【導(dǎo)讀】形式出現(xiàn)．4．求與橢圓、雙曲線及拋物線有關(guān)的參數(shù)或參數(shù)范圍問題（高頻），如有疑難，還可以看視頻講解！k）的兩條直線與橢圓221xymn+=的交點(diǎn)為。F，設(shè)滿足題意的點(diǎn)為。，∴002txy--=+，，，即???????Q過原點(diǎn)且斜率分別為k和kk-³的直線1ly=kx:，2lykx:=-關(guān)于x軸和y. 22mnxnmk=+，于是0x是此方程的解，故)1(44422?????，上是單調(diào)函數(shù)．。理由：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)),1[,21???的右焦點(diǎn)，A，為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，yx相似的橢圓方程;的最大值和最小值;yx交于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB上的一點(diǎn)，若OA、OP、OB. yx”．請(qǐng)用推廣或類比的方法提出類似。結(jié)論一：已知AaBb，，，是橢圓221xyab??的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線。與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)，則四邊形AEBF面積的最。的一條定弦AB為對(duì)角線的橢圓內(nèi)接四邊形。相切，則兩切點(diǎn)的

　　

【正文】 雙曲線 C 上，直線 MN 與雙曲線的兩條漸近線分別交于 G 、 H 兩點(diǎn)，求 OGOH 的值． 解析 (1)設(shè) C 的標(biāo)準(zhǔn)方程是 22 1( 0 0 )xy abab? ? ? ?，則由題意得 5c? ， 25ac?，因此 2a? ， 221b c a? ? ?，所以 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 2 14x y??， C 的漸近線方程為.0202,21 ?????? yxyxxy 和即 (2)方法一：如 圖 825，由題意，點(diǎn) ),( EE yxE 在直線 1l ： 1144x x y y??和 2l ： 圖 822 39 2244x x y y??上，因此有 EEE xxyyxx 211 ,44 ?? 44 2 ?? Eyy ，故點(diǎn) M、 N 均在直線44 ?? yyxx EE 上，因此直線 MN 的方程為 44EEx x y y??，設(shè) G、 H 分別是直線 MN與 漸 近 線 02 ?? yx 及 02 ?? yx 的 交 點(diǎn) ， 由 方 程 組 4420EEx x y yxy???? ???及4420EEx x y yxy???? ???，解得4222GEEGEEx xyy xy? ?? ???? ?? ??，4222HEEHEEx xyy xy? ?? ??? ?? ?? ??，故 4 4 2 22 2 2 2E E E E E E E EO G O H x y x y x y x y? ? ? ? ?? ? ? ?22124EExy? ?， 因 為 點(diǎn) E 在 雙 曲 線 2 2 14x y??上 ， 所 以 ， 有 2244EExy??， 從 而2212 34EEO G O H xy? ? ??． 方法二：設(shè) ),( EE yxE ，由方程組得 112244x x y yx x y y?????，解得 211 2 2 14( )E yyx x y x y?? ? ，121 2 2 1Exxy x y x y?? ? ， 故 直 線 MN 的 方 程 為 11()4 EExy y x xy? ? ? ?， 注 意 到1144EEx x y y??，因此，直線 MN 的方程為 44 ?? yyxx EE ．下同方法一． 必殺技： 綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法 本題 主要 考查 雙曲線的 標(biāo)準(zhǔn)方程 、漸近線方程 等基礎(chǔ)知識(shí)； 并以對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的考查為依托，考查了對(duì) 解析幾何的基本思想 的理解與掌握情況及 綜合 運(yùn)算能力、探究意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí) ． 如果進(jìn)一步探究，易得，本題中的直線 1l 、 2l 與橢圓 2 2 14x y??相切，而直線 MN 是雙曲線 14 22 ??yx 的切線，于是，我們提出如下問題： 40 答案： 22O G O H a b? ? ?， 直線 MN 是雙曲線 221xyab??的切線，且還可求得GOH? 的面積為 ab ．證明過程留給讀者自行完成，這里不再贅述． 實(shí)戰(zhàn)演練 1． 設(shè) 直線 l ： y kx m??（ 其中 ,km為整數(shù) ） 與橢圓 22116 12xy??交于不同的兩點(diǎn) A 、B ，與雙曲線 2214 12xy??交于不同的兩點(diǎn) C 、 D ，問是否存在直線 l ， 使得 0AC BD??成立，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由． 2． 已知 雙曲線 221xyab??右支上任意一點(diǎn) E 作拋物線 2 2 ( 0)y px p? ? ?的兩切線，兩切點(diǎn) M ， N 所在直線分別與雙曲線的兩條漸近線交于 G ， H 兩點(diǎn)，試問： (1)是否存在正實(shí)數(shù) p ，使得 OGOH? 為定值？ (2)是否存在正實(shí)數(shù) p ，使得2211| | | |OG OH?為定值？ 3． 已知雙曲線 C ： 2 2 12x y??． (1)已知點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (01)， ．設(shè) P 是雙曲線 C 上的點(diǎn)， Q 是點(diǎn) P 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)， 記 MP MQ???．求 ? 的取值范圍； (2)已知點(diǎn) D 、 E 、 M 的坐標(biāo)分別為 ( 2 1)??， 、 (2 1)?， 、 (01)， ， P 為雙曲線 C 上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)．記 l 為經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn) P 的直線， s 為 DEM△ 截直線 l 所得線段的長(zhǎng)．試將 s 表示為直線 l 的斜率 k 的函數(shù)． 41 參考答案： 1 ． 存在 直線 y kx m?? ，其中 1 0 10 0 0k k km m m? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?， ，0 0 03 2 1k k km m m? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?， ， ，0 0 0 00 1 2 3k k k km m m m? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ，共 9 條． 提示： 方法一： 將 直線 l 的方程 分別 與橢圓、雙曲線的方程聯(lián)立方程組，并利用韋達(dá)定理及 0AC BD??可得 分別討論 0k? 及 0m? 的對(duì)應(yīng)情形，即可得所求結(jié)果． 方法二： 設(shè) 11()Ax y， ， 22()B x y， ， 33()C x y， ， 44()D x y， ，利用點(diǎn)差法可得1 2 1 24 ()3x x k y y? ? ? ?， 3 4 3 4()x x k y y? ? ?，再由 0AC BD??可得 1 2 3 4x x x x? ? ? ，1 2 3 4y y y y? ? ? ， 因 此 ， 便 有 1 2 1 24 ()3 k y y y y? ? ? ?， 所 以 0k? 或1 2 1 2 0x x y y? ? ? ?．若 120xx??，則點(diǎn) A 與 B 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)直線 AB 過原點(diǎn)，有 0m? ．因此，有 0k? 及 0m? ．以下同方法一． 注： 我們可將本題推廣為： 結(jié)論 1： 結(jié)論 2： 以上 結(jié)論的證明，讀者可自行完成． 2． (1)不存在。 提示： 42 (2)不存在，同 (1)的方法． 3． (1) ( 1]???， 。 (2) ? ?2222211 ( 0 ]122 1 1 21 ( )22kkksk kkkkk? ?????? ??? ??? ??， 提示： 若 P為雙曲線 C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則直線 l 的斜率 2(0 )2k? ， ， 由計(jì)算 可得，當(dāng) 1(0, ]2k? 時(shí)， ? ? 222 11s k kk???； 當(dāng)12()22k? ， 時(shí)， ? ? 2221 1ks k kkk???? ， ∴ s 表示為直線 l 的斜率 k 的函數(shù)是? ?22221 ( 0 ]122 1 1 21 ( )22kkksk kkkkk? ?????? ??? ??? ??，． 典型考法 4 雙曲線與圓 典型例題 已知雙曲線 C ： 222 1( 0 )2xy aa ? ? ?的實(shí)軸長(zhǎng)與焦距的比為 13： ． (1)求雙曲線 C 的方程； (2)設(shè)直線 l 是圓 O ： 222xy??上動(dòng)點(diǎn) 0 0 0 0( )( 0)P x y x y ?， 處的切線， l 與雙曲線 C交于不同的兩點(diǎn) A ， B ，證明 AOB? 的大小為定值 ． 解析 (1)由題意，得 2223caca? ???? ???，解得 1a? ， 3c? ， ∴ 所求 雙曲線 C 的方程為 43 22 12yx ??． (2)方法一：點(diǎn) ? ?? ?0 0 0 0,0P x y x y ?在圓 222xy??上，則圓在點(diǎn) ? ?00,P x y 處的切線方程為 002x x y y?? ， 由 2200122yxx x y y? ????? ???及 22020xy?? 得? ?2 2 20 0 03 4 4 8 2 0x x x x x? ? ? ? ?，∵切線 l 與雙曲線 C 交于不同的兩點(diǎn) A、 B，且2020x??，∴ 203 4 0x ?? ，且 ? ? ? ?2 2 20 0 01 6 4 3 4 8 2 0x x x? ? ? ? ? ?，設(shè) A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo) 分 別 為 ? ?11,xy ， ? ?22,xy ，則 012 20434xxx x?? ?， 2012 208234xxx x?? ?，∵c os OA OBAOB OA OB??? ?，且 1 2 1 2O A O B x x y y? ? ?? ? ?? ?1 2 0 1 0 2201 22x x x x x xy? ? ? ? ? 21 2 0 1 2 0 1 2201 422x x x x x x x xx ??? ? ? ? ???? 220202020 2 2 8 03 4 3 4xxxx??? ? ???．∴ AOB? 的大小為 90? ． ． w． k． s． 5． u． c． o． m 方法二：點(diǎn) ? ?? ?0 0 0 0,0P x y x y ?在圓 222xy??上，圓在點(diǎn) ? ?00,P x y 處的切線方程為 002x x y y??．由 2200122yxx x y y? ????? ???及 22020xy??得 ? ?2 2 20 0 03 4 4 8 2 0x x x x x? ? ? ? ? ① ? ?2 2 20 0 03 4 8 8 2 0x y y x x? ? ? ? ? ② ∵切線 l 與雙曲線 C交于不同的兩點(diǎn) A、 B，∴ 203 4 0x ?? ，設(shè) A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,x y x y ，則 22001 2 1 222020 2 2 8,3 4 3 4xxx x y yxx????，∴ 1 2 1 2 0O A O B x x y y? ? ? ?，∴ AOB? 的大小為 90? ．（∵ 22020xy??且 000xy? ，∴ 22020 2 , 0 2xy? ? ? ?，從而當(dāng) 44 203 4 0x ?? 時(shí)，方程①和方程②的判別式均大于零）． 必殺技： 綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法 本例主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程、向量等基礎(chǔ)知識(shí)， 考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力 ．將本題作進(jìn)一步的探究，可得如下結(jié)論： 實(shí)戰(zhàn)演練 1． 從雙曲線 2219 16xy?? 的左焦點(diǎn) F 引圓 229xy??的切線，切點(diǎn)為 T ，延長(zhǎng) FT交 雙曲線右支于點(diǎn) P ．若 M 為線段 FP 的中點(diǎn) ． O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 | | | |MO MT?? ． 2． 已知雙曲線 12222 ??byax 的漸近線方程為 33??yx，左焦點(diǎn)為 F，過 ( 0)Aa， ，(0 )Bb?， 的直線為 l ， 原點(diǎn)到直線 l 的距離是 32 ． (1)求雙曲線的方程； (2)已知直線 y x m?? 交雙曲線于不同的兩點(diǎn) C， D，問是否存在 實(shí)數(shù) m ，使得以 CD為直徑的圓 經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn) F． 若存在 ， 求出 m 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 ． 3． 若 動(dòng)圓 P 恒過定點(diǎn) (2 0)B ， ，且和定圓 C ： 22( 2) 4xy? ? ?外切． (1)求動(dòng)圓圓心 P 的軌跡 E 的方程； 45 (2)若過點(diǎn) B 的直線 l 與曲線 E 交于 M 、 N 兩點(diǎn)，試判斷以 MN 為直徑的圓與直線 m ：12x? 是否相交，若相交，求出截得劣弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)，若不相交，請(qǐng)說明理 由． 參考答案： 1． 1. 提示： 如 圖 823， 注： 本題可進(jìn)一步推廣，具體為： 結(jié)論一： 結(jié)論二： 2． (1) 2 2 13x y??. (2) 32m?? . 提示： 把 y x m?? 代入 2233xy??中消去 y，整理得 222 x 6 m x 3 m 3 0? ? ? ?． 設(shè) 11Cx y( , ) ， 22Dx y( , ) 則 12 3x x m? ? ? ，212 332mxx ??， ( 2 0)F ? ， ， 因?yàn)橐?CD 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn) F，所以 46 0FC FD??，可得 1 2 1 2x 2 x 2 y y 0( ) ( )? ? ? ?，把 11x m??， 22y x m??代入，解得： m 3 2?? ， 由 0?? ，得 2m2? ， m 3 2? ? ? 滿足 0?? ． 3． (1) 22 1( 0)3yxx? ? ?. (2) 相交，且截得劣弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為 23?． 提示： 注 ：本題也可