【正文】 2 15x y??，整理后，得： 2 2 2 20 0 0 0 0( 2 ) 5 4 ( 2 ) 0x y y y x y y??? ? ? ? ? ??? 根據(jù)韋達(dá)定理，得： 2001 220( 2 ) 5yyy xy?? ??，則 01 220( 2) 5yy xy?? ??， 從而， 220101 ( 2 ) 5y xyy? ? ? ? ? ? 同理可求 220202 ( 2 ) 5y xyy? ? ? ? ? ? 則 2 2 2 2 2 21 2 0 0 0 0 0 0( 2) 5 ( 2) 5 2( 5 ) 4x y x y x y??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 00( , )Px y 為橢圓 2 2 15x y??上一點(diǎn)得： 220225xy??， 則 1218????， 故 12??? 的值為 18. 題型六： 面積 問題 例題 （ 07 陜西理） 已知橢圓 C： 12222 ??byax （ a＞ b＞ 0）的離心率為 ,36 短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 3 。 （Ⅰ）求橢圓 C 的方程； （Ⅱ）設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A、 B 兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) O 到直線 l 的距離為 23 ，求△ AOB面積的最大值。 溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 29 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為 c ，依題意 633caa? ??????， 1b??， ?所求橢圓方程為 2 2 13x y??。 （Ⅱ）設(shè) 11()Ax y， ， 22()B x y， 。 （ 1）當(dāng) AB x⊥ 軸時(shí)， 3AB? 。 （ 2）當(dāng) AB 與 x 軸不垂直時(shí)， 設(shè)直線 AB 的方程為 y kx m??。 由已知2321mk ?? ，得 223 ( 1)4mk??。 把 y kx m??代入橢圓方程，整理得 2 2 2( 3 1 ) 6 3 3 0k x k m x m? ? ? ? ?， 12 2631kmxx k?? ? ? ?， 212 23( 1)31mxx k ?? ?。 2 2221(1 ) ( )A B k x x? ? ? ? 2 2 222 2 23 6 1 2 ( 1 )(1 ) ( 3 1 ) 3 1k m mk kk???? ? ??????? 2 2 2 2 22 2 2 21 2 ( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) ( 9 1 )( 3 1 ) ( 3 1 )k k m k kkk? ? ? ? ????? 242 2212 12 123 3 ( 0) 3 419 6 1 2 3 696k kkk k k? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ≤。 當(dāng)且僅當(dāng) 2219k k?，即 33k?? 時(shí)等號成立 。 當(dāng) 0k? 時(shí)， 3AB? ， 綜上所述 max 2AB ? 。 溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 30 ?當(dāng) AB 最大時(shí)， AOB△ 面積取最大值m a x1 3 32 2 2S A B? ? ? ?。 練習(xí) （ 07 浙江理） 如圖，直線 y kx b??與橢圓 2 2 14x y??交于 A、 B 兩點(diǎn)，記 ABC?的面積為 S 。 （Ⅰ）求在 0k? ， 01b??的條件下， S 的最大值； （Ⅱ）當(dāng) 12 ?? ，SAB 時(shí)，求直線 AB 的方程。 本題主 要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分 14 分。 解： （Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ? ?bx,1 ，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ? ?bx,2 ， 由 14 22 ??bx ，解得 221 12 bx ???， ， 所以2121 xxbS ??? 212 bb ??? ，bb 112 ???? 當(dāng)且僅當(dāng) 22?b 時(shí)， S 取到最在值 1， 溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 31 （Ⅱ）解：由?????????,14,22 yxbkxy 得 ，bk bxxk 01241 222 ?????????? ? ，bk 14 22 ???? 2121 xxkAB ???? 2411412222 ???????kbkk 設(shè) O 到 AB 的距 離為 d ，則 ，ABsd 12 ?? 又因?yàn)?，kbd21?? 所以 ，kb 122 ?? 代入②式并整理，得 ，kk 04124 ??? 解得， ，bk 23,21 22 ?? 代入①式檢驗(yàn)， 0?? 。 故直線 AB 的方程是 2 62 2,2 62 22 62 22 62 2 ?????????? xyxy，xy，xy 或或或。 練習(xí) （山東 06 文）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為 4。 (Ⅰ )求橢圓的方程； (Ⅱ )直線 l 過點(diǎn) P(0,2)且與橢圓相交于 A、 B 兩點(diǎn)，當(dāng)Δ AOB 面積取得最大值時(shí)，求直線 l 的方程。 溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 32 解：設(shè)橢圓方程為 ).( 0ba1byax2222 ???? （ I）由已知得 2222cba4c2acb???? ? 1c1b2a222??? ?所求橢圓方程為 .1y2x 22 ?? （ II）解法一：由題意知直線 l 的斜率存在， 設(shè)直線 l 的方程為 2kxy ?? ， ),(),( 2211 yxByxA 由 1y2x2kxy22 ???? 消去 y 得關(guān)于 x 的方程： 068 k xx2k1 22 ???? )( 由直線 l 與橢圓相交 A、 B 兩點(diǎn)， ?△ 02k1246 4 k0 22 ????? )(， 解得 23k2? ， 又由韋達(dá)定理得 2212212k16xx2k18kxx??????? 212212212 x4xxxk1xxk1AB ???????? )( 2416k2k1 k1 222 ?? ?? . 原點(diǎn) O 到直線 l 的距離2k12d ?? 溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 33 2222A D B 2k1 32k222k1 2416kdAB21S ? ??? ????? ? 解法 1：對222k1 2416kS ? ?? 兩邊平方整理得： 024Sk4S4k4S 22242 ????? )( （ *） 0S?? ， ? 04S24S0SS4024S4S44S1622222222???????? )()( 整理得： .21S2? 又 0S? ， 22S0 ??? . 從而 AOBS? 的最大值為 22S? ， 此時(shí)代入方程（ *）得 214k04928k4k 24?????? 所以，所求直線方程為： 042yx14 ???? . 解法 2：令 )( 0m32km 2 ??? ， 則 3m2k 22 ?? ， 222m4m224mm22S2 ??????. 溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 34 當(dāng)且僅當(dāng) m4m? 即 2m? 時(shí)， 22Smax ? 此時(shí) 214k ?? . 所以，所求直線方程為 042yx14 ???? . 解法二：由題意知直線 l 的 斜率存在且不為零 . 設(shè)直線 l 的方程為 2kxy ?? ， )( 11 y,xA ， )( 22 y,xB 則直線 l 與 x 軸的交點(diǎn) ),( 0k2D? 由解法一知： 23k2? 且 2212212k16xx2k18kxx??????? 解法 1： 2kx2kxk221yyOD21S 2121A O B ????????? 222221221212k132k222k1241 6 kx4xxxxx???????????)( 下同解法一 解法 2： P O AP O BA O B SSS ??? ?? 2212122k132k22xxxx221????????? 溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 35 下同解法一 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓的離心率為 22 ， 21,FF 為其焦點(diǎn)，一直線過點(diǎn) 1F 與橢圓相交于 BA, 兩點(diǎn)，且 ABF2? 的最大面積為 2 ，求橢圓的方程。 解：由 e ＝ 22 得 1:1:2:: ?cba ，所以橢圓方程設(shè)為 222 22 cyx ?? 設(shè)直線 cmyxAB ??: ，由??? ?? ??222 22 cyxcmyx 得： 02)2( 222 ???? cmc yym 0)1(8)22(4)2(44 22222222 ????????? mcmcmccm 設(shè) ),(),( 2211 yxByxA ，則 21,yy 是方程的兩個(gè)根 由韋達(dá)定理得?????????????2222221221mcyymmcyy 所以2 1224)( 222122121 ? ?????? m mcyyyyyy ccyyFFS ABF 2221 21212 ????? 2122??mm ＝ 22222 2212211122 ccmmc ?????? 當(dāng)且僅當(dāng) 0?m 時(shí)，即 xAB? 軸時(shí)取等號 1,22 2 ??? cc 所以，所求橢圓方程為 12 22 ??yx 題型七： 弦 或弦長 為定值問題 例題 （ 07 湖北理科） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，過定點(diǎn) C（ 0， p） 作直線與拋物線x2=2py（ p0） 相交于 A、 B 兩點(diǎn)。 溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 36 （Ⅰ）若點(diǎn) N 是點(diǎn) C 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) O 的對稱點(diǎn)，求△ ANB 面積的最小值； （Ⅱ）是否存在垂直于 y 軸的直線 l，使得 l 被以 AC 為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖） 本小題主要考查直線、圓和拋 物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力 . 解法 1： （Ⅰ）依題意，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 N（ 0,p） ,可設(shè) A（ x1,y1） ,B（ x2,y2） ，直線 AB 的方程為 y=kx+p,與 x2=2py 聯(lián)立得??? ??? .22 pkxy pyx 消去 y 得 x22pkx2p2=0. 由韋達(dá)定理得 x1+x2=2pk,x1x2=2p2. 于是21221 xxpSSS A C NB C NA B N ????? ??? ＝ 2122121 4)( xxxxpxxp ???? ＝ .2284 22222 ??? kppkpp 222m i n0 pSk A B N ??? ? ）時(shí)，（當(dāng) . （ Ⅱ ） 假設(shè)滿足條件的直線 l 存在，其方程為 y=a,AC 的中點(diǎn)為 為直與 ACtO ,? 徑的圓相交于點(diǎn) P、 Q， PQ 的中點(diǎn)為 H，則 ）點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2,2, 11 pyxOPQHO ???? 2121 )(2121 pyxACPO ?????? ＝ 22121 py ?. ,2212 11 pyapyaHO ??????? 222 HOPOPH ????? 溫新堂個(gè)性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 37 = 21221 )2(41)(41 pyapy ???? ＝ ),()2(1 apaypa ??? 22 )2( PHPQ ?? = .)()2(4 2 ?????? ??? apaypa 令 02??pa ，得 pPQpa ?? 此時(shí),2 為定值，故滿足條件的直線 l 存在，其方程為2py? ， 即拋物線的通徑所在的直線 . 解法 2： （Ⅰ）前同解法 1，再由弦長公式得 2222212212212 8414)(11 pkpkxxxxkxxkAB ???????????? ＝ .212 22 ??? kkp 又由點(diǎn)到直 線的距離公式得212 kpd ?? . 從而， ,221 22122121 22222 ?????????????