[高考數(shù)學]直線與圓錐曲線綜合問題-資料下載頁
2025-01-09 16:02本頁面
【正文】 B ∴△＞ 0 解得 0,2472 ?? kk 又 29400294 ?????? kk 或 故當 )294,0()0,294( ???k時， A、 B兩點關于點 P、 Q的直線對稱。 （ ii）另解；設直線 l的方程為 y=kx+b 由?????????11632 22 yxbkxy 得 ( * )03224)21( 222 ????? bk b xxk 設 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， Q（ x0， y0），則 2022210 21,21 22 kbbkxykbkxxx ????????? ③ 又直線 PQ⊥直線 l ∴直線 PQ方程為331 ??? xky 將點 Q（ x0， y0）代入上式得，331 00 ??? xky ④ 將③代入④ )21(33 2kb ???⑤ ∵ x1， x2是（ *）的兩根 08)21(168)322)(21(4)4( 22222 ??????????? bkbkkb ⑥ ⑤代入⑥得 0,2472 ?? kk 又 ∴當 )294,0()0,294( ???k時， A、 B兩點關于點 P、 Q的直線對稱 2．（ 2022年山東卷，理科， 22） 如圖，設拋物線方程為 2 2 ( 0) ,x py p M??為直線 2yp?? 上任意一點，過 M 引拋物線的切線，切點分別為 ,.AB （ I）求證： ,AMB 三點的橫坐標成等差數(shù)列； （ II）已知當 M 點的坐標為 ? ?2, 2p? 時， 4 10,AB ? 求此時拋物線的方程； （ III）是否存在點 M ，使得點 C 關于直線 AB 的對稱點 D 在拋物線 2 2 ( 0)x py p??上，其中點 C 滿足 OC OA OB??（ O 為坐標原點）。若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由。 〖答案〗（ I）證明：由題意設 211( , )2xAxp， 222( , )2xBx p， 12,xx? 0( , 2 ).M x p? 2 2x py? ， 2 /,2xxyypp?? 12,M A M Bxxkkpp? ? ? 1020: 2 ( ) 。: 2 ( ) 。xMA y p x xpxMB y p x xp? ? ?? ? ? 221 1 2 21 0 2 02 ( ) , 2 ( ) ,x x x xp x x p x xp p p p? ? ? ? ? ? 12 1 2 0 1 2 0, 2 ,2xx x x x x x x? ? ? ? ? ? 所以 ,AMB 三點的橫坐標成等差數(shù)列。 （ II）解：由（ I）知， 221 1 2 2122 ( 2 ) , 2 ( 2 ) ,x x x xp x p xp p p p? ? ? ? ? ? 2 2 2 21 1 2 24 4 0 , 4 4 0 ,x x p x x p? ? ? ? ? ? 所以 12,xx是方程 224 4 0x x p? ? ?的兩根， 21 2 1 24 , 4 ,x x x x p? ? ? ? 222101221222 ,2ABxxxxxppkx x p p p? ?? ? ? ?? 2 2 21 2 1 2 241 ( ) 4 1 1 6 1 6 4 1 0 ,ABA B k x x x x pp? ? ? ? ? ? ? ? ?1p? 或 ? 因此所求拋物線方程為 2 2xy? 或 2 ? （ III）解：設 33( , ),Dx y 由題意得 1 2 1 2( , )C x x y y??，則 CD 中點坐標為 1 2 3 1 2 3( , ) .22x x x y y yQ ? ? ? ? 設直線 AB 的方程為 ，)(101 xxpxyy ??? )2,2( 321321 yyyxxxQ ???? 與 )2,2( 2121 yyxxR ?? 都在 AB 上，代入得 303 xpxy ? . 若 )( 33 yxD ， 在 拋 物 線 上 ， 則 ，或， 03330323 2022 xxxxxpyx ???? 即)2,2()0,0( 200 pxxDD 或 . 1）當 .)2,0(020 0210 適合題意，點時， pMxxxx ????? 2）當 時，00 ?x （ 1）對于.422)2,2()0,0(022210222122210 px xxxpxxkp xxxCD CD ????? ， 222212 2221022210 4,144 pxxp xxpx xxpxkk CDAB ??????????矛盾 . （ 2）對于 200 2(2 , )xDxp， 22120(2 , )2xxCx p?，則 CD 與 y 軸平行，而 0,ABk ? 直線 ,CDAB不垂直矛盾。 綜上可知，僅存在一點 (0, 2 )Mp? 適合題意 .
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