【正文】 （淮安宿遷摸底） 已知 ABC? 的內(nèi)角 ,ABC 的對(duì)邊分別為 ,abc， 3B ??? ． （ 1）若 23b? ， 2a? ，求 c 的值 ； （ 2）若 tan 2 3A? ，求 tanC 的值 ． （ 1）由余弦定理得， 2 2 2 2 c osb c a c a B? ? ? ?， ………………………… 3 分 因?yàn)?3B ??? ， 23b? ， 2a? ， 所以 212 4 2cc? ? ? ， 即 2 2 8 0cc? ? ? ………………………… 5 分 解之得 4c? ， 2c?? （舍去）． 所以 4c? . …………………………… 7 分 （ 2） 因?yàn)?πA B C? ? ? ， tan 2 3A? ， tan 3B? 所以 tan tan( )C A B? ? ? ……… …………………… 9 分 ta n ta n1 ta n ta nABAB??? ? ……… …………………… 11 分 2 3 3 3 351 2 3 3?? ? ??? ． 所以 33tan 5C? ． …… ……………………………… 14 分 13 在 △ ABC 中，角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c．已知 233bc?， 3ACp??． （ 1）求 cosC 的值； （ 2）求 sinB 的值； （ 3）若 33b? ，求 △ ABC 的面積 ． 15． 解：（ 1）因?yàn)?A B C p? ? ? ， 3ACp??，所以 2BC? ． ………………………2 分 又由正弦定理，得sin sinbcBC?， sinsinbBcC?， 2 3 2 sin cos3 sinCCC?， 化簡(jiǎn)得， 3cos3C?． ………………………5 分 （ 2）因?yàn)?? ?0,C p? ，所以 2 16s in 1 c o s 133CC? ? ? ? ?． 所以 6 3 2 2s in s in 2 2 s in c o s 23 3 3B C C C? ? ? ? ? ?． ………………………8 分 （ 3）因?yàn)?2BC? ， 所以 2 11c o s c o s 2 2 c o s 1 2 133B C C? ? ? ? ? ? ? ?． ……………………10 分 因?yàn)?A B C p? ? ? ， 所以 22s in s in ( ) s in c o s c o s s in3 3 1 6 6()3 3 3 9A B C B C B C ???? ??? ???． ………………………12 分 因?yàn)?233bc?， 33b? ，所以 92c?． 所以 △ ABC 的面積 1 1 9 6 9 2s in 3 32 2 2 9 4S b c A? ? ? ? ? ?． ………………………14 分 （鎮(zhèn)江期末） 已知 ABC? 的面積為 S ，且 SACAB 2?? ． （ 1）求 Asin ； （ 2）若 3AB? ， 23AB AC??， 求 Bsin ． 解：（ 1） ∵ △ ABC 的面積為 S ，且 2AB AC S?? ， ∴ 1c o s 2 sin2b c A b c A??， ∴ sin 2 cosAA? ， A 為銳角， ∴ 2 2 2 2 213s in c o s s in s in s in 122A A A A A? ? ? ? ?， ∴ 6sin3A?． （ 2）設(shè) △ ABC 內(nèi) 角 A ， B ， C 對(duì)邊分別為 a ， b ， c ． ∵ | | 3AB c?? ， | | 2 3A B A C CB a? ? ? ?， 14 由正弦定理得sin sincaCA?，即 3 2 3sin 63C?， ∴ 2sin2C?． 又 ∵ ca? ，則 C 銳角， ∴ π4C?． ∴ π π πs i n s i n ( ) s i n co s co s s i n4 4 4B A A A? ? ? ?= 6 2 3 2 2 3 63 2 3 2 6?? ? ? ?． （鹽城期中） 設(shè) △ ABC的面積為 S，且3 0S A B A C? ? ?. （ 1） 求 角 A的 大小 ； （ 2） 若| | 3BC?， 且角 B 不是最小角， 求 S的取值范圍 ． （ 1）設(shè) ABC? 中角 ,ABC 所對(duì)的邊分別為 ,abc，由2 3 0S A B A C? ? ?， 得12 si n 3 c os 02 bc A bc A? ? ?， 即sin 3 cos 0AA??， ………… 2 分 所以tan 3A??， ………… 4 分 又(0, )A ??，所以 3??. ………… 6 分 （ 2）因?yàn)?BC?，所以3a?， 由正弦定理，得32 si n si nsi n 3bcBC? ??， 所以 2 si n , 2 si nb B c C??， ………… 8 分 從而1 si n 3 si n si n 3 si n si n( )23S bc A B C B B?? ? ? ? ………… 10 分 3 1 3 1 c o s 2 3 33 s in ( c o s s in ) 3 ( s in 2 ) s in ( 2 )2 2 4 4 2 6 4BB B B B B ??? ? ? ? ? ? ?， ………… 12 分 又5( , ) , 2 ( , )6 3 6 2 6BB? ? ? ? ?? ? ?，所以3(0, )4S. ………… 14 分 （南通調(diào)研一） 在 ?ABC 中， 角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別為 a ， b ， c ． 已知 c os c os 2 c osb C c B a A??． （ 1） 求角 A 的大?。? （ 2） 若 3AB AC??，求 ABC? 的面積 ． 15 （蘇北三市調(diào)研三） 在 ABC? 中 ， 角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 ,abc ， 已知 1cos3C?， sin 2 cosAB? ． （ 1）求 tanB 的值 ； （ 2）若 =5c ， 求 ABC? 的面積 ． 解： （ 1） 1cos3C?， ? ?0,C ?? ， 22sin 3C?? ……………………………………………… 11 分 又 6sin 2 co s 3AB??， ……………………………………………………………………………… 12 分 1 1 1 5 6 5 2s i n 52 2 2 3 4S b c A? ? ? ? ? ? ?CA→ ＝ 92，得 abcosC＝ 92． 又因?yàn)?cosC＝ 35，所以 ab＝ 92cosC＝ 152 ． ………… ……… 2 分 又 C 為 △ABC 的內(nèi)角，所以 sinC＝ 45． ………………… 4 分 所以 △ABC 的面積 S＝ 12absinC＝ 3． ………………… 6 分 （ 2）因?yàn)?x//y，所以 2sinB2cosB2＝ 3cosB，即 sinB＝ 3cosB． ……………… 8 分 因?yàn)?cosB≠0，所以 tanB＝ 3． 因?yàn)?B 為三角形的內(nèi)角，所以 B＝ π3． ………………… 10 分 25 所以 A＋ C＝ 2π3 ，所以 A＝ 2π3 － C． 所以 sin(B－ A)＝ sin(π3－ A)＝ sin(C－ π3) ＝ 12sinC－ 32 cosC＝ 1245－ 32 35 ＝ 4－ 3 310 ． …………………… 14 分 （鹽城三模） 已知 ( 2 sin , sin c os )m x x x??， ( 3 c os , si n c os )n x x x??，記函數(shù) ()f x m n??. （ 1）求函數(shù) ()fx取最大值時(shí) x 的取值集合； （ 2）設(shè) ABC? 的角 ,ABC 所對(duì)的邊分別為 ,abc，若 ( ) 2fC? ， 3c? ，求 ABC? 面積的最大值 . 解： （ 1）由題意，得 ( ) 3 s in 2 c o s 2 2 s in ( 2 )6f x m n x x x ?? ? ? ? ? ?， 當(dāng) ()fx取最大值時(shí)，即 sin(2 ) 16x ???，此時(shí) 2 2 ( )62x k k Z???? ? ? ?， 所以 x 的取值集合為 ,3x x k k Z????? ? ?????.… ……………………………… … ……………………… …7 分 （ 2）因 ( ) 2fC? ，由（ 1）得 sin(2 ) 16C ???，又 0 C ???，即 1126 6 6C? ? ?? ? ? ?， 所以 2 62C ????，解得 3C ?? ，在 ABC? 中，由余弦定理 2 2 2 2 c osc a b ab C? ? ? ， 得 223 a b ab ab? ? ? ?，所以 1 3 3s in24ABCS a b C? ??， 所以 ABC? 面積的的最大值為334 .… 14 分 （蘇錫常鎮(zhèn)二模） 如圖，甲船從 A 處以每小時(shí) 30 海里的速度沿正北方向航行，乙船在 B 處沿固定方向勻速航行， B 在 A 北偏西 0105 方向用與 B 相距 102 海里處．當(dāng)甲船航行 20 分鐘到達(dá) C 處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西 0120 方向的 D 處，此時(shí)兩船相距 10 海里 （ 1）求乙船每小時(shí)航行多少海里？ （ 2）在 C 處的北偏西 030 方向且與 C 相距 833 海里處有一個(gè)暗礁 E ，暗礁 E 周圍 2 海里范圍內(nèi)為航行危險(xiǎn)區(qū)域．問：甲、乙兩船按原航向和速度航行有無危險(xiǎn)？如果有危險(xiǎn)，從有危險(xiǎn)開始多少小時(shí)后能脫離危險(xiǎn)？如無危險(xiǎn)，請(qǐng)說明理由 26 （南師附中四校聯(lián)考）如圖（ 1），有一塊形狀為等 腰直角三角形的薄板，腰 AC 的長(zhǎng)為 a 米（ a 為常數(shù)），現(xiàn)在斜邊 AB 上選一點(diǎn) D，將△ ACD 沿 CD 折起，翻扣在地面上，做成一個(gè)遮陽棚，如圖（ 2） . 設(shè)△ BCD的面積為 S，點(diǎn) A 到直線 CD 的距離為 d. 實(shí)踐證明，遮陽效果 y 與 S、 d 的乘積 Sd 成正比，比例系數(shù)為 k（ k 為常數(shù)，且 k0） . （ 1）設(shè)∠ ACD=? ，試將 S 表示為 ? 的函數(shù)； （ 2）當(dāng)點(diǎn) D 在何處時(shí)，遮陽效果最佳（即 y 取得最大值）？ （ 1）△ BCD 中 BCDCD BBC ??? sinsin ， A B C D 圖（ 1） A B C D 圖（ 2） ? S 27 ∴?? 45sin)45sin( CDa ???，∴)45sin(2 ??? ?aCD………… 4 分 ∴ B CDCDBCS ???? s in21 )45sin(4 cos22??? ? ?a， ?900 ??? …… 6 分（其中范圍 1 分） （ 2） ?sinad? ………… 8 分 kSdy? )45sin(4 c ossin2 3 ??? ? ??ka )cos(sin2 cossin3 ?? ???? ka ……………… 10 分 令 t?? ?? cossin ，則 ]2,1(?t ， 2 1cossin 2 ?? t?? ∴ )1(44 )1( 323 ttkattkay ???? 在區(qū)間 ]2,1( 上單調(diào)遞增，………… 12 分 ∴當(dāng) 2?t 時(shí) y 取得最大值，此時(shí) 4??? ， 即 D 在 AB 的中點(diǎn)時(shí)，遮陽效果最佳 .……………… 14 分