[高考數(shù)學(xué)]直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題-全文預(yù)覽
【正文】 ,y2).由題意 x1? x2且 ,1492121 ??yx ① ,1492222 ?? yx ② 由①－②得 .04 ))((9 ))(( 21212121 ?????? yyyyxxxx ③ 因?yàn)?A、 B關(guān)于點(diǎn) M對(duì)稱，所以 x1+ x2=－ 4, y1+ y2=2, 代入③得2121 xx yy?? ＝ 98 ，即直線 l的斜率為 98 ， 所以直線 l的方程為 y－ 1＝ 98 （ x+2），即 8x－ 9y+25=0. (經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意 .) 2．（ 2022年山東卷，文科， 22） 已知曲線1 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?：所圍成的封閉圖形的面積為 45， 曲線 1C 的內(nèi)切圓半徑為 253．記 2C 為以曲線 1C 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓． （Ⅰ）求橢圓 2C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè) AB 是過(guò)橢圓 2C 中心的任意弦， l 是線段 AB 的垂直平分線． M 是 l 上異于橢圓中心的點(diǎn)． （ 1）若 MO OA?? （ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn) A 在橢圓 2C 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 求點(diǎn) M 的軌跡方程； （ 2）若 M 是 l 與橢圓 2C 的交點(diǎn)，求 AMB△ 的面積的最小值． 〖解析〗（Ⅰ）由三角形面積公式和點(diǎn)到直線的距離公式可得關(guān)于 a， b的方程組， 曲線 1C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，顯然 2C 為焦點(diǎn)在 x軸的橢圓； （Ⅱ）（ 1）設(shè)出 AB 的方程 ( 0)y kx k??， ()AAAx y， ， ()Mx y， ，聯(lián)立直線與橢圓得到方程組后，由 ( 0)M O OA????可得 M 的軌跡方程，注意 0k? 或不存在時(shí)所得方程仍然成立；（ 2）由直線 l 的方程： 1yxk?? 和橢圓方程聯(lián)立后表示出 222 14AM BS AB O M?△由不等式放縮即可求出最小值 . 〖答案〗（Ⅰ）由題意得222 4 5253ababab? ??? ????，．又 0ab?? ，解得 2 5a? ， 2 4b? ． 因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 為 22154xy??． （Ⅱ）（ 1）假設(shè) AB 所在的直線斜率存在且不為零，設(shè) AB 所在直線方程為 ( 0)y kx k??， ()AAAx y， ． 解方程組22154xyy kx? ???????，得 222045Ax k? ?， 2222045A ky k? ?， 所以 222 222 2 22 0 2 0 2 0 ( 1 )4 5 4 5 4 5AA kkO A x y k k k?? ? ? ? ?? ? ?． 設(shè) ()Mx y， ，由題意知 ( 0)M O OA????， 所以 222MO OA?? ，即 22 2 222 0 (1 )45 kxy k? ??? ?， 因?yàn)?l 是 AB 的垂直平分線，所以直線 l 的方程為 1yxk?? ，即 xk y?? ， 因此22 222 2 2 22 2222 0 1 2 0 ( )4545xy xyxyx yxy??????????? ? ???， 又 220xy??，所以 2 2 25 4 20xy ???，故 22245xy???． 又當(dāng) 0k? 或不存在時(shí) ，上式仍然成立． 綜上所述， M 的軌跡方程為 22 2 ( 0 )45xy ??? ? ?． （ 2）當(dāng) k 存在且 0k? 時(shí)，由（ 1）得 222045Ax k? ?， 2222045A ky k? ?， 由221541xyyxk? ?????? ????，解得 2222054M kx k? ?， 222054My k? ?， 所以 22 2222 0 (1 )45AA kO A x y k?? ? ? ?， 22228 0 (1 )4 45 kA B O A k??? ?， 22220(1 )54kOM k?? ?． 解法一：由于 222 14AM BS AB O M?△221 8 0 (1 ) 2 0 (1 )4 4 5 5 4kk??? ? ? 22224 0 0 (1 )(4 5 )(5 4 )kkk?? ??222224 0 0 (1 )4 5 5 42kkk???? ? ?????≥ 222221 6 0 0 (1 ) 4 08 1(1 ) 9kk? ??????? ??， 當(dāng)且僅當(dāng) 224 5 5 4kk? ? ? 時(shí)等號(hào)成立，即 1k?? 時(shí)等號(hào)成立， 此時(shí) AMB△ 面積的最小值是 409AMBS ?△． 當(dāng) 0k? ， 1 4 02 5 2 2 529A M BS ? ? ? ? ?△． 當(dāng) k 不存在時(shí)， 1 4 05 4 2 5A M BS ? ? ? ? ?△． 綜上所述，
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