【正文】 圓錐曲線 ： 第一定義 中要 重視“括號”內(nèi)的限制條件 ： 橢圓中 ，與兩個定點 F1 ， F2 的距離的和等于常數(shù) 2a ，且此 常數(shù) 2a 一定要大于 21FF ，當常數(shù)等于 21FF 時，軌跡 是線段 F1 F2 ，當常數(shù)小于 21FF 時，無軌跡； 雙曲線中 ，與兩定點 F1 ， F2 的距離的差的絕對值等于常數(shù) 2a ，且此常數(shù) 2a 一定要小于 |F1 F2 |，定義中的 “絕對值”與 2a ＜ |F1 F2 |不可忽視 。若 2a ＝ |F1 F2 |，則軌跡是以 F1 ， F2 為端點的兩條射線，若 2a ﹥ |F1 F2 |，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。 （ 標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程） ： （ 1） 橢圓 ： 焦點在 x 軸上時 12222 ??byax （ 0ab?? ），焦點在 y 軸上時2222 bxay ? ＝ 1（ 0ab?? ）。方程 22Ax By C??表示橢圓的充要條件是什么？（ ABC≠ 0，且 A， B， C 同號， A≠ B）。 （ 2） 雙曲線 ： 焦點在 x 軸上：2222 byax ? =1，焦點在 y 軸上：2222 bxay ? ＝ 1（ 0, 0ab??）。 方程22Ax By C??表示雙曲線的充要條件是什么？ （ ABC≠ 0，且 A， B 異號 ）。 （ 3） 拋物線 ：開口向右時 2 2 ( 0)y px p??，開口向左時 2 2 ( 0)y px p? ? ?，開口向上時2 2 ( 0)x py p??，開口向下時 2 2 ( 0)x py p? ? ?。 （首 先化成標準方程，然后再判斷） ： （ 1） 橢圓 ：由 x 2 ,y 2 分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。 （ 2） 雙曲線 ： 由 x 2 ,y 2 項系 數(shù)的正負決定， 焦點在系數(shù)為正的坐標軸上； （ 3） 拋物線 ： 焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。 提醒 ：在橢圓中， a 最大， 2 2 2a b c??，在雙曲線中， c 最大， 2 2 2c a b??。 ： （ 1） 橢圓 （以 12222 ??byax （ 0ab?? ）為例）： ① 范圍 ： ,a x a b y b? ? ? ? ? ?； ② 焦點 ： 兩個焦點 ( ,0)c? ； ③ 對稱性 ： 兩條對稱軸 0, 0xy??，一個對稱中心（ 0,0）， 四個頂點 ( ,0),(0, )ab??，其中長軸長為 2a ，短軸長為 2b ； ④ 準線 ： 兩條準線 2ax c?? ； ⑤ 離心率 ： ce a? ，橢圓 ? 01e??，e 越小，橢圓越圓； e 越大，橢圓越扁。 （ 2） 雙曲線 （以 221xyab??（ 0, 0ab??）為例）： ① 范圍 ： xa?? 或 ,x a y R??； ② 焦點 ：兩個焦點 ( ,0)c? ； ③ 對稱性 ： 兩條對稱軸 0, 0xy??，一個對稱中心（ 0,0）， 兩個頂點 ( ,0)a? ，其中實軸長為 2a ，虛軸長為 2b ， 特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為22 ,0x y k k? ? ?； ④ 準線 ： 兩條準線 2ax c?? ； ⑤ 離心率： ce a? ， 雙曲線 ? 1e? ， 等軸雙曲線? 2e? ， e 越小，開口越小， e 越大，開口越大； ⑥ 兩條漸近線 ： byxa?? 。 （ 3） 拋物線 （以 2 2 ( 0)y px p??為例）： ① 范圍 ： 0,x y R??； ② 焦點： 一個焦點 ( ,0)2p ，其中 p的幾何意義是：焦點到準線的距離； ③ 對稱性 ： 一條對稱軸 0y? ，沒有對稱中心，只有 一個頂點（ 0,0） ； ④ 準線 ： 一條準線2px??； ⑤ 離心率 ： cea?，拋物線 ? 1e? 。 點 00( , )Px y 和橢圓 12222 ??byax （ 0ab?? ）的關(guān)系 ：（ 1）點 00( , )Px y 在橢圓外 ? 22020xyab??；（ 2）點 00( , )Px y 在橢圓上 ?220220 byax ? ＝ 1；（ 3）點 00( , )Px y 在橢圓內(nèi) ? 22020xyab?? 6． 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 ： （ 1）相交 ： 0?? ? 直線與橢圓相交； 0?? ? 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有 0?? ，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故 0?? 是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件； 0?? ? 直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有 0?? ，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故 0?? 也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。 （ 2） 相切： 0?? ? 直線與橢圓相切； 0?? ? 直線與雙曲線相切； 0?? ? 直線與拋物線相切； （ 3） 相離 ： 0?? ? 直線與橢圓相離； 0?? ? 直線與雙曲線相離； 0?? ? 直線與拋物線相離。 提醒 ： （ 1） 直線與雙曲線、拋物線只有一 個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形 ：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時 ,直線與雙曲線 相交 ,但 只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時 ,直線與拋物線 相交 ,也 只有一個交點 ； （ 2） 過 雙曲線2222 byax ? ＝ 1 外一點 00( , )Px y 的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下： ① P 點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條； ② P 點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行 的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； ③ P 在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線； ④ P 為原點時不存在這樣的直線； （ 3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。 焦點三角形 （橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形） 問題 ： 20tan | |2S b c y???，當 0||yb? 即 P 為短軸端點 時， maxS 的最大值為 bc； 對于雙曲線2tan2?bS?。 如 （ 1） 短軸長為 5 ， 拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì) ： （ 1） 以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切； （ 2） 設(shè)AB 為焦點弦， M 為準線與 x 軸的交點，則∠ AMF＝∠ BMF； （ 3） 設(shè) AB 為焦點弦， A、 B 在準線上的射影分別為 A1 ， B1 ，若 P 為 A1 B1 的中點，則 PA⊥ PB； （ 4） 若 AO 的延長線交準線于 C，則 BC 平行于 x 軸，反之，若過 B 點平行于 x 軸的直線交準線于 C 點，則 A， O， C三點共線。 弦長公式 ：若直線 y kx b??與圓錐曲線相交于兩點 A、 B，且 12,xx分別為 A、 B 的橫坐標，則 AB＝ 2 121 k x x??，若 12,yy分別為 A、 B 的縱坐標，則 AB ＝21211 yyk ??，若弦 AB 所在直線方程設(shè)為 x ky b??，則 AB ＝ 2 121 k y y??。特別地， 焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義 求解。 拋物線： 在 雙曲線 221xyab??中，以 00( , )Px y 為中點的弦所在直線的斜率 k=0202yaxb ；在拋物線2 2 ( 0)y px p??中，以 00( , )Px y 為中點的弦所在直線的斜率 k=0py 。 提醒 ：因為 0?? 是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件 ， 故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗 0?? ！ 11．了解下列結(jié)論 （ 1）雙曲線 12222 ??byax 的漸近線方程為 02222 ??byax ； （ 2）以 xaby ??為漸近線（即與雙曲線 12222 ??byax 共漸近線）的雙曲線方程為 ??(2222 ?? byax 為參數(shù)， ? ≠ 0）。 （ 3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為 221mx ny??； （ 4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為 22ba ，焦準距（焦點到相應(yīng)準線的距離）為 2bc ，拋物線的通徑為 2p ，焦準距為 p ； （ 5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦； （ 6）若拋物線 2 2 ( 0)y px p??的焦點弦為 AB， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，則 ① 12||AB x x p? ? ?；② 2 21 2 1 2,4px x y y p? ? ? （ 7）若 OA、 OB 是過拋物線 2 2 ( 0)y px p??頂點 O 的兩條互相垂直的弦，則直線 AB 恒經(jīng)過定點(2 ,0)p 1解析幾何 與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容 ： （ 1） 給出直線的方向向量 ? ?ku ,1?? 或 ? ?nmu ,?? ； （ 2） 給出 OBOA? 與 AB 相交 ,等于已知 OBOA? 過 AB 的中點 。 （ 3） 給出 0??? PNPM ,等于已知 P 是 MN 的中點 。 （ 4） 給出 ? ?BQBPAQAP ??? ? ,等于已知 QP, 與 AB 的中點三點共線 。 （ 5） 給出以下情形之一： ① ACAB// ；②存在實數(shù) , AB AC???使 ；③若存在實數(shù), , 1 , O C O A O B? ? ? ? ? ?? ? ? ?且 使,等于已知 CBA , 三點共線 . （ 6） 給出 0??MBMA ,等于已知 MBMA? ,即 AMB? 是直角 ,給出 0??? mMBMA ,等于已知 AMB? 是鈍角 , 給出 0??? mMBMA ,等于已知 AMB? 是銳角 , FAPH BQ（ 8） 給出 MPMBMBMAMA ????????????? ,等于已知 MP 是 AMB? 的平分線 / （ 9） 在平行四邊形 ABCD 中，給出 0)()( ???? ADABADAB ，等于已知 ABCD 是菱形 。 （ 10） 在平行四邊形 ABCD 中，給出 | | | |A B A D A B A D? ? ?，等于已知 ABCD 是矩形 。 （ 11） 在 ABC? 中，給出 222 OCOBOA ?? ，等于已知 O 是 ABC? 的外心（ 三角形外接圓的圓心，三角形的外心是 三角形三邊垂直平分線的交點 ）； （ 12） 在 ABC? 中，給出 0??? OCOBOA ，等于已知 O 是 ABC? 的重心（ 三角形的重心是三角形三條中線的交點 ）； （ 13） 在 ABC? 中，給出 OAOCOCOBOBOA ????? ，等于已知 O 是 ABC? 的垂心（ 三角形的 垂 心是 三角形三條高的交點 ）； （ 14） 在 ABC? 中，給出 ??OAOP ()| | | |AB ACAB AC? ? )( ??R?等于已知 AP 通過 ABC? 的內(nèi)心； （ 15） 在 ABC? 中，給出 ,0?????? OCcOBbOAa 等于已知 O 是 ABC? 的內(nèi)心（ 三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是 三角形三條角平分線的交點 ）； （ 16） 在 ABC? 中，給出 ? ?12AD AB AC??,等于已知 AD 是 ABC? 中 BC 邊的中線 。 （ 3） 已知 A,B 為 拋物線 x2=2py(p0)上異于原點的兩點， 0OA OB??，點 C 坐標為（ 0， 2p） （ 1） 求證： A,B,C 三點共線； （ 2）若 AM ＝ BM? （ R?? ）且 0OM AB??試求點 M 的軌跡方程。 （ 1）證明：設(shè) 221212( , ), ( , )xxA x B xpp，由 0OA OB??得 22 2121 2 1 20 , 422xxx x x x ppp? ? ? ? ?，又 2 2 21 2 11 2 1( , 2 ) , ( , )22x x xA C x p A B x xpp ?? ? ? ? ? 2 2 22 1 11 2 1( 2 ) ( ) 022x x xx p x xpp?? ? ? ? ? ? ? ?， //AC AB? ，即 A,B,C 三點共線。 （ 2） 由（ 1）知直線 AB 過定點 C，又由 0OM AB??及 AM ＝ BM? （ R?? ）知 OM?AB，垂足為 M，所以點 M 的軌跡為以 OC 為直徑 的圓，除去坐標原點。即點 M 的軌跡方程為 x2+(yp)2=p2(x?0，y?0)。 ： 例 (1)拋物線 C:y2=4x 上一點