【正文】 中垂線分別為 12cx ?? ， 11()22byxb? ? ? ．???????????????????????? 2分 聯(lián) 立 方 程 組 ， 解 出21 ,2.2cxbcyb?? ?????? ?????????????????????????? 4分 21 022c b cmn b??? ? ? ?，即 2 0b bc b c? ? ? ? ，即（ 1＋ b）（ b－ c） 0， ∴ bc． ????? ??????????????????????????? 6分 從而 22bc? 即有 222ac? ，∴21e?．???????????????????? 7分 又 0e? ，∴0e??2． ????????????????????????? 8分 （ Ⅱ ） 直 線 AB 與 ⊙ P 不 能相切． ???????????????? ????????? 9分 由 ABkb? ，2210 2PBbcbbk c??? ??＝2( 1)bcbc?? ． ?????????????????? 10 分 如 果 直 線 AB 與 ⊙ P 相 切 ， 則 b 178。 2( 1)bcbc??＝－1． ??????????????? 12 分 解出 c ＝ 0 或 2 ，與 0 ＜ c ＜ 1 矛盾，????????????????????? 14分 所以直線 AB 與 ⊙ P 不能相切． ?????????????????????? 15 分 評(píng)講建議： 此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點(diǎn)，從而大膽求出交點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于橢圓中 a， b， c的齊次等式得離心率的范圍．第二小題亦可以用平幾的知識(shí)：圓的切割線定理，假設(shè)直線 AB 與⊙ P相切，則有 AB2＝ AF179。 AC，易由橢圓中 a， b， c的關(guān)系推出矛盾． 7 (江蘇省前黃高級(jí)中學(xué) 2022屆高三調(diào)研 )已知直線 1yx?? ? 與橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?相交于 A、 B 兩點(diǎn)，且線段 AB 的中點(diǎn)在直線 : 2 0l x y??上 . （Ⅰ）求此橢圓的離心率； （Ⅱ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)的在圓 224xy??上，求此橢圓的方程 . 解：（ 1）設(shè) A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 221 1 2 2221( , ) , ( , ) . 1yxA x y B x y xyab? ? ???? ????，則 由 得2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0a b x a x a a b? ? ? ? ?, 根據(jù)韋達(dá)定理，得221 2 1 2 1 22 2 2 2, ( ) 2 ,abx x y y x xa b a b? ? ? ? ? ? ? ??? ∴線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ 222 2 2 2,aba b a b??） . 由已知得 22 2 2 2 2 2 22 2 2 22 0 , 2 2 ( ) 2ab a b a c a ca b a b? ? ? ? ? ? ? ??? 故橢圓的離心率為 22e? （ 2）由（ 1）知 ,cb? 從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ),0,(bF 設(shè) )0,(bF 關(guān)于直線 02: ?? yxl的對(duì)稱點(diǎn)為 0 0 000 0 0 1( , ) , 1 2 0 ,2 2 2y x b yxy xb??? ? ? ? ? ??則 且解得003455x b y b??且。由已知得 2 2 2 2 200 344 , ( ) ( ) 4 , 455x y b b b? ? ? ? ? ? ?，故所求的橢圓方程為 22184xy?? . 7 (江蘇省前黃高級(jí)中學(xué) 2022 屆高三調(diào)研 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l 與拋物線xy 42 ? 相交于不同的 ,AB兩點(diǎn) . （Ⅰ）如果直線 l 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求 OAOB? 的值； （Ⅱ）如果 4,OA OB? ?? 證明直線 l 必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn) . 解：（Ⅰ）由題意：拋物線焦點(diǎn)為（ 1， 0） 設(shè) ,41: 2 xytyxl ??? 代入拋物線 消去 x 得 ),(),(,044 22112 yxByxAtyy 設(shè)??? 則 4,4 2121 ???? yytyy ， 21 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( ) 1O A O B x x y y ty ty y y t y y t y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 34144 22 ?????? tt （Ⅱ）設(shè) xybtyxl 4: 2 ??? 代入拋物線 消去 x，得 2 1 1 2 24 4 0 , ( , ) , ( , )y ty b A x y B x y? ? ? 設(shè)，則 y1+y2=4t ， y1y2=－ 4b。 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )O A O B x x y y ty b ty b y y t y y bt y y b y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = bbbbbtbt 4444 2222 ?????? 。 令 2044,44 22 ????????? bbbbb ，∴直線 l 過(guò)定點(diǎn)（ 2， 0）。 7 (江蘇省南通通州市 2022屆高三年級(jí)第二次統(tǒng)一測(cè)試 )傾斜角為 60176。的一束平行光線，將一個(gè)半徑為 3 的球投影在水平地面上，形成一個(gè)橢圓．若以該橢圓的中心為原點(diǎn)，較長(zhǎng)的對(duì)稱軸為 x軸，建立平面直角坐標(biāo)系． （ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）若 球的某一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)在地面上的投影恰好分別落在橢圓邊界的 A、 B兩點(diǎn)上，且已知 C（－ 4， 0），求178。的取值范圍． 解：（ 1）設(shè)橢圓方程是 x2a2 + y2b2 = 1 ， 由題知 b= 3 ， 2a= 23cos30? ， a=2 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x24 + y23 = 1 ． 6′ （ 2）設(shè) A（ x1,y1）， B（ x2,y2）， A、 B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) O對(duì)稱， =（ x1＋ 4,y1）， =（ x2＋ 4,y2）， 178。 =（ x1＋ 4,y1）178。（ x2＋ 4,y2） =x1x2＋ 4(x1＋ x2)＋ 16＋ y1y2 = x1x2＋ 16＋ y1y2 9′ AB與 x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 AB的方程是 y=kx，代入橢圓方程 x24 + y23 = 1 得： 21 2 1 2221 2 1 2,3 4 3 4kx x y ykk?????? 178。 =2313 34k? ? 12′ 由于 k可以取任意實(shí)數(shù)，故178。∈ [12， 13）， 14′ AB與 x軸垂直時(shí)， ||=||= 19 ， cos∠ ACB= 219 19 (2 3)2 19 19???=1319 178。 =13 ∴178?！?[12， 13]． 16′ 7 (江蘇省南通通州市 2022屆高三年級(jí)第二次統(tǒng)一測(cè)試 )設(shè) A、 B是拋物線 y=2x2上兩點(diǎn)，求證： AB的垂直平分線 l 經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的充要條件是線段 AB的中點(diǎn)落在 y 軸上。 證明：設(shè) A（ x1,y1） ,B(x2,y2)， AB 的中點(diǎn)落在 y 軸上即 x1＋ x2=0； ∵拋物線 y=2x2的焦 點(diǎn) 1(0, )8F 3′ 充分性：當(dāng) AB的中點(diǎn)落在 y 軸上即 x1＋ x2=0時(shí)， y1=y2， A、 B關(guān)于 y 軸對(duì)稱，直線 l 即為 y軸，經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)。 6′ 必要性： （ 1）直線 l 的斜率不存在且經(jīng)過(guò) 1(0, )8F 時(shí)，直線 l 即為 y軸， A、 B關(guān)于 y軸對(duì)稱， AB的中點(diǎn)落在 y 軸上。 （ 2）直線 l 經(jīng)過(guò) 1(0, )8F 且斜率存在，設(shè)斜率為 k（顯然 k≠ 0），截距為 18 ， 即直線 l ： y=kx+18 由已知得： 12 121212 ( )yy xxx x k? ? ? ? ?? ≠ 0 即 l 的斜率存在時(shí)， AB 的中點(diǎn)不可能落在 y 軸上即題設(shè) A、 B點(diǎn)不存在。 9′ 綜上所述， l 經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的充要條件是線段 AB的中點(diǎn)落在 y 軸上。 10′ 80、 (江西省鷹潭市 2022 屆高三第一次模擬 )橢圓 C： )0(,12222 ???? babyax 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 )0,(),0,( 21 cFcF ? ,M 是橢圓上一點(diǎn)，且 滿足 021 ?? MFMF 。 （ 1）求離心率 e的取值范圍 （ 2）當(dāng)離心率 e取得最小值時(shí)，點(diǎn) N( 0 , 3 )到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為 5 2 (i)求此時(shí)橢圓 C 的方程 (ii)設(shè)斜率為 k(k?0)的直線 l 與橢圓 C相交于不同的兩點(diǎn) A、 B， Q為 AB的中點(diǎn)，問(wèn) A、B 兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn) P（ 0， 33 ）、 Q 的直線對(duì)稱？若能，求出 k 的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解： (1)、由幾何性質(zhì)知的取值范圍為： 22 ≤ e＜ 1?????? 3分 (2)、 (i) 當(dāng)離心率 e 取最小值 22 時(shí)，橢圓方程可表示為 x22b2 + y2b2 = 1 。設(shè) H( x , y )是橢圓上的一點(diǎn)，則 | NH |2 =x2+(y3)2 = (y+3)2+2b2+18 ，其中 b≤ y≤ b 若 0＜ b＜ 3 ，則當(dāng) y = b時(shí)， | NH |2有最大值 b2+6b+9 ，所以由 b2+6b+9=50 解得 b = 3177。 5 2 (均舍去 ) ??????? 5分 若 b≥ 3，則當(dāng) y = 3 時(shí)， | NH |2有最大值 2b2+18 ，所以由 2b2+18=50解得 b2=16 ∴所求橢圓方程為 x232 + y216 = 1?????? 7分 (ii) 設(shè) A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 )， Q( x0 , y0 )，則由???x1232 + y1216 = 1x2232 + y2216 = 1 兩式相減得x0+2ky0=0；???① ???????? 8分 又直線 PQ⊥直線 l，∴直線 PQ 的方程為 y= 1k x 33 ，將點(diǎn) Q( x0 , y0 )坐標(biāo)代入得 y0= 1k x0 33 ???② ???????? 9分 由①②解得 Q( 2 33 k , 33 )，而點(diǎn) Q必在橢圓的內(nèi)部 ∴ x0232 + y0216 1，????? 10 分 由此得 k2 472 ，又 k≠ 0 ∴ 942 k 0或 0 k 942 故當(dāng) ( 942 , 0 ) ∪ ( 0 , 942 )時(shí)， A、 B兩點(diǎn)關(guān)于過(guò)點(diǎn) P、 Q、的直線對(duì)稱。???? 12分 8 (寧夏區(qū) 銀川一中 2022屆第六次月考 )如圖，直線 y=kx+b與橢圓 14 22 ??yx 交于A、 B兩點(diǎn)，記△ AOB的面積為 S． （ I）求在 k=0， 0b1的條件下， S的最大值； （ II）當(dāng) |AB|=2,S=1時(shí)，求直線 AB的方程． 解：（Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 1()xb， ，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 2()xb， ， 由 2 2 14x b??，解得 212 21xb?? ?， ， 所以1212S b x x?? 221bb?? 2211bb? ? ?≤ ． 當(dāng)且僅當(dāng) 22b? 時(shí)， S 取到最大值 1． （Ⅱ）解：由 22 14y kx bx y????? ????， 得 2 2 21 2 1 04k x kb x b??? ? ? ? ?????， 2241kb? ? ? ?， 2 11| | 1 | |AB k x x? ? ? 2222411214kbkk??? ? ??． ② 設(shè) O 到 AB 的距離為 d ，則 2 1||Sd AB??， 又因?yàn)?||1bd k? ?， 所以 221bk??，代入②式并整理，得 421 04kk? ? ? ， 解得 2 12k ? ， 2 32b? ，代