[理學(xué)]高等代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題答案(2)-資料下載頁
2025-01-09 01:22本頁面
【正文】 ????，則33UA U77????? ? ????。 令 11 (1,1, 0, 0)???? ， 212 2 11111( , , 1 , 0 )22??? ? ???? ? ? ?（ ， ）（ ， ）， 3 1 3 23 3 1 21 1 2 2111( , , , 1 )333? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?（ ， ） （ ， ）（ ， ） （ ， ） 434 1 4 24 4 1 2 31 1 2 2 3 3 ( 1 , 1 , 1 , 1 )??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?（ ， ）（ ， ） （ ， ）（ ， ） （ ， ） （ ， ） 再令 1 1 2 2123 3 4 4341 1 1 1 1 1 2( , , 0 , 0)。 ( , , , 0)2 2 6 6 61 1 1 1 3 1 1 1 1 1( , , , ) 。 ( , , , )2 2 2 2 22 3 2 3 2 3? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 則它們是 4R 一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。 （ 1）設(shè) 1 1 2 2 nnx x x? ? ? ?? ? ? ?， 則 1 1 2 2 1( , ) ( , ) ( , ) 0nn n i iix x x x? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??。故 0?? 。 （ 2）因?yàn)閷?duì)任意 V?? ， 12( , ) 0? ? ???，根據(jù)內(nèi)積的性質(zhì)知 120????，即 12??? 。 4 ．解 首先把 12(1,1, 0 ), ( 0 ,1,1)????正 交 化 、 單 位 化 得 到121 1 1 1 2( , , 0 ) , ( , , )2 2 6 6 6??? ? ?， 然 后 再 把 它 擴(kuò) 充 為 3R 的 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 基 ，1 2 31 1 1 1 2 1 1 1( , , 0 ) , ( , , ) , ( , , )2 2 6 6 6 3 3 3? ? ?? ? ? ? ? 故 3()WL?? ? ：因?yàn)?V W W??? ，分別取 ,WW? 的標(biāo)準(zhǔn)正交基 11, , 。 , ,m m n? ? ? ?? ，則11, , , , ,m m n? ? ? ?? 是 V 的 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 基 。 又 ? 是 正 交 變 換 ， 故 有, , , , ,m m n? ? ? ??? ? ? ?是 標(biāo)準(zhǔn)正交基，但因 W 是 ? 子空間，故 1, m????是W 的標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而 1,mn?????是 W? 的標(biāo)準(zhǔn)正交基，于是 W? 也是 ? 子空間。
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