高考圓錐曲線典型例題必考(參考版)
2025-04-20 12:54本頁(yè)面
【正文】 kPQ＝－1，得 時(shí)，求菱形 ABCD 面積的最大值.【解析】因?yàn)樗倪呅?ABCD 為菱形，所以 AC⊥BD.于是可設(shè)直線 AC 的方程為 y＝－x＋n.由 ??????nxy,432得 4x2－6nx ＋ 3n2－4＝0.因?yàn)?A，C 在橢圓上，所以 Δ＝－12n 2＋64＞0，解得－ ＜n＜ .433 433設(shè) A，C 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，則 x1＋x 2＝ ，x 1x2＝ ，3n2 3n2－ 4414y1＝－x 1＋n，y 2＝－x 2＋n. 所以 y1＋y 2＝ .n2因?yàn)樗倪呅?ABCD 為菱形，且∠ABC＝60176。 B＝0.k2＋ 168 14k2＋ 1 k2＋ 16 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系典例精析題型一 直線與圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題【例 1】若曲線 y2＝ax 與直線 y＝( a＋1)x－1 恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的值.【解析】綜上所述，a＝0 或 a＝－1 或 a＝－ .45【點(diǎn)撥】本題設(shè)計(jì)了一個(gè)思維“陷阱” ，即審題中誤認(rèn)為 a≠0，解答過(guò)程中的失誤就是不討論二次項(xiàng)系數(shù) a1?＝0 ，即 a＝－1 的可能性，應(yīng)從幾何上驗(yàn)證一下： ①當(dāng) a＝0 時(shí)，曲線 y2＝ax，即直線 y＝0，此時(shí)與已知直線 y＝x－1 恰有交點(diǎn)(1,0)；②當(dāng) a＝－1 時(shí)，直線y＝－1 與拋物線的對(duì)稱軸平行，恰有一個(gè)交點(diǎn)(代數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)為零)；③當(dāng) a＝－ 時(shí)直線與拋物線相切.45【變式訓(xùn)練 1】若直線 y＝kx－1 與雙曲線 x2－y 2＝4 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為( )A.{1，－1， ，－ } B.(－∞，－ ]∪[ ，＋∞)52 52 52 52C.(－∞，－1] ∪ [1，＋∞) D.(－∞，－1)∪[ ，＋∞)52【解析】答案為 A.題型二 直線與圓錐曲線的相交弦問(wèn)題【例 2】(2022 遼寧)設(shè)橢圓 C： ＋ ＝1( a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為 F，過(guò) F 的直線 l 與橢圓 C 相交于x2a2 y2b2A，B 兩點(diǎn)，直線 l 的傾斜角為 60176。 k＝177。 .1＋ k2 1＋ k2 (x1＋ x2)2－ 4x1x2 1＋ k2 (\f(k,2))2－ 4(－ 1)12k2＋ 1 k2＋ 16所以 ＝ ＝ B＝0，則 NA⊥NB， 又因?yàn)?M 是 AB 的中點(diǎn)，所以| MN|＝1|AB|.由(1) 知 yM＝ (y1＋y 2)＝ (kx1＋2＋kx 2＋2)＝ [k(x1＋x 2)＋4]＝ ( ＋4)＝ ＋ MN⊥x 軸，所以|MN|＝|y M－y N|＝ ＋2－ ＝ .12 12 12 12k22 k24 k24 k28 k2＋ 168又|AB |＝ y178。 B＜ 0，且 m 的取值范圍是(3 －2 ，3＋2 ).2 2【變式訓(xùn)練 2】已知拋物線 y2＝4x 的一條弦 AB，A( x1，y 1)，B( x2，y 2)，AB 所在直線與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則 ＋ ＝ .【解析】 . 1y1 1y2 12題型三 有關(guān)拋物線的綜合問(wèn)題【例 3】已知拋物線 C：y ＝2x 2，直線 y＝kx＋2 交 C 于 A，B 兩點(diǎn)，M 是線段AB 的中點(diǎn)，過(guò) M 作 x 軸的垂線交 C 于點(diǎn) N.(1)求證：拋物線 C 在點(diǎn) N 處的切線與 AB 平行； 10(2)是否存在實(shí)數(shù) k 使 NA2x 或 y2＝177。 .x22 2方法二：設(shè)點(diǎn) M(x，y)是 A1P 與 A2Q 的交點(diǎn)，①②得 y2＝ (x2－2).③－ y21x21－ 2又點(diǎn) P(x1，y 1)在雙曲線上，因此 －y ＝1，即 y ＝ －1.x212 21 21 x212代入③式整理得 ＋ y2＝1.x22因?yàn)辄c(diǎn) P，Q 是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn) A1，A 2 A1 和 A2 均不在軌跡 E (0,1)及 A2( ，0)的直線 l 的方程為2x＋ y－ ＝ 2解方程組 ???????12,0yx得 x＝ ，y＝ l 與雙曲線只有唯一交點(diǎn) 故軌跡 E 不過(guò)點(diǎn)(0,1). 同理軌跡 E 也不過(guò)點(diǎn)(0，－1).綜上分析，軌跡 E 的方程為 ＋y 2＝1，x≠0 且 x≠177。 x，可將雙曲線方程設(shè)為 － ＝λ(λ≠0)，ba x2a2 y2b2再利用其他條件確定 λ 的值，求法的實(shí)質(zhì)是待定系數(shù)法.練習(xí) 【2022 高考山東理 10】已知橢圓 的離心學(xué)率為 .雙曲線 的漸2:1(0)xyCab???3221xy??近線與橢圓 有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為 16，則橢圓 的方程為C C（A） （B） （C） （D）218xy??216xy2164xy??2105xy?【答案】D2．直線 y＝kx＋2 與雙曲線 x2－y 2＝6 的右支交于不同兩點(diǎn)，則 k 的取值范圍是 A．(－ ， ) B．(0， )153 153 153C．(－ ，0) D．( － ，－ 1)153 1533.【2022 高考湖北理 14】如圖，雙曲線2 ,0)xyab???的兩頂點(diǎn)為 1A， 2，虛軸兩端點(diǎn)為 1B， 2，兩焦點(diǎn)為 1F， 2. 若以 12A為直徑的圓內(nèi)切于菱形 12FB，切點(diǎn)分別為 ,BCD. 則（Ⅰ）雙曲線的離心率 e? ；（Ⅱ）菱形 的面積 1S與矩形 的面積 2S的比值 12? 8.【答案】 ?！? 雙曲線典例精析題型一 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【例 1】已知?jiǎng)訄A E 與圓 A：(x＋4) 2＋y 2＝2 外切，與圓 B：( x－4) 2＋y 2＝2 內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心 E 的軌跡方程.【解析】 － ＝1( x≥ ).x22 y214 2【點(diǎn)撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出 E 點(diǎn)滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.【變式訓(xùn)練 1】P 為雙曲線 － ＝1 的右支上一點(diǎn)，M， N 分別是圓(x ＋5) 2＋y 2＝4 和x2
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