【正文】 20 0 0 0 0( 2 ) 5 4 ( 2 ) 0x y y y x y y??? ? ? ? ? ??? 根據(jù)韋達(dá)定理，得： 2001 220( 2 ) 5yyy xy?? ??，則 01 220( 2) 5yy xy?? ??， 從而， 220101 ( 2 ) 5y xyy? ? ? ? ? ? 同理可求 220202 ( 2 ) 5y xyy? ? ? ? ? ? 則 2 2 2 2 2 21 2 0 0 0 0 0 0( 2) 5 ( 2) 5 2( 5 ) 4x y x y x y??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 00( , )Px y 為橢圓 2 2 15x y??上一點(diǎn)得： 220225xy??， 則 1218????， 故 12??? 的值為 18. 題型六： 面積 問題 例題 （ 07 陜西理） 已知橢圓 C： 12222 ??byax （ a＞ b＞ 0）的離心率為 ,36 短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 3 。 ? 111444 4k kxxk??? ? ? ?? 同理 1 24 4kx? ?? ? 12 124 4 84 4 3k x k x??? ? ? ? ? ???. 即 2 1 2 1 22 5 ( ) 8 0k x x k x x? ? ? ? （ *） 溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 27 又 22413y kxyx???? 消去 y 得 22(3 ) 8 1 9 0k x k x? ? ? ?. 當(dāng) 230k??時，則直線 l 與雙曲線得漸近線平行，不合題意， 230k??。 解： （Ⅱ）解法一： 由題意知直線 l 的斜率 k 存在且不等于零。 例題 8： 已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線 241xy? 的焦點(diǎn)，離心率為 552 ． （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）過橢圓 C 的右焦點(diǎn) F 作直線 l 交橢圓 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，交 y 軸于 M 點(diǎn)，若 AFMA 1?? ，BFMB 2?? ，求 21 ??? 的值． 分析： （ 07 福 建理科） 如圖，已知點(diǎn) F （ 1， 0），直線 l： x＝－ 1， P 為平面上的動點(diǎn)，過 P 作直線 l 的垂線，垂足為點(diǎn) Q ，且 Q P Q F FP FQ? ? ? （Ⅰ）求動點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； （Ⅱ）過點(diǎn) F 的直線交軌跡 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，交直線 l 于點(diǎn) M，已知溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 22 12,M A A F A F B F????，求 12??? 的值。 2 解之得： 1 55 ??? 則實(shí)數(shù) l 的取值范圍是 1,55??????。 消去 x2， 可得 2 2 2 222( 3 3 ) 14yyl l l l+ = 即 y2= 13 56ll 又 Q － 2163。 +=239。239。239。= + 239。 =239。 = + 239。239。 題型五： 共線向量 問題 解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過未達(dá)定理 同類坐標(biāo)變換，將問題解決。 分析： 第一問中，知道焦點(diǎn)，則 ，再根據(jù)過 點(diǎn) A，通過解方程組，就可以求出 ，求出方程。否則，大家很容易陷入繁雜的運(yùn)算中，并且算錯，費(fèi)時耗精力，希望同學(xué)們認(rèn)真體 會其中的精髓。 （ I）求橢圓的方程； （ II）若直線 : ( 2)l x t t??與 x 軸交于點(diǎn) T,點(diǎn) P 為直線 l 上異于點(diǎn) T 的任一點(diǎn)，直線 PA1,PA2分別與橢圓交于 M、 N 點(diǎn)，試問直線 MN 是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。 接下來，如果分別利用直線 PC、 QC的方程 通過坐標(biāo)變換法 將點(diǎn) P、 Q的縱坐標(biāo)也求出來，計算量 會增加許多 。 解： (I) 2BC AC? ，且 BC 過橢圓的中心 O OC AC?? 0AC BC ? 2ACO ??? ? 又 A (2 3,0) ?點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ( 3, 3) 。其實(shí)解析幾何就這么點(diǎn)知識， 你發(fā)現(xiàn)了嗎？ 題型四： 過 已知曲線上 定點(diǎn)的弦的 問題 若直線過的定點(diǎn)在已知曲線上，則過定點(diǎn)的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達(dá)定理結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出另一端點(diǎn)的坐溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 14 標(biāo)，進(jìn)而解決問題。 分析： 以 AB 為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn) O，則 OA? OB，若設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，則1 2 1 2 0x x y y??，再通過 221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )y y k x m k x m k x x m k x x m? ? ? ? ? ? ? ? ?，將條件轉(zhuǎn)化為 221 2 1 2( 1 ) ( ) 0k x x m k x x m? ? ? ? ?，再通過直線和拋物線聯(lián)立，計算判別式后，可以得到 12xx ， 12xx? ，解出 k、 m 的等式，就可以了。 分析： 第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問， 直線 mkxyl ??： 與橢圓C 相交于 A， B 兩點(diǎn) ，并且橢圓的右頂點(diǎn)和 A、 B 的連線互相垂直，證明 直線 l 過定點(diǎn) ，就是通過垂直建立 k、 m 的一次函數(shù)關(guān)系。 另外：也可以直接設(shè) P(t， y0)，通過 A1， A2的坐標(biāo)寫出直線 PA1， PA2 的直線方程，再分別和橢圓聯(lián)立 ，通過韋達(dá)定理求出 M、 N 的坐標(biāo)，再寫出直線 MN 的方程。 從而橢圓的方程為 2 2 14x y?? （ II）設(shè) 11( , )M x y ， 22( , )N x y ，直線 1AM 的斜率為 1k ,則直線 1AM 的方程為 1( 2)y k x??，溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 10 由 122( 2)44y k xxy???? ??? 消 y 整理得 2 2 21 2 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ? 12 x?和 是方程的兩個根 ， 211 2116 42 14kx k??? ? ? 則 211 212814kx k?? ?， 11 21414ky k? ?， 即點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 211222 8 4( , )1 4 1 4kk???， 同理，設(shè)直線 A2N 的斜率為 k2，則得點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk???? 12( 2) , ( 2)ppy k t y k t? ? ? ? 12122kkk k t?? ??? ， 直線 MN 的方程為： 1 2 11 2 1y y y yx x x x??? ， ?令 y=0，得 2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點(diǎn) M、 N 的坐標(biāo)代入，化簡后得： 4x t? 又 2t? ， ? 402t?? 橢圓的焦 點(diǎn)為 ( 3,0) 4 3t?? ，即 433t? 故當(dāng) 433t? 時， MN 過橢圓的焦點(diǎn)。 （ I）求橢圓的方程； （ II）若直線 : ( 2)l x t t??與 x 軸交于點(diǎn) T,點(diǎn) P 為直線 l 上異于點(diǎn) T 的任一點(diǎn)，直線 PA1,PA2分別與橢圓交于 M、 N 點(diǎn)，試問直線 MN 是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。 題型三：動弦過定點(diǎn)的問題 圓錐曲線自身有一些規(guī)律性的東西， 其中一些性質(zhì) 是 和直線與圓錐曲線相交的弦有關(guān)系，對這樣的一些性質(zhì)，我們必須了如指掌，并且必須會證明 。 由韋達(dá)定理得： 221 2 1 25 0 1 2 5 2 0,4 5 4 5kkx x x x ?? ? ???， 則 22120 0 02 2 22 5 2 5 2 0, ( 5 ) ( 5 )2 4 5 4 5 4 5xx k k kx y k x kk k k? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?， M( 222545kk?，22045kk? ?)。 練習(xí) 設(shè) 1F 、 2F 分別是橢圓 22154xy??的左右焦點(diǎn)．是否存在過點(diǎn) (5,0)A 的直線 l 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) C、 D，使得22F C F D?？若存在，求直線 l 的方程；若不存在，請說明理由． 分析 ：由22F C F D?得，點(diǎn) C、 D 關(guān)于過 2F的直線對稱，由直線 l 過 的定點(diǎn) A(5,0)不在22154xy??的內(nèi)部，可以設(shè)直線 l 的方程為：( 5)y k x??，聯(lián)立方程組，得一元二次方程，根據(jù)判別式，得出斜率 k 的取值范圍，由韋達(dá)定理得弦 CD 的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)，由點(diǎn)M 和點(diǎn) F1 的坐標(biāo)，得斜率為 1k? ，解出 k 值，看是否在判別式的取值范圍內(nèi)。 （ Ⅱ ） 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y， 弦 MN 的中點(diǎn) A 00( , )xy 由223 4 12y kx mxy???? ??? 得： 2 2 2( 3 4 ) 8 4 12 0k x m k x m? ? ? ? ?， 直線 )0(: ??? kmkxyl 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) ， 2 2 2 264 4( 3 4 ) ( 4 12) 0m k k m? ? ? ? ? ? ?，即 2243mk????????（ 1） 由韋達(dá)定理得： 21 2 1 2228 4 1 2,3 4 3 4m k mx x x xkk ?? ? ? ???， 則 20 0 02 2 24 4 3,3 4 3 4 3 4m k m k mx y k x m mk k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?， 直線 AG 的斜率為： 2223243441 32 3 43 4 8AGmmkKmk m k kk???? ? ????， 由直線 AG 和直線 MN 垂直可得：224 13 2 3 4m km k k ??? ? ?，即 2348 km k? ，代入（ 1）式，可得 2 2234( ) 4 38 k kk? ??，即 2 120k ? ，則 5510 10kk? ? ?或 。 （ Ⅰ ）求橢圓方程； （ Ⅱ ）若直線 )0(: ??? kmkxyl 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M 、 N ，且線段 MN 的垂直平分線過定點(diǎn) )0,81(G ，求 k 的取值范圍。 技巧提示 ： 直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率 k，利用韋達(dá)定理 ，將弦的中點(diǎn)用 k 表示出來， 韋達(dá)定理就是同類坐標(biāo)變換的技巧，是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的兩大技巧之第一個技巧。 分析： 第一問求圓的方程，運(yùn)用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等于圓心到定點(diǎn)的 距離；第二問，過定點(diǎn)的弦的垂直平分線如果和 x軸相交，則弦的斜率存在，且不等于 0，設(shè)出弦 AB所在的直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的 橫 坐標(biāo)，由弦 AB 的方程求出中點(diǎn)的總坐標(biāo)， 再有弦 AB的斜率，得到線段 AB的垂直平分線的方程， 就可以得到點(diǎn) G的坐標(biāo)。 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y? ? ? ? 2 2214 1k kk??? 212 kd k?? 22223 1 4 1122kkkkk??? ? ? 解得 3913k?? 滿足 ② 式 此時0 53x?。 設(shè)直線 : ( 1)l y k x??， 0k? ， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 。 例題 過點(diǎn) T(1,0)作直線 l 與曲線 N ： 2yx? 交于 A、 B 兩點(diǎn)，在 x 軸上是否存在 一點(diǎn)E( 0x ,0)，使得 ABE? 是等邊三角形，若存在，求出 0x ；若不存在，請說明理由。故選擇 D 規(guī)律提示： 含焦點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閳A錐曲線的內(nèi)部。 規(guī)律提示： 通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點(diǎn)： : 1 0 1l y k x? ? ? 過 定 點(diǎn) （ ， ） : ( 1 ) 1l y k x? ? ? ?過 定 點(diǎn) （ ， 0 ） : 2 ( 1 ) 1l y k x? ? ? ? ?過 定 點(diǎn) （ ， 2 ） 證明直線過定點(diǎn)，也是 將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一 ，再得出結(jié)論。 弦長公式：若點(diǎn) 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， 在直線 ( 0)y kx b k? ? ? 上， 則 1 1 2 2y k x b y k x b? ? ? ?， ，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一， 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )A B x x y y x x k x k x k x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 221 2 1 2(1 ) [ ( ) 4 ]k x x x x? ? ? ? 或者 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 22