【正文】 離和一條定直線的距離的比是1的點的軌跡叫拋物線． 師：換句話說，就是與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．(投影)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．師：它的方程是什么樣子呢？我們可以預(yù)先做一個估計．如圖247(1)，橢圓的圖形是關(guān)于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：如圖247(2)，雙曲線的圖形是關(guān)于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：在方程中都僅有x、y的二次項．當e=1時，圖形變成了開口的一支，從而喪失了關(guān)于y軸和原點的對稱性，那么方程將會發(fā)生怎樣的變化？生：在方程中，一定會失去x2項，而且會出現(xiàn)x的一次項，(否則方程變成y2=b2，它表示直線．)所以方程應(yīng)為Ay2+Bx+C=0的形式．師：同學的猜測對不對呢？可否從理論上給予說明？ 生：建立直角坐標系． 師：如何建立？學生甲：取經(jīng)過定點F且垂直于定直線l的直線為x軸，設(shè)x軸與l相交于點K，以線段KF的垂直平分線為y軸，設(shè)所求軌跡上一點坐標為M(x，y)．師：點M滿足什么條件？生：到定點F的距離和到定直線l的距離的比是1． 師：這些條件能否轉(zhuǎn)化成點M的坐標所滿足的條件？請同學化簡上式，并通過投影展示演算過程，得：y2=2px．(1)師：顯然符合預(yù)想的形式．這個方程就叫作拋物線的標準方程． 在你以往的學習過程中，是否見到過類似這種形式的方程？ 生：二次函數(shù)的表達式．師：若將x與y換個位置，它就是缺少一次項和常數(shù)項的二次函數(shù)，而曲線的形狀也與拋物線完全一致．師：由于拋物線開口方向的不同，共有4種不同情況．(計算機演示——圖248)師：請同學們寫出其它3種情況下的標準方程、焦點坐標及準線方程，并說明理由．觀察圖形，分辨這些圖有何相同點和不同點．生：共同點有：①原點在拋物線上．②對稱軸為坐標軸．③準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱于原點，它們與原點的距離都等于一次項系數(shù)的絕對值的四分之一． 不同點：①拋物線的焦點在x軸上時，方程左端是y2，右端是2px；當拋物線的焦點在y軸上時，方程左端是x2，右端是2py．②開口方向與x軸(y軸)正半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的正半軸上，方程右端取正號．開口方向與x軸(y軸)負半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的負半軸上，方程右端取負號．師：作為應(yīng)用，請同學們看下面的例題．(展示投影)例1(1)已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，2)，求它的標準方程．(2)分析 要求拋物線的標準方程，需①確定焦點在y軸的負半軸上，②求出p值．例2 經(jīng)過拋物線的焦點F，作一條直線垂直于x軸，和拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2．求y1y2的值．(計算機演示圖形——圖249)師：首先弄清題意——條件有哪些？求什么？如何求？(師板書)故y1y2=p2．師：還有其他辦法嗎？可否根據(jù)拋物線的定義？生：如圖250，根據(jù)拋物線的定義，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1y2=p2．引申1：上例中若缺少“垂直于x軸”的條件，結(jié)果怎樣？(計算機演示動畫——圖251)師：由于缺少垂直的條件，上例中的方法均不適用了． 怎樣求交點坐標？生：只需求直線方程與拋物線方程的公共解． 師：如何建立直線方程？ 生：利用點斜式．(請同學自行寫出解題過程，并利用投影儀展示解題過程．)與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得：引申2：以AB為直徑的圓和準線具有怎樣的位置關(guān)系？(計算機演示動畫——圖252)學生乙：以AB為直徑的圓和準線相切．師：能否給予證明？這作為思考題，請同學們課下完成． 師：請同學小結(jié)這節(jié)課的內(nèi)容．(拋物線的定義；p的幾何意義；標準方程的4種形式．)作業(yè)：課本第98頁習題八：1，2． 設(shè)計說明 1．關(guān)于教學過程(1)由于拋物線的定義是本章的主要內(nèi)容之一，因而將它作為教學目標之一．(2)MM教學方式在課堂教學中十分重視的一個方面就是合情推理方法的運用，邏輯思維能力的提高以及良好個性品質(zhì)的培養(yǎng)．這對于提高學生的一般科學素養(yǎng)，形成和發(fā)展他們的數(shù)學品質(zhì)，必將起著十分重要的作用，因而制定了目標2．(3)按照大綱的要求，在教學中培養(yǎng)學生運用數(shù)學思想方法解決有關(guān)問題，據(jù)此制定了目標3．2．關(guān)于教學重點為實現(xiàn)教學目標，把充分展現(xiàn)拋物線的定義及標準方程的探索、發(fā)現(xiàn)、推理的思維過程和知識形成的過程作為本節(jié)課的重點．3．關(guān)于教學方法按照MM教學方式“學習、教學、研究同步協(xié)調(diào)原則”和“二主方針”，運用問題性，給學生創(chuàng)造一種思維情境，一種動腦、動手、動口的機會，提高能力、增長才干，采用啟發(fā)式．4．關(guān)于教學手段利用計算機輔助教學，演示圖形的動態(tài)變化過程，彌補傳統(tǒng)教學手段(如投影片、模型等)的不足之處．(1)在新課引入部分，通過動畫演示，使學生充分理解并且掌握3種圓錐曲線的統(tǒng)一定義，以及曲線形狀變化與常數(shù)e的大小之間的關(guān)系．(2)在拋物線定義的引入部分，利用電腦精確測算“兩個距離”，以及動點M的任意選取，充分展示了滿足條件的點的軌跡，避免了傳統(tǒng)教學中此處的生硬與牽強．(3)在例2及引申中也采用動畫演示，彌補了投影片無法實現(xiàn)的動態(tài)效果． 5．關(guān)于教學過程(1)復(fù)習內(nèi)容的確定，旨在通過聯(lián)想，為運用類比方法探索拋物線的定義奠定基礎(chǔ)．(2)通過引導學生觀察橢圓、雙曲線圖形的變化規(guī)律，類比、聯(lián)想、進而猜想出e=1時軌跡形狀是拋物線，然后進行推理證明．即通過既教猜想、又教證明這一MM可控變量的操作，旨在揭示科學實驗的規(guī)律，從而暴露知識的形成過程，體現(xiàn)科學發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)，培養(yǎng)學生合理推理能力、邏輯推理能力、科學的思維方式、實事求是的科學態(tài)度及勇于探索的精神等個性品質(zhì)．(3)學以致用是教學的主要目標之一，在例題求解過程中，運用波利亞一般解題方法，培養(yǎng)學生合理的思考問題，清楚地表達思想和有條不紊的工作習慣．(4)讓學生小結(jié)，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，提高學生分析、概括、綜合、抽象能力．第五篇：高二數(shù)學教案：圓錐曲線方程：02橢圓及其標準方程一、教學目標(一)知識教學點使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程．(二)能力訓練點通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．(三)學科滲透點通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．二、教材分析1．重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調(diào)；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導．(解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關(guān)鍵步驟加以補充說明．)3．疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)三、活動設(shè)計提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．四、教學過程(一)橢圓概念的引入前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？ 對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎(chǔ)上去探求新知識．提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形．問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？一般學生能回答：“平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖213)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等??在此基礎(chǔ)上，引導學生概括橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點FF2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距． 學生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點FF2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調(diào)：(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．(二)橢圓標準方程的推導 1．標準方程的推導由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點；(2)點的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟．(1)建系設(shè)點建立坐標系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)模詢啥cFF2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖214)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(1，0)，F(xiàn)2(c，0)．(2)點的集合由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程(4)化簡方程化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：①原方程要移項平方，否則化簡相當復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要(a＞b＞0)．關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2b2． 2．兩種標準方程的比較(引導學生歸納)0)、F2(c，0)，這里c2=a2b2；c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．(三)例題與練習例題平面內(nèi)兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用FF2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2c2=5245=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是請大家再想一想，焦點FF2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是[]由學生口答，答案為D．(四)小結(jié)1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點FF2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．3．圖形如圖21216．4．焦點：F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)．五、布置作業(yè)1．如圖217，在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標準方程．3．求適合下列條件的橢圓的標準方程：是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業(yè)答案：4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．六、板書設(shè)計