出方程即可解決問(wèn)題． 第 45 頁(yè)（共 50 頁(yè)） 【解答】 （ 1）證明：連接 AD， ∵ AB 是直徑， ∴∠ ADB=90176。， ∵ AB=AC， AD⊥ BC， ∴ BD=DC． （ 2）解：設(shè) ⊙ O 的半徑為 R，則 FO=4+R， FA=4+2R， OD=R，連接 OD、 ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ C， ∵ OB=OD， ∴∠ ABC=∠ ODB， ∴∠ ODB=∠ C， ∴ OD∥ AC， ∴△ FOD∽△ FAE， ∴ = ， ∴ = ， 整理得 R2﹣ R﹣ 12=0， ∴ R=4 或（﹣ 3 舍棄）． ∴⊙ O 的半徑為 4． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型． 22．（ 10 分）（ 2022?商丘三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) y=ax第 46 頁(yè)（共 50 頁(yè)） ﹣ a（ a 為常數(shù)）的圖象與 y 軸相交于點(diǎn) A，與函數(shù) 的圖象相交于點(diǎn) B（ m， 1）． （ 1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)及一次函數(shù)的解析式； （ 2）若點(diǎn) P 在 y 軸上，且 △ PAB 為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題． 【分析】 （ 1）由點(diǎn)在函數(shù)圖象上，得到點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求得． （ 2）分兩種情況，一種是 ∠ BPA=90176。，另一種是 ∠ PBA=90176。，所以有兩種答案． 【解答】 解：（ 1） ∵ B 在的圖象上， ∴ 把 B（ m， 1）代入 y= 得 m=2 ∴ B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2， 1） ∵ B（ 2， 1）在直線 y=ax﹣ a（ a 為常數(shù)）上， ∴ 1=2a﹣ a， ∴ a=1 ∴ 一次函數(shù)的解析式為 y=x﹣ 1． （ 2）過(guò) B 點(diǎn)向 y 軸作垂線交 y 軸于 P 點(diǎn)．此時(shí) ∠ BPA=90176。 ∵ B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2， 1） ∴ P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0， 1） 當(dāng) PB⊥ AB 時(shí)， 在 Rt△ P1AB 中， PB=2， PA=2 ∴ AB=2 在等腰直角三角形 PAB 中， PB=PA=2 ∴ PA= =4 ∴ OP=4﹣ 1=3 第 47 頁(yè)（共 50 頁(yè)） ∴ P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0， 3） ∴ P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0， 1）或（ 0， 3）． 【點(diǎn)評(píng)】 主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法是常用的方法，結(jié)合圖形去分析，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要性． 23．（ 12 分）（ 2022 秋 ?余干縣期末）如圖，拋物線 y=﹣ x2+bx+c 與 x 軸交于A、 B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) D，已知 A（﹣ 1， 0），C（ 0， 2）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) P，使 △ PCD 是以 CD 為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 3）點(diǎn) E 時(shí)線段 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E 作 x 軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn) F，當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， △ CBF 的面積最大？求出 △ CBF 的最大面積及此時(shí) E點(diǎn)的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）把 A（﹣ 1， 0）， C（ 0， 2）代入 y=﹣ x2+bx+c 列方程組即可． （ 2）先求出 CD 的長(zhǎng)，分兩種情形 ① 當(dāng) CP=CD 時(shí)， ② 當(dāng) DC=DP 時(shí)分別求解即可． 第 48 頁(yè)（共 50 頁(yè)） （ 3）求出直線 BC 的解析式，設(shè) E 則 F ，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題． 【解答】 解：（ 1）把 A（﹣ 1， 0）， C（ 0， 2）代入 y=﹣ x2+bx+c 得 ， 解得 ， c=2， ∴ 拋物線的解析式為 y=﹣ x2+ x+2． （ 2）存在．如圖 1 中， ∵ C（ 0， 2）， D（ ， 0）， ∴ OC=2， OD= ， CD= = ① 當(dāng) CP=CD 時(shí)，可得 P1（ ， 4）． ② 當(dāng) DC=DP 時(shí)，可得 P2（ ， ）， P3（ ，﹣ ） 綜上所述，滿足條件的 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 或 或 ． （ 3）如圖 2 中， 第 49 頁(yè)（共 50 頁(yè)） 對(duì)于拋物線 y=﹣ x2+ x+2，當(dāng) y=0 時(shí)，﹣ x2+ x+2=0，解得 x1=4， x2=﹣ 1 ∴ B（ 4， 0）， A（﹣ 1， 0）， 由 B（ 4， 0）， C（ 0， 2）得直線 BC 的解析式為 y=﹣ x+2， 設(shè) E 則 F ， EF= ﹣ = ∴ ＜ 0， ∴ 當(dāng) m=2 時(shí)， EF 有最大值 2， 此時(shí) E 是 BC 中點(diǎn)， ∴ 當(dāng) E 運(yùn)動(dòng)到 BC 的中點(diǎn)時(shí)， △ EBC 面積最大， ∴△ EBC 最大面積 = 4 EF= 4 2=4，此時(shí) E（ 2， 1）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用、最值問(wèn)題．等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題． 第 50 頁(yè)（共 50 頁(yè)）