【正文】 2， 3）與點(diǎn) B（ 0， 5）， ∴ ，解得 ． ∴ 此一次函數(shù)的表達(dá)式為 y=﹣ x+5． （ 2）設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ a，﹣ a+5）． ∵ B（ 0， 5）， ∴ OB=5． ∵ S△ POB=10， ∴ ． ∴ |a|=4． 第 43 頁（共 58 頁） ∴ a=177。 4． ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 4， 1）或（﹣ 4， 9）． 21．如圖，四邊形 ABCD 中， AB=10， BC=13， CD=12， AD=5， AD⊥ CD，求四邊形 ABCD 的面積． 【考點(diǎn)】 勾股定理． 【分析】 連接 AC，過點(diǎn) C 作 CE⊥ AB 于點(diǎn) E，在 Rt△ ACD 中根據(jù)勾股定理求出AC 的長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)得出 AE=BE= AB，在 Rt△ CAE 中根據(jù)勾股定理求出 CE 的長(zhǎng)，再由 S 四邊形 ABCD=S△ DAC+S△ ABC 即可得出結(jié)論． 【解答】 解：連接 AC，過點(diǎn) C 作 CE⊥ AB 于點(diǎn) E． ∵ AD⊥ CD， ∴∠ D=90176。． 在 Rt△ ACD 中， AD=5， CD=12， AC= ． ∵ BC=13， 第 44 頁（共 58 頁） ∴ AC=BC． ∵ CE⊥ AB， AB=10， ∴ AE=BE= AB= ． 在 Rt△ CAE 中， CE= ． ∴ S 四邊形 ABCD=S△ DAC+S△ ABC= ． 四、解答題：（本題共 10 分，第 22 題 5 分，第 23 題 5 分） 22．閱讀下列材料： 北京市為了緊抓疏解非首都功能這個(gè) “牛鼻子 ”，遷市場(chǎng)、移企業(yè)，人隨業(yè)走 ．東城、西城、海淀、豐臺(tái) …人口開始出現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)，城六區(qū)人口 2022 年由升轉(zhuǎn)降． 而現(xiàn)在，海淀區(qū)許多地區(qū)人口都開始下降．統(tǒng)計(jì)數(shù)字顯示： 2022 年該區(qū)常住外來人口約為 150 萬人，同比下降 %，減少 萬人，首次實(shí)現(xiàn)了負(fù)增長(zhǎng)． 和海淀一樣，豐臺(tái)也在 2022 年首次實(shí)現(xiàn)了常住外來人口負(fù)增長(zhǎng)，同比下降 %，減少 萬人； 東、西城，常住外來人口同樣呈下降趨勢(shì)： 2022 年東城同比下降 %，減少 5000人，西城則同比下降 %，減少 萬人； 石景山，常住外來人口近年來增速放緩，預(yù)計(jì)到 2022 年年底，全區(qū) 常住外來人口可降至 萬，比 2022 年減少 萬人，首次出現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)； … 2022 年初，市發(fā)改委透露， 2022 年本市將確保完成人口調(diào)控目標(biāo)﹣﹣城六區(qū)常住人口較 2022 年下降 3%，迎來人口由升轉(zhuǎn)降的拐點(diǎn)． 人口下降背后，是本市緊鑼密鼓疏解非首都功能的大戰(zhàn)略． 根據(jù)以上材料解答下列問題： 第 45 頁（共 58 頁） （ 1）石景山區(qū) 2022 年常住外來人口約為 萬人； （ 2） 2022 年東城、西城、海淀、豐臺(tái)四個(gè)城區(qū)常住外來人口同比下降率最高的是 西城 區(qū)；根據(jù)材料中的信息估計(jì) 2022 年這四個(gè)城區(qū)常住外來人口數(shù)最多的是 海淀 區(qū)； （ 3）如果 2022 年海淀區(qū)常住外來人口降到 萬人，求從 2022 年至 2022 年平均每年外來人口的下降率． 【考點(diǎn)】 一元二次方程的應(yīng)用；用樣本估計(jì)總體． 【分析】 （ 1）由 2022 年全區(qū)常住外來人口 萬，比 2022 年減少 萬人，列式為 +=； （ 2）依次把四個(gè)區(qū)人口的同比下降率作比較即可得出同比下降率最高的是西城區(qū)，再計(jì)算四個(gè)城區(qū) 2022 年的人口數(shù)進(jìn)行比較； （ 3）設(shè)海淀平均每年常住外來人口的下降率為 x，原數(shù)為 150 萬人，后來數(shù)為 萬人，下降了兩年，根據(jù)降低率公 式列方程解出即可． 【解答】 解：（ 1） +=， 故答案為： ， （ 2）因?yàn)楹５韰^(qū)同比下降 %，豐臺(tái)同比下降 %，東城同比下降 %，西城則同比下降 %， 所以同比下降率最高的是西城， 2022 年這四個(gè)城區(qū)常住外來人口數(shù)：海淀區(qū)：約為 150 萬人， 豐臺(tái)： 104247。 %﹣ 12022≈ 845142≈ 85（萬人）， 東城： 5000247。 24%﹣ 5000≈ 15833≈ （萬人）， 西城： 18000247。 %﹣ 18000≈ 309272≈ 31（萬人）， 則常住外來人口數(shù)最多的是海淀區(qū)； 故答案為：西城，海淀； （ 3）解：設(shè)海淀平均每年常住外來人口的下降率為 x． 由題意，得 150（ 1﹣ x） 2=． 解得， x1==10%， x2=．（不合題意，舍去） 答：海淀平均每年常住外來人口的下降率為 10%． 第 46 頁（共 58 頁） 23．如圖，四邊形 ABCD 是矩形，點(diǎn) E 在 CD 邊上，點(diǎn) F 在 DC 延長(zhǎng)線上， AE=BF． （ 1）求證：四邊形 ABFE 是平行四邊形； （ 2）若 ∠ BEF=∠ DAE， AE=3， BE=4，求 EF 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)． 【分析 】 （ 1）欲證明四邊形 ABFE 是平行四邊形，只要證明 AE∥ BF， EF∥ AB 即可． （ 2）先證明 △ AEB 是直角三角形，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD=BC， ∠ D=∠ BCD=90176。． ∴∠ BCF=180176。﹣ ∠ BCD=180176。﹣ 90176。=90176。． ∴∠ D=∠ BCF．在 Rt△ ADE 和 Rt△ BCF 中， ∴ Rt△ ADE≌ Rt△ BCF． ∴∠ 1=∠ F． ∴ AE∥ BF． ∵ AE=BF， ∴ 四邊形 ABFE 是平行四邊形． （ 2）解： ∵∠ D=90176。， ∴∠ DAE+∠ 1=90176。． ∵∠ BEF=∠ DAE， ∴∠ BEF+∠ 1=90176。． ∵∠ BEF+∠ 1+∠ AEB=180176。， ∴∠ AEB=90176。． 在 Rt△ ABE 中， AE=3， BE=4， AB= ． 第 47 頁（共 58 頁） ∵ 四邊形 ABFE 是平行四邊形， ∴ EF=AB=5． 五、解答題：（本題共 20 分，第 24 題 6 分，第 2526 題每小題 6 分） 24．如圖 1，將邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD 壓扁為邊長(zhǎng)為 1 的菱形 ABCD．在菱形ABCD 中， ∠ A 的大小為 α，面積記為 S． （ 1）請(qǐng)補(bǔ)全表： α 30176。 45176。 60176。 90176。 120176。 135176。 150176。 S 1 （ 2）填空： 由（ 1）可以發(fā)現(xiàn)單位正方形在壓扁的過程中，菱形的面積隨著 ∠ A 大小的變化而變化，不妨把單位菱形的面積 S 記為 S（ α）．例如：當(dāng) α=30176。時(shí)， S=S（ 30176。）= ；當(dāng) α=135176。時(shí)， S=S= ．由上表可以得到 S（ 60176。） =S（ 120 176。）； S=S（ 30 176。）， …，由此可以歸納出 S=（ α 176。）． （ 3）兩塊相同的等腰直角三角板按圖 2 的方式放置， AD= ， ∠ AOB=α，試探究圖中兩個(gè)帶陰影的三角形面積是否相等，并說明理由（注：可以利用（ 2）中的結(jié)論）． 【考點(diǎn)】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）過 D 作 DE⊥ AB 于點(diǎn) E，當(dāng) α=45176。時(shí)，可求得 DE，從而可求得菱形的面積 S，同理可求當(dāng) α=60176。時(shí) S 的值，當(dāng) α=120176。時(shí)，過 D 作 DF⊥ AB 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，則可求得 DF，可求得 S 的值，同理當(dāng) α=135176。時(shí) S 的值； （ 2）根據(jù)表中所計(jì)算出的 S 的值，可得出答案； 第 48 頁（共 58 頁） （ 3）將 △ ABO 沿 AB 翻折得到菱形 AEBO，將 △ CDO 沿 CD 翻折得到菱形 OCFD．利用（ 2）中的結(jié)論，可求得 △ AOB 和 △ COD 的面積，從而可求得結(jié)論． 【解答】 解： （ 1）當(dāng) α=45176。時(shí)，如圖 1，過 D 作 DE⊥ AB 于點(diǎn) E， 則 DE= AD= ， ∴ S=AB?DE= ， 同理當(dāng) α=60176。時(shí) S= ， 當(dāng) α=120176。時(shí)，如圖 2，過 D 作 DF⊥ AB，交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F， 則 ∠ DAE=60176。， ∴ DF= AD= ， ∴ S=AB?DF= ， 同理當(dāng) α=150176。時(shí)，可求得 S= ， 故表中依次填寫： ； ； ； ； （ 2）由（ 1）可知 S（ 60176。） =S， S=S（ 30176。）， ∴ S=S（ α） 故答案為： 120； 30； α； （ 3）兩個(gè)帶陰影的三角形面積相等． 證明：如圖 3 將 △ ABO 沿 AB 翻折得到菱形 AMBO，將 △ CDO 沿 CD 翻折得到菱形 OCND． 第 49 頁（共 58 頁） ∵∠ AOD=∠ COB=90176。， ∴∠ COD+∠ AOB=180176。， ∴ S△ AOB= S 菱形 AMBO= S（ α） S△ CDO= S 菱形 OCND= S 由（ 2）中結(jié)論 S（ α） =S ∴ S△ AOB=S△ CDO． 25．如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) M 在 CD 邊上，點(diǎn) N 在正方形 ABCD 外部，且滿足 ∠ CMN=90176。， CM=MN．連接 AN， CN，取 AN 的中點(diǎn) E，連接 BE， AC，交于F 點(diǎn)． （ 1） ① 依題意補(bǔ)全圖形； ② 求證： BE⊥ AC． （ 2）請(qǐng)?zhí)骄烤€段 BE， AD， CN 所滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． （ 3）設(shè) AB=1，若點(diǎn) M 沿著線段 CD 從點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D，則在該運(yùn)動(dòng)過程中，線段 EN 所掃過的面積為 （直接寫出答案）． 【考點(diǎn)】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1） ① 依照題意補(bǔ)全圖形即可； ② 連接 CE，由正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出 ∠ ACD=∠ MCN=45176。，從而得出 ∠ ACN=90176。，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及點(diǎn) E 為 AN 的中點(diǎn)即可得出 AE=CE，由此即可得出 B、 E 在線段 AC 的第 50 頁（共 58 頁） 垂直平分線上，由此即可證得 BE⊥ AC； （ 2） BE= AD+ CN．根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出 BF= AD，再結(jié)合三角形的中位線性質(zhì)可得出 EF= CN，由線段間的關(guān)系即可證出結(jié)論； （ 3）找出 EN 所掃過的圖形為四邊形 DFCN．根據(jù)正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出 BD∥ CN，由此得出四邊形 DFCN 為梯形，再由 AB=1，可算出線段 CF、DF、 CN 的長(zhǎng)度，利用梯形的面積公式即可得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） ① 依題意補(bǔ)全圖形，如圖 1 所示． ② 證明：連接 CE，如圖 2 所示． ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴∠ BCD=90176。， AB=BC， ∴∠ ACB=∠ ACD= ∠ BCD=45176。， ∵∠ CMN=90176。， CM=MN， ∴∠ MCN=45176。， ∴∠ ACN=∠ ACD+∠ MCN=90176。． ∵ 在 Rt△ ACN 中，點(diǎn) E 是 AN 中點(diǎn)， ∴ AE=CE= AN． ∵ AE=CE， AB=CB， ∴ 點(diǎn) B， E 在 AC 的垂直平分線上， ∴ BE 垂直平分 AC， ∴ BE⊥ AC． （ 2） BE= AD+ CN． 證明： ∵ AB=BC， ∠ ABE=∠ CBE， ∴ AF=FC． 第 51 頁（共 58 頁） ∵ 點(diǎn) E 是 AN 中點(diǎn)， ∴ AE=EN， ∴ FE 是 △ ACN 的中位線． ∴ FE= CN． ∵ BE⊥ AC， ∴∠ BFC=90176。， ∴∠ FBC+∠ FCB=90176。． ∵∠ FCB=45176。， ∴∠ FBC=45176。， ∴∠ FCB=∠ FBC， ∴ BF=CF． 在 Rt△ BCF 中， BF2+CF2=BC2， ∴ BF= BC． ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴ BC=AD， ∴ BF= AD． ∵ BE=BF+FE， ∴ BE= AD+ CN． （ 3）在點(diǎn) M 沿著線段 CD 從點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D 的過程中，線段 EN 所掃過的圖形為四邊形 DFCN． ∵∠ BDC=45176。， ∠ DCN=45176。， ∴ BD∥ CN， ∴ 四邊形 DFCN 為梯形． ∵ AB=1， ∴ CF=DF= BD= ， CN= CD= ， ∴ S 梯形 DFCN= （ DF+CN） ?CF= （ + ） = ． 故答案為： ． 第 52 頁（共 58 頁） 26．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，圖形 G 的投影矩形定義如下：矩形的兩組對(duì)邊分別平行于 x 軸， y 軸，圖形 G 的頂點(diǎn)在矩形的邊上或內(nèi)部，且矩形的面積最小．設(shè)矩形的較長(zhǎng)的邊與較短的邊的比為 k，我們稱常數(shù) k 為圖形 G 的投影比．如圖 1，矩形 ABCD 為 △ DEF 的投影矩形，其