【正文】 ?? ， ∴ (1, 0 ,1 ) , ( 0 , 1, 1 )mn? ? ? ? ??? 13 分 設 二面角 D－ AE－ B 的平面角為 ? ，則 1c o s2| | | |mnmn? ?? ? ?? ∴ 23??? ????????????? 15 分 2． (2022學年第一學期十校高三期末聯(lián)考數(shù)學試題（文 ） )（ 14 分） 已知一四棱錐 P－ ABCD 的三視圖如下，E 是側棱 PC 上的動點。 (Ⅰ )求四棱錐 P－ ABCD 的體積； （ Ⅱ ）是否不論點 E 在何位置，都有 BD⊥ AE？證明你的結論 。 （第 2 題圖） 解： (Ⅰ )由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐 P－ ABCD 的底面是邊長為 1 的正方形， 側棱 PC⊥ 底面 ABCD，且 PC=2. 3 分 ∴ 1233P A B C D A B C DV S P C? ? ? ?7 分 （ Ⅱ ）不論點 E 在何位置，都有 BD⊥ AE8 分 證明如下：連結 AC，∵ ABCD 是正方形 ∴ BD⊥ AC ∵ PC⊥ 底面 ABCD 且 BD? 平面 ABCD ∴ BD⊥ PC11 分 又∵ AC PC C? ∴ BD⊥ 平面 PAC ∵不論點 E 在何位置，都有 AE? 平面 PAC ∴不論點 E 在何位置，都有 BD⊥ AE 14 分 3． （ 寧波市 2022 學年度第一學期 高三 期末 數(shù) (理 )） （本題 15 分）已知幾何體 A— BCED 的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為 4 的等腰直角三角形 ，正視圖為直角梯形． （ 1）求異面直線 DE 與 AB 所成角的余弦值； （ 2）求二面角 AEDB 的正弦值； （ 3）求此幾何體的體積 V 的大小 . （第 1 題） 浙江省 2022 高考聯(lián)考數(shù)學模擬試題分類錦萃 證明：（ 1）取 EC 的中點是 F，連結 BF， 則 BF//DE， ∴∠ FBA 或其補角即為異面直線 DE 與 AB 所成的角． 在 △ BAF 中， AB= 42 ，BF=AF= 25 ． ∴10cos 5ABF??． ∴ 異面直線 DE 與 AB 所成的角的余弦值為 105 ． ………5 分 解： （ 2） AC⊥ 平面 BCE，過 C 作 CG⊥ DE 交 DE 于 G，連 AG． 可得 DE⊥ 平面 ACG，從而 AG⊥ DE ∴∠ AGC 為二面角 AEDB 的平面角． 在 △ ACG 中， ∠ ACG=90176。， AC=4， Ｃ G=855 ∴ 5tan 2AGC??． ∴ 5sin 3AGC??． ∴ 二面角 AEDB 的的正弦值為 53 ． …………………………10 分 （ 3） 1 163B CE DV S A C? ? ? ? ∴ 幾何體的體積 V 為 16．??????????????? 15 分 方法二：（坐標法）（ 1）以 C 為原點，以 CA， CB， CE 所在直線為 x,y,z 軸建立空間直角坐標系． 則 A（ 4， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， D（ 0， 4， 2）， E（ 0， 0， 4） ( 0 , 4 , 2 ) , ( 4 , 4 , 0 )D E A B? ? ? ?， ∴ 10c o s , 5D E A B? ?? ? ∴ 異面直線 DE 與 AB 所成的角的余弦值為 105 ．??? 5 分 （ 2）平面 BDE 的一個法向量為 (4,0,0)CA? ， 設平面 ADE 的一個法向量為 ( , , )n x y z? ， （第 3 題圖） 浙江省 2022 高考聯(lián)考數(shù)學模擬試題分類錦萃 ,n AD n DE?? ( 4 , 4 , 2 ) , ( 0 , 4 , 2 )A D D E? ? ? ?∴ 0, 0n AD n D E?? 從而 4 4 2 0 , 4 2 0x y z y z? ? ? ? ? ? ?, 令 1y? ，則 (2,1,2)n? , 2cos , 3CA n? ?? ∴ 二面角 AEDB 的的正弦值為 53 ．?????????? 10 分 （ 3） 1 163B CE DV S A C? ? ? ?， ∴ 幾何體的體積 V 為 16．????? 15 分 4. （ 寧波市 2022 學年度第一學期 高三 期末 數(shù) (文 )） (本小題滿分 14 分 ) 在棱長為 a 的 正方體 1111 DCBAABCD ? 中 ， E 為棱 1CC 的中點 . (Ⅰ )求證： //1AD 平面 1DBC 。 (Ⅱ )求 AE 與平面 ABCD 所成角的余弦值 . 解： (Ⅰ )（略證）：只需證 11 // ADBC 即可。 ?? 6 分 (Ⅱ )連接 AC ，由正方體的幾何性質(zhì)可得 AC 即為 AE 在底面 ABCD 上的射影，則EAC? 即為 AE 與平面 ABCD 所成角 . ?? 10 分 在 AECRt? 中， ACEC? ， aAEaECaAC 232,2 ???? 則 232c os ??? AEACE A C 所以 AE 與平面 ABCD 所成角的余弦值為 232 . ?? 14 分 5.（ 浙江省09 年高考省教研室第一次抽樣測試數(shù)學試題（理）） 如圖，在矩形 ABCD中， AB=2， AD=1， E為 CD的中點，將 ADE? 沿 AE 折起，使平面 ADE? 平面 ABCE，得到幾何體 D ABCE? . （ 1）求證： BE? 平面 ADE ；（ 2）求 BD和平面 CDE 所成的角的正弦值 . 證明：（ 1）過 D作 DH AE? 于 ADE? 平面 ABCE 得， DH? 平面 ABCE ，所以 DH BE? ，由題意可得 AE BE? ，因此 BE? 平面 ADE .、 （ 2）在平面 CDE內(nèi)，過 C作 CE的垂線，與過 D作 CE 的平行線交于 F，再過 B作 BG CF?A B C D E A B C D E （第 5 題圖） 浙江省 2022 高考聯(lián)考數(shù)學模擬試題分類錦萃 于 G，連結 DG， CH， BH可得 BG? 平面 CDE ；所以 BDG? 為 BD和平面 CDE所成的角 .在DHC? 中， DHB? 中，可得 3DC BD??，又 1DE EC??，因此 DCE?? 030 ,CDF?? 3, 2C F D F C F? ? ?.由題意得 361 , ,23B C F B B G? ? ? ?，因此2s in 3BGB D G BD? ? ?， BD和平面 CDE 所成的角的正弦值為 23 . 6. （ 寧波市 2022 學年度第一學期 高三 期末 數(shù) (文 )） (本小題滿分 14 分 ) 在棱長為 a 的 正方體 1111 DCBAABCD ? 中 ， E 為棱 1CC 的中點 . (Ⅰ )求證： //1AD 平面 1DBC 。 (Ⅱ )求 AE 與平面 ABCD 所成角的余弦值 . 解： (Ⅰ )（略證）：只需證 11 // ADBC 即可。 ?? 6 分 (Ⅱ )連接 AC ，由正方體的幾何性質(zhì)可得 AC 即為 AE 在底面 ABCD 上的射影，則EAC? 即為 AE 與平面 ABCD 所成角 . ?? 10 分 在 AECRt? 中 ， ACEC? ， aAEaECaAC 232,2 ???? 則 232c os ??? AEACE A C 所以 AE 與平面 ABCD 所成角的余弦值為 232 . ?? 14 分