【正文】 間為 2t h，小船的速度為 1v km/h，則 126 2513 13 5PQt ? ? ? (h), 2 1 1 12 . 5 3 . 3 5 16 6 6 6 2 2 0P M M Qt v v v? ? ? ? ? ?（ h）． … ……… 5 分 由已知得 ：21120tt??，15 1 1 22 20 20 5v ? ? ? ， ∴ 1 253v? ． ……………………… 7 分 ∴ 小船的速度為 253km/h 時(shí)，游客甲才能和游船同時(shí)到達(dá) Q ． (Ⅱ )在 Rt △ PMN 中， 2sin sinPNPM ??aa(km), 2 costa n sinPNMN ?? aaa(km)． NQP??MBA 22 ∴ 2 c o s4 .8s inQ M Q N M N? ? ? ? aa(km)． ……………………… 9 分 ∴ 1 4 c o s1 0 6 6 5 s in 5 5 3 3 s inP M Q Mt aaa? ? ? ? ?＝ 1 3 3 5 co s 41 6 5 sin 5 5aa???． ………………… 11 分 ∵ 2221 5 s in ( 3 3 5 c o s ) c o s 5 3 3 c o s1 6 5 s in 1 6 5 s int a a a aaa? ? ?? ? ? ?, ………………… 13 分 ∴令 0t?? 得： 5cos33a?． 當(dāng) 5cos33a?時(shí)， 0t?? ；當(dāng) 5cos33a?時(shí)， 0t?? ． ∵ cosa 在 )2,0( ??? 上是減函數(shù)， ∴當(dāng) 方位角 a 滿足 5cos33a?時(shí)， t 最小，即 游客甲能按計(jì)劃以最短時(shí)間到達(dá) Q ． … 16 分 19．如圖， ABC 為一直角三角形草坪，其中 90 , 2C BC? ? ?米， 4AB? 米，為了重建草坪，設(shè)計(jì)師準(zhǔn)備了兩套方案： 方案一：擴(kuò)大為一個(gè)直角三角形，其中斜邊 DE 過點(diǎn) B，且與 AC 平行， DF 過點(diǎn) A， EF 過點(diǎn) C； 方案二：擴(kuò)大為一個(gè)等邊三角形，其中 DE 過點(diǎn) B， DF 過點(diǎn) A， EF 過點(diǎn) C． （ 1）求方案一中三角形 DEF 面積 1S 的最 小值； （ 2）求方案二中三角形 DEF 面積 2S 的最大值． 19．解：（ 1）在方案一：在三角形 AFC 中，設(shè) , ( 0 , 9 0 )A CF ??? ? ?， 則 2 3 sin , 2 3 c osA F F C????， ………………………………………… 2 分 因?yàn)?DE∥ AC，所以 E ???， 2sinEC ?? ， 且 FA FCAD CE? ，即 2 3 si n 2 3 c os2si nAD???? ， ………………………………… 4 分 方案二 23 解得 2cosAD ?? ， ……………………………………………………………… 6 分 所以1 1 2 2 4( 2 3 s in ) ( 2 3 c o s ) 3 ( s in 2 ) 4 32 c o s s in 3 s in 2S ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?， 所以當(dāng) sin2 1?? ，即 45?? 時(shí)， 1S 有最小值 7 4 3? ． ………………………… 8 分 （ 2）在方案二：在三角形 DBA 中，設(shè) , ( 0 ,120 )D B A ??? ? ?，則s in (1 2 0 ) s in 6 0D B A B? ??， 解得 8 sin (1 2 0 )3DB ???， …………………………………………………… 10 分 三角形 CBE 中，有sin sin 60EB CB? ?，解得 4 sin3EB ??， …………………… 12 分 則等邊三角形的邊長(zhǎng)為 8 4 4s in ( 1 2 0 ) s in ( 2 s in 3 c o s )3 3 3? ? ? ?? ? ? ?，… 14 分 所以邊長(zhǎng)的最大值為 473，所以面積 2S 的最大值為 23 4 7 2 8 3()433??．…… 16 分 如圖，已知海島 A 到海岸公路 BC 的距離 AB 為 50km ， B ， C 間的距離為 100km ，從 A 到 C ，必須先坐船到 BC 上的某一點(diǎn) D ，船速為 25 /km h ，再乘汽車到 C ，車速為 50 /km h ，記 ??BDA? ． （ 1）試將由 A 到 C 所用的時(shí)間 t 表示為 ? 的函數(shù) ()t? ； （ 2）問 ? 為多少時(shí)，由 A 到 C 所用的時(shí)間 t 最少？ 解：（ 1） 50sin?AD ? ，所以 A 到 D 所用時(shí)間 1 2sin?t ?2 分 5 0 5 0 c o sta n s in??BD ???， 5 0 c o s1 0 0 1 0 0 s in? ? ? ?CD B D ?? 所以 D 到 C 所用時(shí)間2 cos2 sin??t ??5 分 所以12 2 c o s( ) 2s in?? ? ? ?t t t ?? ?6 分 θD CBA 24 （ 2） 222s in ( 2 c o s ) c o s 1 2 c o s() s in s in? ? ?? ??t ? ? ? ?? ??8 分 令 ( ) 0? ?t ? 1cos2??? 32? ? ????；所以 ( , )32????， ()t? 單調(diào)增； 10 分 令 0??BCA? ，則同理0 3?????， ( ) 0? ?t ? ， ()t? 單調(diào)減 12 分 所以3???， ()t? 取到最小值； 13 分 答：當(dāng)3???時(shí)，由 A 到 C 的時(shí)間 t 最少 14 分 注：若學(xué)生寫 03????， ( ) 0? ?t ? ， ()t? 單調(diào)減，不扣分 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角 ? 的終邊經(jīng)過點(diǎn) (3, 4)P ； （ 1）求 sin( )4???的值；（ 2）若 P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 Q ，求 OPOQ? 的值． ：（ 1） ∵ 角 ? 的終邊經(jīng)過點(diǎn) (3,4)P ， ∴ 4sin 5?? ， 3cos 5?? ， ……………4 分 ∴ 4 2 3 2 7s in ( ) s in c o s c o s s in 24 4 4 5 2 5 2 1 0? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?． ……………7 分 （ 2） ∵ (3,4)P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 Q ， ∴ (3, 4)Q ? ． ……………9 分 ∴ (3,4)OP? ， (3, 4)OQ??， ∴ 3 3 4 ( 4 ) 7O P O Q? ? ? ? ? ? ? ?． …………… 14 分 （南京鹽城二模） 在 △ABC 中，角 A、 B、 C 的對(duì)邊分別為 a， b， c．已知 cosC＝ 35． （ 1）若 ?CB??CA＝ 92，求 △ABC 的面積； （ 2）設(shè)向量 x＝ (2sinB2， 3)， y＝ (cosB， cosB2)，且 x∥ y，求 sin(B－ A)的值． 解： （ 1）由 CB→ CA→ ＝ 92，得 abcosC＝ 92． 又因?yàn)?cosC＝ 35，所以 ab＝ 92cosC＝ 152 ． ………… ……… 2 分 又 C 為 △ABC 的內(nèi)角，所以 sinC＝ 45． ………………… 4 分 所以 △ABC 的面積 S＝ 12absinC＝ 3． ………………… 6 分 （ 2）因?yàn)?x//y，所以 2sinB2cosB2＝ 3cosB，即 sinB＝ 3cosB． ……………… 8 分 因?yàn)?cosB≠0，所以 tanB＝ 3． 因?yàn)?B 為三角形的內(nèi)角，所以 B＝ π3． ………………… 10 分 25 所以 A＋ C＝ 2π3 ，所以 A＝ 2π3 － C． 所以 sin(B－ A)＝ sin(π3－ A)＝ sin(C－ π3) ＝ 12sinC－ 32 cosC＝ 1245－ 32 35 ＝ 4－ 3 310 ． …………………… 14 分 （鹽城三模） 已知 ( 2 sin , sin c os )m x x x??， ( 3 c os , si n c os )n x x x??，記函數(shù) ()f x m n??. （ 1）求函數(shù) ()fx取最大值時(shí) x 的取值集合； （ 2）設(shè) ABC? 的角 ,ABC 所對(duì)的邊分別為 ,abc，若 ( ) 2fC? ， 3c? ，求 ABC? 面積的最大值 . 解： （ 1）由題意，得 ( ) 3 s in 2 c o s 2 2 s in ( 2 )6f x m n x x x ?? ? ? ? ? ?， 當(dāng) ()fx取最大值時(shí)，即 sin(2 ) 16x ???，此時(shí) 2 2 ( )62x k k Z???? ? ? ?， 所以 x 的取值集合為 ,3x x k k Z????? ? ?????.… ……………………………… … ……………………… …7 分 （ 2）因 ( ) 2fC? ，由（ 1）得 sin(2 ) 16C ???，又 0 C ???，即 1126 6 6C? ? ?? ? ? ?， 所以 2 62C ????，解得 3C ?? ，在 ABC? 中，由余弦定理 2 2 2 2 c osc a b ab C? ? ? ， 得 223 a b ab ab? ? ? ?，所以 1 3 3s in24ABCS a b C? ??， 所以 ABC? 面積的的最大值為334 .… 14 分 （蘇錫常鎮(zhèn)二模） 如圖，甲船從 A 處以每小時(shí) 30 海里的速度沿正北方向航行，乙船在 B 處沿固定方向勻速航行， B 在 A 北偏西 0105 方向用與 B 相距 102 海里處．當(dāng)甲船航行 20 分鐘到達(dá) C 處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西 0120 方向的 D 處，此時(shí)兩船相距 10 海里 （ 1）求乙船每小時(shí)航行多少海里？ （ 2）在 C 處的北偏西 030 方向且與 C 相距 833 海里處有一個(gè)暗礁 E ，暗礁 E 周圍 2 海里范圍內(nèi)為航行危險(xiǎn)區(qū)域．問：甲、乙兩船按原航向和速度航行有無(wú)危險(xiǎn)？如果有危險(xiǎn)，從有危險(xiǎn)開始多少小時(shí)后能脫離危險(xiǎn)？如無(wú)危險(xiǎn)，請(qǐng)說明理由 26 （南師附中四校聯(lián)考）如圖（ 1），有一塊形狀為等 腰直角三角形的薄板，腰 AC 的長(zhǎng)為 a 米（ a 為常數(shù)），現(xiàn)在斜邊 AB 上選一點(diǎn) D，將△ ACD 沿 CD 折起，翻扣在地面上，做成一個(gè)遮陽(yáng)棚，如圖（ 2） . 設(shè)△ BCD的面積為 S，點(diǎn) A 到直線 CD 的距離為 d. 實(shí)踐證明，遮陽(yáng)效果 y 與 S、 d 的乘積 Sd 成正比，比例系數(shù)為 k（ k 為常數(shù)，且 k0） . （ 1）設(shè)∠ ACD=? ，試將 S 表示為 ? 的函數(shù)； （ 2）當(dāng)點(diǎn) D 在何處時(shí)，遮陽(yáng)效果最佳（即 y 取得最大值）？ （ 1）△ BCD 中 BCDCD BBC ??? sinsin ， A B C D 圖（ 1） A B C D 圖（ 2） ? S 27 ∴?? 45sin)45sin( CDa ???，∴)45sin(2 ??? ?aCD………… 4 分 ∴ B CDCDBCS ???? s in21 )45sin(4 cos22??? ? ?a， ?900 ??? …… 6 分（其中范圍 1 分） （ 2） ?sinad? ………… 8 分 kSdy? )45sin(4 c ossin2 3 ??? ? ??ka )cos(sin2 cossin3 ?? ???? ka ……………… 10 分 令 t?? ?? cossin ，則 ]2,1(?t ， 2 1cossin 2 ?? t?? ∴ )1(44 )1( 323 ttkattkay ???? 在區(qū)間 ]2,1( 上單調(diào)遞增，………… 12 分 ∴當(dāng) 2?t 時(shí) y 取得最大值，此時(shí) 4??? ， 即 D 在 AB 的中點(diǎn)時(shí)，遮陽(yáng)效果最佳 .……………… 14 分