【正文】 2222 ?????? ???， 整理得 021 22 ??? ttkk 0)21(4 22 ????? tt? ，解得 32??t （舍去），或 32?t ， 32min ??t 5.（ 2022 北京文）（本小題共 14 分） . . m 已知雙曲線 22: 1 ( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的離心率為 3 ，右準(zhǔn)線 方程為 33x? 。 （Ⅰ）求雙曲線 C 的方程； （Ⅱ）已知直線 0x y m? ? ? 與雙曲線 C 交于不同的兩點(diǎn) A， B，且線段 AB 的中點(diǎn)在圓 225xy??上，求 m的值 . 【 解 析 】 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程 等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力． （Ⅰ）由題意，得2 333acca? ????? ???，解得 1, 3ac??， ∴ 2 2 2 2b c a? ? ? ， ∴ 所求 雙曲線 C 的方程為 22 12yx ??. （Ⅱ） 設(shè) A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,x y x y ，線段 AB 的中點(diǎn)為 ? ?00,M x y ， 由 22 120yxx y m? ?????? ? ??得 222 2 0x mx m? ? ? ?（判別式 0?? ） , ∴ 120 0 0,22xxx m y x m m?? ? ? ? ?, ∵點(diǎn) ? ?00,M x y 在圓 225xy??上， ∴ ? ?22 25mm??，∴ 1m?? . 6.（ 2022 北京理）（本小題共 14 分） 已知雙曲線 22: 1 ( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的離心率為 3 ，右準(zhǔn)線方程為 33x? （ Ⅰ ）求雙曲線 C 的方程； （ Ⅱ ）設(shè)直線 l 是圓 22:2O x y??上動(dòng)點(diǎn) 0 0 0 0( , )( 0)P x y x y ?處的切線， l 與雙曲線 C 交 于不同的兩點(diǎn) ,AB，證明 AOB? 的大小為定值 . 【解法 1】 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程 等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力． （Ⅰ）由題意，得2 333acca? ????? ???，解得 1, 3ac??， ∴ 2 2 2 2b c a? ? ? ， ∴ 所求 雙曲線 C 的方程為 22 12yx ??. （ Ⅱ ）點(diǎn) ? ?? ?0 0 0 0,0P x y x y ?在圓 222xy??上， 圓在點(diǎn) ? ?00,P x y 處的切線方程為 ? ?0000xy y x xy? ? ? ?， 化簡(jiǎn)得 002x x y y??. 由 2200122yxx x y y? ????? ???及 22022xy??得 ? ?2 2 20 0 03 4 4 8 2 0x x x x x? ? ? ? ?， ∵切線 l 與雙曲線 C 交于不同的兩點(diǎn) A、 B，且 2022x??， ∴ 203 4 0x ?? ，且 ? ? ? ?2 2 20 0 01 6 4 3 4 8 2 0x x x? ? ? ? ? ?， 設(shè) A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,x y x y ， 則 2001 2 1 2224 8 2,3 4 3 4xxx x x x ?? ? ???， ∵ c os OA OBAOBOA OB????，且 ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 0 1 0 2201 22O A O B x x y y x x x x x xy? ? ? ? ? ? ?， ? ? 21 2 0 1 2 0 1 2201 422x x x x x x x xx ??? ? ? ? ???? ? ?2222 00002 2 2 20 0 0 0828 2 81 43 4 2 3 4 3 4xxxxx x x x?? ?? ??? ? ? ?? ? ? ??? 220022022 2 8 2 03 4 3 4xxxx???? ? ???. ∴ AOB? 的大小為 90? . 【解法 2】 （Ⅰ）同解法 1. （ Ⅱ ）點(diǎn) ? ?? ?0 0 0 0,0P x y x y ?在圓 222xy??上， 圓在點(diǎn) ? ?00,P x y 處的切線方程為 ? ?0000xy y x xy? ? ? ?， 化簡(jiǎn)得 002x x y y??.由 2200122yxx x y y? ????? ???及 22022xy??得 ? ?2 2 20 0 03 4 4 8 2 0x x x x x? ? ? ? ? ① ? ?2 2 20 0 03 4 8 8 2 0x y y x x? ? ? ? ? ② ∵切線 l 與雙曲線 C 交于不同的兩點(diǎn) A、 B，且 2022x??， ∴ 203 4 0x ?? ，設(shè) A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,x y x y ， 則 22001 2 1 222022 2 2 8,3 4 3 4xxx x y yxx????， ∴ 1 2 1 2 0O A O B x x y y? ? ? ?，∴ AOB? 的大小為 90? . （∵ 22022xy??且 000xy? ，∴ 22022 2 , 0 2xy? ? ? ?，從而當(dāng) 203 4 0x ?? 時(shí)，方程①和方程②的判別式均大于零） . 7.（ 2022 江 蘇卷） （本題滿分 10 分） 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，拋物線 C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 2），其焦點(diǎn) F 在 x 軸上。 （ 1）求拋物線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）求過點(diǎn) F，且與直線 OA 垂直的直線的方程； （ 3）設(shè)過點(diǎn) ( , 0)( 0)M m m ? 的直線交拋物線 C 于 D、 E 兩點(diǎn)， ME=2DM，記 D 和 E 兩點(diǎn)間的距離為 ()fm，求 ()fm關(guān)于 m 的表達(dá)式。 【 解析 】 [必做題 ]本小題主要考查直線、拋物線及兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。滿分 10 分。 8.(2022 山東 卷理 )（本小題滿分 14 分） 設(shè)橢圓 E: 221xyab??（ a,b0）過 M（ 2， 2 ） ， N( 6 ,1)兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， （ I）求橢圓 E 的方程； （ II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且 OA OB? ？若存在，寫出該圓的方程，并求 |AB |的取值范圍，若不存在說明理由。 解 :（ 1）因?yàn)闄E圓 E: 221xyab??（ a,b0）過 M（ 2， 2 ） ， N( 6 ,1)兩點(diǎn) , 所以 2222421611abab???????????解得 22118114ab? ????? ???所以 2284ab? ?? ??橢圓 E 的方程為 22184xy?? （ 2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且 OA OB? ,設(shè)該圓的切線方程為 y kx m??解方程組 22184xyy kx m?????????得 222( ) 8x kx m? ? ?,即 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x k m x m? ? ? ? ?, . . o. m 則△ = 2 2 2 2 2 21 6 4 ( 1 2 ) ( 2 8 ) 8 ( 8 4 ) 0k m k m k m? ? ? ? ? ? ?,即 228 4 0km? ? ? 12 2212 24122812kmxxkmxxk? ? ? ??? ???? ?? ??,2 2 2 2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2( 2 8 ) 4 8( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2k m k m m ky y k x m k x m k x x k m x x m mk k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?要使OAOB? ,需使 1 2 1 2 0x x y y??,即 2 2 2222 8 8 01 2 1 2m m kkk??????,所以 223 8 8 0mk? ? ?,所以 22 3808mk ???又228 4 0km? ? ? ,所以 22238mm? ?? ??,所以 2 83m? ,即 263m? 或 263m?? ,因?yàn)橹本€ y kx m??為圓心在原點(diǎn)的圓 的一條切線 , 所以圓的半徑為21mr k? ? , 222228381318mmrmk? ? ??? ?, 263r? , 所求的圓為2283xy??,此時(shí)圓的切線 y kx m??都滿足 263m? 或 263m?? ,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為263x?? 與橢圓 22184xy??的兩個(gè)交點(diǎn)為 2 6 2 6( , )33? 或 2 6 2 6( , )33??滿足 OA OB? ,綜上 , 存在圓心在原點(diǎn)的圓 2283xy??，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且 OA OB? . 因?yàn)?2 2212 24122812kmxxkmxxk? ? ? ??? ???? ?? ??, 所以 2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 2 2 2 24 2 8 8 ( 8 4 )( ) ( ) 4 ( ) 41 2 1 2 ( 1 2 )k m m k mx x x x x x k k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?, ? ? 2222 2 2 21 2 1 2 1 2 228 ( 8 4 )| | ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 2 )kmA B x x y y k x x k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 24 2 4 23 2 4 5 1 3 2 [ 1 ]3 4 4 1 3 4 4 1k k kk k k k??? ? ? ?? ? ? ?, ①當(dāng) 0k? 時(shí)2232 1| | [1 ]13 44AB k k?? ?? 因?yàn)?2214 4 8k k? ? ?所以2 2110 1844k k????, 所以2 232 32 1[1 ] 12133 44k k? ? ???, 所以 4 6 | | 2 33 AB??當(dāng)且僅當(dāng) 22k?? 時(shí)取 ”=”. . ② 當(dāng) 0k? 時(shí) , 46||3AB? . ③ 當(dāng) AB 的斜率不存在時(shí) , 兩個(gè)交點(diǎn)為 2 6 2 6( , )33? 或 2 6 2 6( , )33??,所以此時(shí) 46||3AB? , 綜上 , |AB |的取值范圍為 4 6 | | 2 33 AB??即 : 4| | [ 6 , 2 3 ]3AB ? 【命題立意】 :本題屬于探究是否存在的問題 ,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定 ,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方 法 ,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系 . 9. (2022山東 卷文 )（本小題滿分 14 分） 設(shè) mR? ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,已知向量 ( , 1)a mx y??,向量 ( , 1)b x y??,ab? ,動(dòng)點(diǎn) ( , )Mxy 的軌跡為 E. （ 1）求軌跡 E 的方程 ,并說明該方程所表示曲線的形狀 。 . （ 2）已知 41?m ,證明 :存在圓心在原點(diǎn)的圓 ,使得該圓的任意一條切線與軌跡 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且 OA OB? (O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ),并求出該圓的方程 。 (3)已知 41?m ,設(shè)直線 l 與圓 C: 2 2 2x y R??(1R2)相切于 A1,且 l 與軌跡 E 只有一個(gè)公共點(diǎn) B1,當(dāng) R 為何值時(shí) ,|A1B1|取得最大值 ?并求最大值 . 解 :（ 1）因?yàn)?ab? , ( , 1)a mx y??, ( , 1)b x y??, 所以 22 10a b m x y? ? ? ? ?, 即 221mx y??. . . 當(dāng) m=0 時(shí) ,方程表示兩直線 ,方程為 1??y 。 當(dāng) 1m? 時(shí) , 方程表示的是圓 當(dāng) 0?m 且 1?m 時(shí) ,方程表示 的是橢圓 。 當(dāng) 0?m 時(shí) ,方程表示的是雙曲線 . (2).當(dāng) 41?m 時(shí) , 軌跡 E 的方程為 2 2 14x y??,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為 y kx t??,解方程組 22 14y kx tx y?????????得224( ) 4x kx t? ? ?,即 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x ktx t? ? ? ?