江蘇省高三歷次模擬試題分類匯編：第章空間向量與立體幾何-資料下載頁
2025-01-15 09:16本頁面
【正文】 個法向量，所以，即直線與平面所成角的正弦值.………………5分（2）易知平面的一個法向量.設(shè)，代入，得，解得，即，所以，設(shè)平面的法向量，則，消去，得，令，則，所以平面的一個法向量，所以，解得或，因為，所以.………………10分（前黃姜堰四校聯(lián)考）如圖，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，為的中點，在線段上．（1）若平面，求。（2）設(shè)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．（第23題） 解：（1）因為直三棱柱中，以點為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系.ABCC1B1A1FDxyz因為，所以,所以. 設(shè)則.因為⊥平面，所以. 由，得或， 故當⊥平面時，可得或．………………………………………………… 5分 （2）由（1）知平面的法向量為． 設(shè)平面的法向量為，則由,得 令得， 所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值 ………………………………………………10分（金海南三校聯(lián)考）如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知棱AB，AD，AP兩兩垂直，長度分別為1，2，(∈R)，且向量與夾角的余弦值為.(1)求的值；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.解：依題意，以A為坐標原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)－xyz（如圖）， 則B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 因為＝λ，所以C(λ，2，0)， ……………………………………2分 （1）從而＝(λ，2，－2)，＝(－1，2，0)， 則cos＜，＞＝＝＝，（第22題） 解得λ＝2； …………………………………… 5分 （2）易得＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2)， 設(shè)平面PCD的法向量n＝(x，y，z)， 則n＝0，且n＝0， 即x＋y－z＝0，且y－z＝0， 所以x＝0，不妨取y＝z＝1， 則平面PCD的一個法向量n＝(0，1，1)， …………………………………… 8分 又易得＝(1，0，－2)， 故cos＜，n＞＝＝＝－， 所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為． ……………………………………10分 16
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