【正文】 思維流程： （Ⅰ） （Ⅱ） 消元 解題過程： （Ⅰ） 如圖建系，設(shè)橢圓方程為 2222 1( 0 )xy abab? ? ? ?,則 1c? 2, 1ab?? 寫出橢圓方程 由 1AF FB??， 1OF? ( )( ) 1a c a c? ? ?， 1c? 1PQk ? 由 F 為 PQM? 的重心 ,P Q M F M P F Q?? 2222y x mxy???? ??? 223 4 2 2 0x m x m? ? ? ? 兩根之和， 兩根之積 0MP FQ?? 得出關(guān)于 m 的方程 解出 m 又 ∵ 1??FBAF 即 22( ) ( ) 1a c a c a c? ? ? ? ? ?， ∴ 2 2a? 故橢圓方程為 2 2 12x y?? （Ⅱ） 假設(shè)存在直線 l 交橢圓于 QP, 兩點(diǎn)，且 F 恰為 PQM? 的垂心，則 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y， ∵ (0,1), (1,0)MF，故 1?PQk ， 于是設(shè)直線 l 為 y x m?? ，由2222y x mxy???? ???得 ， 223 4 2 2 0x m x m? ? ? ? ∵ 1 2 2 10 ( 1 ) ( 1 )M P F Q x x y y? ? ? ? ? ? 又 ( 1, 2)iiy x m i? ? ? 得 1 2 2 1( 1 ) ( ) ( 1 ) 0x x x m x m? ? ? ? ? ? 即 21 2 1 22 ( ) ( 1 ) 0x x x x m m m? ? ? ? ? ? 由韋達(dá)定理得 2 22 2 42 ( 1 ) 033mm m m m?? ? ? ? ? ? 解得 43m?? 或 1m? （舍） 經(jīng)檢驗(yàn) 43m?? 符合條件 ． 點(diǎn)石成金： 垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零 ． 例 已知橢圓 E 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過 ( 2,0)A? 、 (2,0)B 、31,2C??????三點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓 E 的方程： （Ⅱ）若點(diǎn) D 為橢圓 E 上不同于 A 、 B 的任意一點(diǎn)， ( 1, 0), (1, 0)FH? ，當(dāng)Δ DFH 內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求Δ DFH 內(nèi)心的坐標(biāo)； 思維流程： （Ⅰ） 由橢圓經(jīng)過 A、 B、 C 三點(diǎn) 設(shè)方程為 122 ?? nymx 得到 nm, 的方程組 解出 nm, （Ⅱ） 解題過程： （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為 122 ??nymx ? ?0,0 ?? nm ， 將 ( 2,0)A? 、 (2,0)B 、 3(1, )2C代入橢圓 E 的方程，得 4 1,9 14mmn???? ????解得 11,43mn??.∴橢圓 E 的方程 22143xy?? ． （Ⅱ） | | 2FH? ，設(shè)Δ DFH 邊上的高為 hhSD F H ????? 221 當(dāng)點(diǎn) D 在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)， h 最大為 3 ，所以 DFHS? 的最大值為 3 ． 設(shè)Δ DFH 的內(nèi)切圓的半徑為 R ，因?yàn)棣?DFH 的周長為定值 6．所以， 621 ??? RS DFH 所 以 R 的最大值為 33 ．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 3(0, )3. 點(diǎn)石成金：的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓 的周長 ?? ???? rS 21 例 已知定點(diǎn) )01( ，?C 及橢圓 53 22 ?? yx ，過點(diǎn) C 的動(dòng)直線與橢圓相交于 AB， 兩點(diǎn) . （Ⅰ）若線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 12? ，求直線 AB 的方程； （Ⅱ）在 x 軸上是否存在點(diǎn) M ，使 MBMA? 為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 . 思維流程： 得出 D 點(diǎn)坐標(biāo)為???????? ? 33,0 由 DFH? 內(nèi)切圓面積最大 轉(zhuǎn)化為 DFH? 面積最大 轉(zhuǎn)化為點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)的絕對值最大最大 D 為橢圓短軸端點(diǎn) DFH? 面積最大值為 3 內(nèi)切圓周長 rS D F H ???? 21 33?內(nèi)切圓r （Ⅰ）解：依題意，直線 AB 的斜率存在，設(shè)直線 AB 的方程為 ( 1)y k x??， 將 ( 1)y k x??代入 53 22 ?? yx ， 消去 y 整理得 2 2 2 2( 3 1 ) 6 3 5 0 .k x k x k? ? ? ? ? 設(shè) 1 1 2 2( ) ( ) A x y B x y， ， ， ， 則 4 2 2212 23 6 4 ( 3 1 ) ( 3 5 ) 0 ( 1 ) 6 . ( 2 )31k k kkxxk? ? ? ? ? ? ??? ? ? ????， 由線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 12?， 得 2122312 3 1 2xx kk? ? ? ? ??，解得 33k??，符合題意。 例 6 橢圓長軸端點(diǎn)為 BA, ， O 為橢圓中心， F 為橢圓的右焦點(diǎn) ， 且 1??FBAF ，1?OF ． （Ⅰ） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ） 記橢圓的上頂點(diǎn)為 M ，直線 l 交橢圓于 QP, 兩點(diǎn)，問：是否存在直線 l ，使點(diǎn) F恰為 PQM? 的垂心？若存在，求出直線 l 的方程 。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互 關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。 當(dāng) l 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè) ? ? )(, 2211 yxByxA ，直線 l 的方程為： 3??kxy ，代入橢圓方程，消去 y 得 ? ? 0455449 22 ???? kxxk 解之得 .49 59627222,1 ? ???? k kkx 因?yàn)闄E圓關(guān)于 y 軸對稱，點(diǎn) P 在 y 軸上，所以只需考慮 0?k 的情形 . 當(dāng) 0?k 時(shí)， 49 59627221 ? ???? k kkx， 49 59627222 ? ???? k kkx， 所以 21xxPBAP ?? = 5929 5929 2 2?? ??? kk kk = 5929 181 2 ??? kk k =25929181k???. 由 ? ? 0491 8 0)54( 22 ?????? kk , 解得 952?k ， 所以 515929 1811 2 ??????? k， 綜上 511 ???? PBAP . 所求量的取值范圍 把直線 l 的方程 y = kx+3 代 入橢圓方程，消去 y得到關(guān)于 x 的一元二次方程 xA= f（ k）， xB = g（ k） 得到所求量關(guān)于 k 的函數(shù)關(guān)系式 求根公式 AP/PB = — （ xA / xB） 由判別式得出 k 的取值范圍 分析 2: 如果想構(gòu)造關(guān)于 所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源 . 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 k 的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k 聯(lián)系起來 . 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于21xxPBAP ?? 不是關(guān)于 21,xx 的對稱關(guān)系式 . 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于 21,xx 的對稱關(guān)系式 . 簡解 2：設(shè)直線 l 的方程為： 3??kxy ，代入橢圓方程，消去 y 得 ? ? 0455449 22 ???? kxxk （ *） 則?????????????.49 45,49 54221221kxxkkxx 令 ??21xx ，則， .204532421 2 2???? k k?? 在（ *）中，由判別式 ,0?? 可得 952?k ， 從而有 5362045324422 ??? k k ，所以 536214 ???? ?? ，解得 551 ??? . 結(jié)合 10 ??? 得 151 ??? . 綜上， 511 ???? PBAP . 點(diǎn)評 ：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法 ，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等 . 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程，消去 y得到關(guān)于 x 的一元二次方程 xA+ xB = f（ k）， xA xB = g（ k） 構(gòu)造所求量與 k 的關(guān)系式 關(guān)于所求量的不等式 韋達(dá)定理 AP/PB = — （ xA / xB） 由判別式得出 k 的取值范圍 美解法 . 解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說明問題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里 . 第三、推理訓(xùn)練 ： 數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。從而簡化消去參的過程。 ???? 的值解得 k 解題過程略 . 分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn) B 到直線 l 的距離為 2 ”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解 . 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路： 簡解 ：設(shè)點(diǎn) )2,( 2xxM ? 為雙曲線 C 上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn) M 到直線 l 的距離為： 212222 ?????kkxkx ? ?10 ??k ??? 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于 x 的方程 . 由于 10 ??k ，所以 kxxx ??? 22 ，從而有 .2222 22 kxkxkxkx ???????? 于是關(guān)于 x 的方程 ??? ? )1(222 22 ?????? kkxkx 把直線 l’的方程代入雙曲線方程，消去 y，令判別式 0?? 直線 l’在 l 的上方且到直線 l 的距離 為 2 轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題 求解 問題 關(guān)于 x的方程 ? ?10212222 ??????? kkkxkx 有唯一解 ? ? ???????????????02)1(2,)2)1(2(222222kxkkkxkkx ? ? ? ? ? ? ???????????????????.02)1(2,022)1(22)1(221222222kxkkkkxkkkxk 由 10 ??k 可知： 方程 ? ? ? ? ? ? 022)1(22)1(221 22222 ????????? kkxkkkxk 的 二 根 同 正 ， 故02)1(2 2 ???? kxkk 恒成立，于是 ??? 等價(jià)于 ? ? ? ? ? ? 022)1(22)1(221 22222 ????????? kkxkkkxk . 由如上關(guān)于 x 的方程有唯一解，得其判別式 0?? ，就可解得 552?k . 點(diǎn)評 ：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 . 例 4 已知橢圓 C:x y2 22 8? ? 和點(diǎn) P（ 4， 1），過 P 作直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn) Q，使 APPB AB?? ，求動(dòng)點(diǎn) Q的軌跡所在曲線的方程 . 分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。 建立直角坐標(biāo)系 xOy ，如圖，若設(shè) C ?????? hc, 2，代入 12222 ??byax ，求得 h? ，進(jìn)而求得 ,EExy??再代入 1222