天津市屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練：立體幾何-資料下載頁
2025-01-07 23:06本頁面
【正文】 設(shè)平面 AFG 的法向量為 ),( 111 zyxm ? ，則 由?????????00AGmAFm ，即??????????0032323211111tyxzyx ，取 1y? 得 )1,1,( ??? ttm ． 9分 設(shè)平面 AFE 的法向量為 ),( 222 zyxn ? ，則 由?????????00AEnAFn ，即??????????0032323222222yxzyx ，取 1y? ，即 )0,1,1(??n ． 11分 由 二面角 G AF E??的大小為 30? ，得23|||| ||30c os 0 ??? nm nm， 化簡得 22 5 2 0tt? ? ? ， 又 01t?? ，求得 12t? ． 于是滿足條件的點(diǎn) G 存在，且 12DG? ． 13 分 1 解： (Ⅰ) 由于 平面 AEF? 平面 EFCB ， AEF△ 為等邊三角形， O 為 EF 的中點(diǎn)，則 AO EF? ，EFE F C BA E F ?? 平面平面 ,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以 AO? 平面 EFCB，又 BE? 平面EFCB ，則 AO BE? .… 3 分 (Ⅱ) 取 CB 的中點(diǎn) D，連接 OD,則 EFOD? 以 O 為原點(diǎn)，分別以 ODOAOE 、 為 、 、xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系， … 4 分 )0,0,0(O ， )0,0,(aE ， )0,0,( aF ? ， )0,3,0( aA ， ))2(3,0,2( aB ? ， ))2(3,0,2( aC ?? ， ))2(3,0,2( ??? aaBE 設(shè)平面 AEB 的法向量 ),.( zyxm? ?????????00EmAEm 即???????????0)2(3)2(03zaxaayax 令 1,3,1 ???? zxy )1,1,3( ???m …… 6 分 平面 AEF 的法向量為 )1,0,0(?n ， …… 7 分 二面角 F AE B??的余弦值55,c o s ?????? nm nmnm， …… 8 分 由二面角 F AE B??為鈍二面角，所以二面角 F AE B??的余弦值 為 55? . …… 9 分 (Ⅲ) ))2(3,3,2( ?? aaCA …… 10 分 設(shè)直線 CA 與平面 BEA 所成角為 ? ， mCAmCA???sin5 62)2(3345 34 22 ????? aa 1016126 2 ???? aa …… 12 分 )2,0(1???a 滿足題意 1??a …… 13 分 1解：以 A 為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系 (0,0,0)A (2,0,0)D (0,2,0)C (1,1,0)E 33( , ,0)22B ? (0,0,2)P …… 2 分 (Ⅰ) 設(shè) ( , , )M x y z , 2AM MB?uuur uuurQ 33( , , ) 2 ( , , )22x y z x y z? ? ? ? ? ? 32322xxyyzz? ? ? ??? ? ??? ??? 3310xyz?????????? ????3( ,1,0)3M?? ………… 3 分 3( 1, 0 , 0 )3EM? ? ? ?uuur ,平面 PAD 的法向量 (0,1,0)p?ur …………… 4 分 0EF p??uuur urg EF p??uuur ur 又 EM?Q 平面 PAD ? //EM 平面 PAD …………… 5 分 (Ⅱ) 設(shè)平面 PBC 的法向量 ( , , )m x y z?ur zyxABCDEPM31( 0 , 2 , 2 ) , ( , , 0 )22P C B C? ? ?uuur uuurQ 00m PCm BC? ??????ur uuurgur uuurg ，即 030yzxy????? ???? 令 1, 3 , 3x y z? ? ? ? ? ( 1, 3 , 3 )m? ? ?ur …………… 7 分 平面 PAD 的法向量 (0,1,0)p?ur 設(shè)二面角所成的銳二面角為 ? 21c os c os ,7mpmpmp?? ? ? ?ur urgur urur urg 平面 PAD 與平面 PBC 所成銳二面角的余弦值為 217 . …………… 9 分 (Ⅲ) 令 , (0 1)PF PD??? ? ?uuur uuur ( 2 , 0 , 2) , ( 2 , 0 , 2 2 )P F F? ? ?? ? ? ?u u ur …… 10 分 ( 2 1, 1, 2 2 )EF ??? ? ? ?uuur ?2222c os ,22 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 )EF ACEF ACEF AC ??? ? ?? ? ? ?u u ur u u urgu u ur u u uru u ur u u urg … 11 分 24 6 2 0??? ? ? ? 12???或 1（舍） (1 , 0 , 1 ) , 2F A F? ? ? … … 13 分 1 （ 1）在 CE 上取一點(diǎn) M ，使 BFCM? ，連 FM ，∵ BF ∥ CE ，∴ BF ∥ CM ∴四邊形 BCMF 為平行四邊形……………… 1 分 ∴四邊形 ADMF 為平行四邊形……………… 3 分 ∴ AF ∥ DM ，∵ ?DM 平面 DCE ， ?AF 平面 DCE ，∴ AF ∥ 平面 DCE ………… 4 分 （ 2）以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)， CDCB, 的方向分別為 yx, 軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè) aAD? ， ∵ 422 ??? ABBFCE ， ?120??? DCEABF ， G 是 AF 中點(diǎn)． ∴ ? ? ? ? ? ?0,2,0,0,0,0,2, DaBaA ， ? ? ? ??????????? 23,21,3,1,32,2,0 aGaFE．…………… 6 分 ∴ ? ?3,3,23,21,0 ??????????? aDFBG， ? ?32,4,0 ??DE …………… 7 分 ∵ ? ? ? ? 032 332103,3,2 3,21,0 ???????????????????? aaDFBG，∴ DFBG? ……… 8 分 （ 3）∵四邊形 ABCD 為 矩形 ，∴ BCAB? ，又∵ BCBF? ， BFAB, 是平面 ABF 內(nèi)的兩條相交直線，∴ ?BC 平面 ABF ∵ ?BG 平面 ABF ，∴ BCBG? ，∴ ADBG? ，又 DFBG? ∵ DFAD, 是平面 ADF 內(nèi)的兩條相交直線，∴ ?BG 平面 ADF ……………… 9 分 ∴????????? 23,21,0BG是平面 ADF 的一個(gè)法向量……………… 10 分 設(shè)平面 EDF 的一個(gè)法向量為 ? ?zyxn ,?? ，∴ 0,0 ???? DEnDFn ?? ∴???????????0324033zyzyax ，令 az 2? ，則 3,3 ?? xay ，即 ? ?aan 2,3,3?? ……………… 11 分 ∵二面角 ADFE ?? 的大小為 ?150 ，∴ |150co s||||| || ??? ??BGn BGn，解得26?a ∴線段 DF 的長為 ? ? ? ?2 6333|| 222 ????? aDF……………… 13 分
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