【正文】 有一負根 1x和一正根 2x， 12xx??．其中 1x不在函數(shù)定義域內(nèi)． 當 2(0, )xx? 時， 39。( ) 0gx? ， 函數(shù) ()gx 單調(diào)遞減． 當 2( , )xx? ?? 時， 39。( ) 0gx? ，函數(shù) ()gx 單調(diào)遞增． ∴()gx在定義域上的最小值為 2． ……………………………………….……7 分 依題意 2( ) 0?．即2 2 22( ) l n 3 5 0ag x x xx? ? ? ? ?．又22230x x a? ? ?， 于是22 31a xx， 又02?x， 所以 31?x． ∴ 2 2 2 2( ) 3 1 l n 3 5 0g x x x x? ? ? ? ? ?，即6 6 ln 0? ? ?， …………..……9 分 令 ( ) 6 6 lnh x x x? ? ?，則1 6 139。( ) 6 xhx xx?? ? ?． 當1( , )3x? ??時，39。( ) 0hx?，所以)xh是增函數(shù)． 又 (1) 6 6 ln 1 0h ? ? ? ?，所以 226 6 ln 0xx? ? ?的解集為[1, )??． …... 11 分 又函數(shù) 23y x x??在 1( , )6 ?? 上單調(diào)遞增， ∴223 3 1 1 2a x x? ? ? ? ? ?． 故 a的取值范圍是[2, )??． ……………………………….……………………12 分 解法二：由于 ( ) lnaf x xx?? 的定義域為(0, )??， 于是( ) 5 3f x x??可化為 xxxxa 53ln2 ???． ……………………..……5 分 設xxxxxg 53ln)( 2 ???．則39。( ) ln 6 6g x x x? ? ?． 設( ) 39。( )h x g x?，則1 1 639。( ) 6 xhx xx?? ? ?． 當(1, )x? ??時，39。( ) 0hx?，所以()hx在[1, )??減函數(shù)． 又(1) 39。(1) 0hg??， ∴ 當( , )x時， ( ) (1) 0h x h??，即 當(1, )x? ??時， 39。( ) 0gx? ， ∴(g在[1, )??上是減函數(shù)． ∴ 當[1, )x? ??時，( (1 ) 1 l n 1 3 5 2g x g? ? ? ? ? ?.………….……..…8 分 當( ,1)時，先證 1ln ??xx， 設)1(ln)( ??? xxxF，139。( ) 0xFx x???， )(xF是增函數(shù)且0)1( ?F，0)( ?xF，即 1ln ??xx， 當0,1)x?時， 22)1(253)1(53ln)(222 ???????????? xxxxxxxxxxg…..11 分 綜上所述 ()gx 的最大值為 2． ∴ a的取值范圍是[ , )??． ………………………………………….………12 分 【 解析 】 ? ? ? ?? ?222 x x x afx xx????? ? ? ???222x x axx??? ???????? 1分 ? ? ? ?? ? 2222x x a xxx???? ? ??? ? ?? ?3 2 2222x a x a x axx? ? ??? ? ? ??? 將 34a ?? 代入得?? ? ? ? ?? ?? ?233 2 2 322 4 9 34 5 6 344 x x xx x xfx x x x x? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ?? ??,?????? 3分 由 ? ? 0fx? ? ,得 x ?? ,且當 ? ?0,x ?? 時 , ? ? 0fx? ? , ??fx遞減；?????? 4分 ? ?,x ?? ?? 時 , ? ? 0fx? ? , ??fx遞增；故當 x ?? 時 , ??fx取極小值 ? ? 13 ln24f ? ? ? ??? , 因此 ??fx最小值為 ? ? 13 ln24f ? ? ? ??? ,令 ? ? 0f ? ? ,解得 23e?? .?????? 6分 (Ⅱ )因為 ? ? 22l n l n l nxf x a x x a x x a xxx ?????? ? ? ? ? ? ? ? ???,?????? 7分 記 ? ? lnh x x a x?? ? ? ,故只需證明 :存在實數(shù) 0x ,當 0xx? 時 , ? ? 0hx? , [方法 1] ? ? ? ?l n l nh x x a x x a x a x x??? ? ? ? ? ? ? ?,?????? 8分 設 lny x x??, 0x? ,則 1 1 222 xy xxx ?? ? ? ? 易知當 4x? 時 , m in 2 2 ln 2 0y ? ? ?,故 ln 0y x x? ? ? ?????? 10分 又由 0x a x ?? ? ? 解得 : 2 42aax ???? ,即 22 42aax ?????? ???? 取 22042aax ?????? ????,則當 0xx? 時 , 恒有 ? ? 0hx? . 即當 0xx? 時 , 恒有 ? ? 0fx? 成立 .?????? 12分 [方法 2] 由 ? ? lnh x x a x?? ? ? ,得 : ? ? 1 a x ahx xx?? ? ? ?,?????? 8分 故 ??hx是區(qū)間 ? ?,a?? 上的增函數(shù) .令 2nx? ,n?N , 2n? , 則 ? ? ? ?2 2 l n 2nnh x h a n?? ? ? ?,因為 ? ? ? ? 21 12 1 1 1 22nn nnnn?? ? ? ? ? ?,?????? 10分 故有 ? ? ? ? ? ?212 2 l n 2 l n 22nnh x h a n n a n??? ? ? ? ? ? ? 令 ? ?21 ln 2 02 n a n ?? ? ?,解得 : ? ? 22 ln 2 ln 4 82aan ???? , 設 0n 是滿足上述條件的最小正整數(shù) ,取 00 2nx ? ,則當 0xx? 時 , 恒有 ? ? 0hx? , 即 ? ? 0fx? 成立 .?????? 12分 1 1 解 ： （ Ⅰ ） ( ) l n 2 l n 2 ( 1 ) l nxxf x a a x a x a a? ? ? ? ?++． ???????? （ 1 分） 因為當 1a? 時， ln 0a? ， ? ?1 lnxaa? 在 R 上是增函數(shù) ， 因為當 01a??時， ln 0a? ， ? ?1 lnxaa? 在 R 上 也 是增函數(shù) ， 所以 當 1a? 或 01a??， 總有 ()fx? 在 R 上是增函數(shù)， ??????????? （ 2 分） 又 (0) 0f? ? ，所以 ( ) 0fx? ? 的解集為 (0, )?+ ， ? ?39。0fx? 的解集為 ? ?,0?? ， ?? （ 3 分） 故函數(shù) ()fx的單調(diào)增區(qū)間為 (0, )?+ ，單調(diào)減區(qū)間為 ? ?,0?? ． ???????? （ 4 分） （ Ⅱ ） 因為存在 12, [ 1,1]xx?? ，使得 12( ) ( ) e 1f x f x??≥ 成立， 而當 [ 1,1]x?? 時， 1 2 m a x m in( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x??≤ ， 所以只要 m a x m in( ) ( ) e 1f x f x??≥即可． ??????????????? （ 5 分） 又因為 x ， ()fx? ， ()fx的變化情況如下表所示： x ( ,0)?? 0 (0, )?+ ()fx? ? 0 + ()fx 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 所以 ()fx 在 [1,0]? 上是減函數(shù)，在 [0,1] 上是增函數(shù)，所以當 [ 1,1]x?? 時， ??fx 的最小值? ? ? ?m in 01f x f??， ??fx的最大值 ? ?maxfx 為 ? ?1f ? 和 ??1f 中的最大值． ??? （ 7 分） 因為 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 l n ) ( 1 l n ) 2 l nf f a a a a aaa? ? ? ? ? ? ? ?+ + +， 令 1( ) 2 ln ( 0 )g a a a aa? ? ? ?，因為 221 2 1( 1 (1 ) 0ga a a a? ? ? ? ? ?+， 所以 1( ) 2 lng a a aa? ? ? 在 ? ?0,a? ?? 上是增函數(shù)． 而 (1) 0g ? ，故當 1a? 時， ? ? 0ga? ，即 (1) ( 1)ff??； 當 01a??時， ? ? 0ga? ，即 (1) ( 1)ff??． ???????????? （ 9 分） 所以，當 1a? 時， (1) (0) e 1ff??≥ ，即 ln e 1aa??≥ ， 函數(shù) lny a a?? 在 (1, )a? ?? 上是增函數(shù)，解得 ea≥ ； ??????? （ 10 分） 當 01a??時， ( 1) (0) e 1ff? ? ?≥ ，即 1 ln e 1aa ??≥ ， 函數(shù) 1 lnyaa?? 在 (0,1)a? 上是減函數(shù)，解得 10 ea? ≤ ． ?????? （ 11 分） 綜上可知，所求 a 的取值范圍為 1(0, ] [e, )ea??+ ． ????????? (12 分 )