【正文】 16 時(shí)， an ＋ 1＝n2＋ 11 n － 122a ， bn＝n2＋ 9 n － 222a＋ 64 a － 4 na ， an ＋ 1－ bn＝ (5 n － 59) a . 所以，當(dāng) 5 ≤ n ≤ 11 時(shí)， an ＋ 1 bn； 當(dāng) 12 ≤ n ≤ 16 時(shí)， an ＋ 1 bn； 當(dāng) n ≥ 17 時(shí)，顯然 an ＋ 1 bn. 綜上可得，當(dāng) 1 ≤ n ≤ 11 時(shí)， an ＋ 1 bn；當(dāng) n ≥ 12 時(shí)， an ＋ 1 bn. 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 返回目錄 命題考向探究 小結(jié)： 解決數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟： (1) 依據(jù)題意識(shí)別數(shù)列歸屬； (2) 建立等差數(shù)列或等比數(shù)列模型； (3) 依據(jù)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題． 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 命題立意追溯 —— 運(yùn)算求解能力 —— [ 把握數(shù)列運(yùn)算關(guān)鍵點(diǎn)，確保運(yùn)算的準(zhǔn)確性 ] 運(yùn)算的準(zhǔn)確性一般基于以下兩點(diǎn)：一是在運(yùn) 算過程中要保持條理性，書寫解題步驟時(shí)要注意條件和運(yùn)算結(jié)果的順序，如等差數(shù)列問題要求出公差才能確定通項(xiàng)； 二是要觀察算式結(jié)構(gòu)的特殊性，如形如 { n 2n－1} ( n ∈ N*) 的數(shù)列求前 n 項(xiàng)和時(shí)只能選用錯(cuò)位相減法． 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 命題立意追溯 示例 已知遞增的等差數(shù)列 { a n } 與 等 比 數(shù) 列{ b n } ( n ∈ N*) ，且 a 1 ＝ b 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ b 2 ＋ 1 ， a 4 ＝ b 4 － 1. (1) 求數(shù)列 { a n } ， { b n } 的通項(xiàng)公式； (2) 求數(shù) { a n b n } 的前 n 項(xiàng)和 S n . 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 命題立意追溯 解： (1) 設(shè)數(shù)列 { an} 的公差為 d ，數(shù)列 { bn} 的公比為 q ， 由題意得???????a1＝ b1＝ 1 ，a1＋ d ＝ b1q ＋ 1 ，a1＋ 3 d ＝ b1q3－ 1 ，所以?????d ＝ q ，q3－ 3 d － 2 ＝ 0 ， d ＝ q ＝－ 1( 舍去 ) 或 d ＝ q ＝ 2 ， 所以 an＝ 2 n － 1 ， bn＝ 2n－1( n ∈ N*) ． (2 ) Sn＝ a1 b1＋ a2 b2＋ ? ＋ an bn＝ 1 ＋ 3 21＋ 5 22＋ ? ＋ (2 n－ 1) 2n－1， ① 2 Sn＝ 21＋ 3 22＋ 5 23＋ ? ＋ (2 n － 1) 2n， ② ① － ② 得－ Sn＝ 1 ＋ 22＋ 23＋ ? ＋ 2n－ (2 n － 1) 2n， 則 Sn＝ (2 n － 3)2n＋ 3. 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 命題立意追溯 小結(jié)： 錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和時(shí)，除對式子結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確把握外，還要注意錯(cuò)位后的相減運(yùn)算的首尾處理，使運(yùn)算更準(zhǔn)確，最后再簡化結(jié)果． 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 命題立意追溯 跟蹤練 已知等差數(shù)列 { a n } 和公比為 q ( q 1) 的等比數(shù)列 { b n } ，且 a 1 ＝ b 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ b 2 ， a 5 ＝ b 3 . (1) 求數(shù)列 { a n } ， { b n } 的通項(xiàng)公式； (2) 若數(shù)列 { a n b n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，且對任意 n ∈ N*均有 λ [ a n ＋ 1 b n ＋ 1 － 2( S n － 1 )] n2＋ n 成立，試求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍． 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 命題立意追溯 解： (1) 設(shè)等差數(shù)列的公差為 d ，根據(jù)題意， 得?????1 ＋ d ＝ q ，1 ＋ 4 d ＝ q2，解得 d ＝ 0 ， q ＝ 1( 舍去 ) 或 d ＝ 2 ， q ＝ 3 ， 則數(shù)列 { an} ， { bn} 的通項(xiàng)公式分別為 an＝ 2 n － 1 ， bn＝3n 1. (2) 由 Sn＝ a1b1＋ a2b2＋ a3b3＋ ? ＋ anbn＝ 1 1 ＋ 3 3 ＋ 5 32＋ 7 33＋ ? ＋ (2 n － 1)3n － 1， ① 則 3 Sn＝ 1 3 ＋ 3 32＋ 5 33＋ ? ＋ (2 n － 3)3n 1＋ (2 n －1)3n， ② ① － ② 得－ 2 Sn＝ 1 ＋ 2(3 ＋ 32＋ 33＋ ? ＋ 3n 1) － (2 n －1)3n＝ 1 ＋ 2 3 （ 1 － 3n － 1）1 － 3－ (2 n － 1)3n＝ (2 － 2 n )3n－ 2 ， 故 Sn＝ ( n － 1)3n＋ 1 . 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 命題立意追溯 由 λ [(2 n ＋ 1)3n－ (2 n － 2 )3n] n2＋ n ， 化簡并整理，得 λ n2＋ n3n ＋ 1. 令 cn＝n2＋ n3n ＋ 1， 則 cn ＋ 1－ cn＝（ n ＋ 1 ）2＋（ n ＋ 1 ）3n ＋ 2－n2＋ n3n ＋ 1 ＝（ n2＋ 3 n ＋ 2 ）－（ 3 n2＋ 3 n ）3n ＋ 2＝2 － 2 n23n ＋ 2. 因?yàn)?n ∈ N*，所以 2 － 2 n2≤ 0 ， 所以對 ? n ∈ N*， c n ＋ 1 ≤ c n ，所以 ( c n ) max ＝ c 1 ＝29，故 λ 29. 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 例 1 已 知 數(shù) 列 { a n } 滿足： a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝????? 12a n ＋ n ， n 為奇數(shù)，a n － 2 n ， n 為偶數(shù)，且 b n ＝ a 2 n － 2 ， n ∈ N*. (1) 求證：數(shù)列 { b n } 為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2) 若 S 2 n ＋ 1 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ ? ＋ a 2 n ＋ a 2 n ＋ 1 ，求 S 2 n ＋ 1 . [ 備選理由 ] 例 1 考查分組法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，例 2考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和無論是錯(cuò)位相減還是分組轉(zhuǎn)化，都要涉及最基本的等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和方法，起到了鞏固基礎(chǔ)的作用．這兩道例題可分別對 應(yīng)考向一和考向三選用． —— 教師備用例題 —— 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 解： (1) 證明：當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， bn＝ a2 n－ 2 ＝ a(2 n － 1) ＋ 1－ 2 ＝12a2 n － 1＋ (2 n － 1) － 2 ＝ 12[ a2 n － 2－ 2(2 n － 2)] ＋ (2 n － 1) － 2 ＝12[ a2 ( n － 1)－ 2] ＝12bn － 1. 又 ∵ b1＝ a2－ 2 ＝－12， ∴ bn＝－12??????12n － 1＝－??????12n＝－ 2－n. 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 (2) ∵ a2 n＝ bn＋ 2 ， a2 n ＋ 1＝ a2 n－ 4 n ＝ bn＋ 2 － 4 n ， ∴ S2 n ＋ 1＝ a1＋ a2＋ ? ＋ a2 n＋ a2 n ＋ 1 ＝ ( a2＋ a4＋ ? ＋ a2 n) ＋ ( a1＋ a3＋ a5＋ ? ＋ a2 n ＋ 1) ＝ ( b1＋ b2＋ ? ＋ bn＋ 2 n ) ＋ [ a1＋ ( b1－ 4 1) ＋ ( b2－ 4 2)＋ ? ＋ ( bn－ 4 n ) ＋ 2 n ] ＝ a1＋ 2( b1＋ b2＋ ? ＋ bn) － 4 (1 ＋ 2 ＋ ? ＋ n ) ＋ 4 n ＝ 1 － 2 12 ??????1 －??????12n1 －12－ 4 n （ n ＋ 1 ）2＋ 4 n ＝??????12n － 1－ 2 n2＋ 2 n － 1. 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 例 2 在等比數(shù)列 { a n } ( q ≠ 1) 中，已知 a 3 ＝32， S 3 ＝92. (1) 求 { a n } 的通項(xiàng)公式； (2) 求 S n ＝ a 1 ＋ 2 a 2 ＋ ? ＋ na n . 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 解： (1) 由條件得 a1q2＝32， a1＋ a1q ＋ a1q2＝92， 則有 2 q2－ q － 1 ＝ 0. ∵ q ≠ 1 ， ∴ q ＝－12. 當(dāng) q ＝－12時(shí)， a1＝ 6 ，所以 an＝ 6??????－12n－1. (2) Sn＝ 6??????－120＋ 2 ??????－12＋ 3 ??????－122＋ ? ＋ n ??????－12n－1， －12Sn＝ 6??????－12＋ 2 ??????－122＋ 3 ??????－123＋ ? ＋ n??????－12n 32Sn＝ 61 ＋??????－12＋??????－122＋ ? ＋??????－12n－1－ n??????－12n ＝ 6??????????1 －??????－12n1 ＋12－ n??????－12n， ∴ Sn＝83－43(3 n ＋ 2)??????－12n.