【導(dǎo)讀】第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a，若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射。線，若2a﹥|F1F2|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。），焦點在y軸上時。拋物線：開口向右時22ypxp??雙曲線：由x2,y2項系數(shù)的正負(fù)決定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；提醒：在橢圓中，a最大，222abc??其中長軸長為2a，短軸長為2b；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線2axc??e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一。與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。＝1外一點00(,)Pxy的直線與雙曲線只有一個。和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別

　　

【正文】 ，代入橢圓 C 的方程，消去 y 得出關(guān)于 x 的一元二次方程： ? ? 08)41(2)41(412 222 ??????? kxkkxk （ 2） ∴ ???????????????.12 8)41(2,12 )14(42221221kkxxkkkxx 代入（ 1），化簡得： .234 ??? kkx (3) 與 1)4( ??? xky 聯(lián)立，消去 k 得： ? ? .0)4(42 ???? xyx 在（ 2）中，由 0246464 2 ?????? kk ，解得 4 1024 102 ???? k，結(jié)合（ 3）可求得 .9 102169 10216 ???? x 故知點 Q 的軌跡方程為： 042 ??? yx （ 9 102169 10216 ???? x ） . 點評： 由方程組實施消元 ， 產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到 . 這當(dāng)中，難點在引出參，活點在應(yīng)用參，重點在消去參 .，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道 . 求根公式 法 例 5 設(shè)直線 l 過點 P（ 0， 3），和橢圓 x y2 29 4 1? ? 順次交于 A、 B兩點，試求 APPB 的取值范圍 . 分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到： APPB=BAxx? ，但從此后卻一籌莫展 , 問題的根源在于對題目的整體把握不夠 . 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系 . 分析 1: 從第一條想法入手， APPB =BAxx? 已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量 BAxx, ，同時這兩個變量的范圍不好控 制，所以自然想到利用第 3個變量 —— 直線 AB 的斜率 k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將 BAxx, 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 k 的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去 y得出關(guān)于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出 . 簡解 1：當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時，可求得 51??PBAP 。 當(dāng) l 與 x 軸不垂直時，設(shè) ? ? )(, 2211 yxByxA ，直線 l 的方程為： 3??kxy ，代入橢圓方程，消去 y 得 ? ? 0455449 22 ???? kxxk 解之得 .49 59627222,1 ? ???? k kkx 因為橢圓關(guān)于 y 軸對稱，點 P 在 y 軸上，所以只需考慮 0?k 的情形 . 當(dāng) 0?k 時， 49 59627221 ? ???? k kkx， 49 59627222 ? ???? k kkx， 所以 21xxPBAP ?? = 5929 5929 2 2?? ??? kk kk = 5929 181 2 ??? kk k =25929181k???. 由 ? ? 0491 8 0)54( 22 ?????? kk , 解得 952?k ， 所以 515929 1811 2 ??????? k， 綜上 511 ???? PBAP . 所求量的取值范圍 把直線 l 的方程 y = kx+3 代 入橢圓方程，消去 y得到關(guān)于 x 的一元二次方程 xA= f（ k）， xB = g（ k） 得到所求量關(guān)于 k 的函數(shù)關(guān)系式 求根公式 AP/PB = — （ xA / xB） 由判別式得出 k 的取值范圍 分析 2: 如果想構(gòu)造關(guān)于 所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源 . 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 k 的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k 聯(lián)系起來 . 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于21xxPBAP ?? 不是關(guān)于 21,xx 的對稱關(guān)系式 . 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于 21,xx 的對稱關(guān)系式 . 簡解 2：設(shè)直線 l 的方程為： 3??kxy ，代入橢圓方程，消去 y 得 ? ? 0455449 22 ???? kxxk （ *） 則?????????????.49 45,49 54221221kxxkkxx 令 ??21xx ，則， .204532421 2 2???? k k?? 在（ *）中，由判別式 ,0?? 可得 952?k ， 從而有 5362045324422 ??? k k ，所以 536214 ???? ?? ，解得 551 ??? . 結(jié)合 10 ??? 得 151 ??? . 綜上， 511 ???? PBAP . 點評 ：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法 ，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等 . 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程，消去 y得到關(guān)于 x 的一元二次方程 xA+ xB = f（ k）， xA xB = g（ k） 構(gòu)造所求量與 k 的關(guān)系式 關(guān)于所求量的不等式 韋達(dá)定理 AP/PB = — （ xA / xB） 由判別式得出 k 的取值范圍 美解法 . 解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里 . 第三、推理訓(xùn)練 ： 數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互 關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。 例 6 橢圓長軸端點為 BA, ， O 為橢圓中心， F 為橢圓的右焦點 ， 且 1??FBAF ，1?OF ． （Ⅰ） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ） 記橢圓的上頂點為 M ，直線 l 交橢圓于 QP, 兩點，問：是否存在直線 l ，使點 F恰為 PQM? 的垂心？若存在，求出直線 l 的方程 。若不存在，請說明理由 。 思維流程： （Ⅰ） （Ⅱ） 消元 解題過程： （Ⅰ） 如圖建系，設(shè)橢圓方程為 2222 1( 0 )xy abab? ? ? ?,則 1c? 2, 1ab?? 寫出橢圓方程 由 1AF FB??， 1OF? ( )( ) 1a c a c? ? ?， 1c? 1PQk ? 由 F 為 PQM? 的重心 ,P Q M F M P F Q?? 2222y x mxy???? ??? 223 4 2 2 0x m x m? ? ? ? 兩根之和， 兩根之積 0MP FQ?? 得出關(guān)于 m 的方程 解出 m 又 ∵ 1??FBAF 即 22( ) ( ) 1a c a c a c? ? ? ? ? ?， ∴ 2 2a? 故橢圓方程為 2 2 12x y?? （Ⅱ） 假設(shè)存在直線 l 交橢圓于 QP, 兩點，且 F 恰為 PQM? 的垂心，則 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y， ∵ (0,1), (1,0)MF，故 1?PQk ， 于是設(shè)直線 l 為 y x m?? ，由2222y x mxy???? ???得 ， 223 4 2 2 0x m x m? ? ? ? ∵ 1 2 2 10 ( 1 ) ( 1 )M P F Q x x y y? ? ? ? ? ? 又 ( 1, 2)iiy x m i? ? ? 得 1 2 2 1( 1 ) ( ) ( 1 ) 0x x x m x m? ? ? ? ? ? 即 21 2 1 22 ( ) ( 1 ) 0x x x x m m m? ? ? ? ? ? 由韋達(dá)定理得 2 22 2 42 ( 1 ) 033mm m m m?? ? ? ? ? ? 解得 43m?? 或 1m? （舍） 經(jīng)檢驗 43m?? 符合條件 ． 點石成金： 垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零 ． 例 已知橢圓 E 的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過 ( 2,0)A? 、 (2,0)B 、31,2C??????三點． （Ⅰ）求橢圓 E 的方程： （Ⅱ）若點 D 為橢圓 E 上不同于 A 、 B 的任意一點， ( 1, 0), (1, 0)FH? ，當(dāng)Δ DFH 內(nèi)切圓的面積最大時，求Δ DFH 內(nèi)心的坐標(biāo)； 思維流程： （Ⅰ） 由橢圓經(jīng)過 A、 B、 C 三點 設(shè)方程為 122 ?? nymx 得到 nm, 的方程組 解出 nm, （Ⅱ） 解題過程： （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為 122 ??nymx ? ?0,0 ?? nm ， 將 ( 2,0)A? 、 (2,0)B 、 3(1, )2C代入橢圓 E 的方程，得 4 1,9 14mmn???? ????解得 11,43mn??.∴橢圓 E 的方程 22143xy?? ． （Ⅱ） | | 2FH? ，設(shè)Δ DFH 邊上的高為 hhSD F H ????? 221 當(dāng)點 D 在橢圓的上頂點時， h 最大為 3 ，所以 DFHS? 的最大值為 3 ． 設(shè)Δ DFH 的內(nèi)切圓的半徑為 R ，因為Δ DFH 的周長為定值 6．所以， 621 ??? RS DFH 所 以 R 的最大值為 33 ．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 3(0, )3. 點石成金：的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓 的周長 ?? ???? rS 21 例 已知定點 )01( ，?C 及橢圓 53 22 ?? yx ，過點 C 的動直線與橢圓相交于 AB， 兩點 . （Ⅰ）若線段 AB 中點的橫坐標(biāo)是 12? ，求直線 AB 的方程； （Ⅱ）在 x 軸上是否存在點 M ，使 MBMA? 為常數(shù)？若存在，求出點 M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 . 思維流程： 得出 D 點坐標(biāo)為???????? ? 33,0 由 DFH? 內(nèi)切圓面積最大 轉(zhuǎn)化為 DFH? 面積最大 轉(zhuǎn)化為點 D 的縱坐標(biāo)的絕對值最大最大 D 為橢圓短軸端點 DFH? 面積最大值為 3 內(nèi)切圓周長 rS D F H ???? 21 33?內(nèi)切圓r （Ⅰ）解：依題意，直線 AB 的斜率存在，設(shè)直線 AB 的方程為 ( 1)y k x??， 將 ( 1)y k x??代入 53 22 ?? yx ， 消去 y 整理得 2 2 2 2( 3 1 ) 6 3 5 0 .k x k x k? ? ? ? ? 設(shè) 1 1 2 2( ) ( ) A x y B x y， ， ， ， 則 4 2 2212 23 6 4 ( 3 1 ) ( 3 5 ) 0 ( 1 ) 6 . ( 2 )31k k kkxxk? ? ? ? ? ? ??? ? ? ????， 由線段 AB 中點的橫坐標(biāo)是 12?， 得 2122312 3 1 2xx kk? ? ? ? ??，解得 33k??，符合題意。 所以直線 AB 的方程為 3 1 0xy? ? ? ，或 3 1 0xy? ? ? . （Ⅱ）解：假設(shè)在 x 軸上存在點 ( ,0)Mm ，使 MBMA? 為常數(shù) .