【導(dǎo)讀】積分公式求出的積分!實質(zhì)上是一種簡單換元積分法.設(shè)連續(xù),及皆連續(xù),的反。函數(shù)存在且連續(xù),且。所求的不定積分.將變量替換為函數(shù)。函數(shù)作變量替換，因之所得結(jié)果在形式上可能不相同.選則的原則是要比簡單易求,從而達(dá)到化繁為簡的目的.

　　

【正文】 原式7322c o s c o s c o s c o sx d x x d x??? ? ???51222 c o s 2 c o s .5 x x C??? ? ?722c o s ( 1 c o s ) ( c o s )x x d x?? ? ??Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 (2 ) nm若 與 都 是 偶 數(shù) ， 這 時 由 三 角 公 式221 c os 2 1 c os 2sin , c os ,22xxxx????a) 含有 sin2x 或 cos2x 的奇次冪，此時可由 (1)求之； 將被積函數(shù)化簡 , 其結(jié)果： b) 含有 sin2x 或 cos2x 的偶次冪，用上述三角公式化簡 , 化成含 sin4x 與 cos4x 的函數(shù)，依次類推 . 1sin c os sin 2 ,2x x x?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 13. 44s in c o sx x d x?解： 441 sin 22 x dx? ?原式661 1 1 c os 8( 1 2 c os 4 )2 2 2xx dx dx?? ? ???1 si n 8( 3 si n 4 ) .128 8xx x C? ? ? ?241 1 c os 4()22x dx?? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 5. sin c os ( , )m x nx dx m n R?? 型解： sin c os m x nx dx?11sin ( ) sin ( )22m n x d x m n x d x? ? ? ???: s i n c o s , s i n s i n , c o s c o s ,E x m x n x m x n x m x n x被積函數(shù)是利用三角函數(shù)的積化和差公式可解 . 積化和差c o s ( ) c o s ( ) . ( )2 ( ) 2 ( )m n x m n x C n mm n m n??? ? ? ? ? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 14. c os 4 c os 7x x dx?1 ( c os 11 c os 3 )2 x x dx???原式解： sin 11 sin 3 .22 6xx C? ? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為 )c o s,( s i n xxR2c o s2s i n2s i nxxx ??2sec2tan22 xx? ,2t an12t an22 xx??,2s i n2c o sc o s 22 xxx ??三角函數(shù)有理式的積分 五、其它形式的不定積分 Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 2s e c2t an1c o s22xxx?? ,2t an12t an122xx???令 2tan xu ?,1 2s i n 2uux ?? ,11co s 22uux???ux a r c t a n2?duudx 21 2??? ?dxxxR )c o s,( si n .1 211,1 2 2222 duuuuuuR???????????（萬能置換公式） Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 7 求積分 .c o ss in1 s in? ?? dxxx x解 ,1 2s in 2uux ??2211c o suux??? ,122 duudx ??由萬能置換公式 ? ?? dxxx x c o ss i n1 s i n duuu u? ??? )1)(1( 2 2duuu uuu? ?? ????? )1)(1( 112 222Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 duuu uu? ?? ???? )1)(1( )1()1( 222duuu? ??? 211 duu? ?? 1 1ua r c t a n? )1ln (21 2u?? Cu ??? |1|ln2t anxu ??2x? |2s e c|lnx? .|2t an1|ln Cx ???Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 8 求積分 .s in14? dxx解（一） ,2tan xu ? ,1 2s in 2uux ?? ,1 2 2 duudx ??? dxx4s in1 duu uuu? ???? 4 642 8 331Cuuuu ?????? ]3333 1[81 33.2t a n2412t a n832t a n832t a n241 33 Cxxxx ??????????????????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 解（二） 修改萬能置換公式 , xu ta n?令 ,1s i n 2uux ?? ,1 1 2 duudx ??? dxx4s in1duuuu? ?????????? 2421111duu u? ?? 421Cuu ???? 13 1 3 .c o tc o t31 3 Cxx ????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 解（三） 可以不用萬能置換公式 . ? dxx4s in1 dxxx )co t1(cs c 22? ??x dxxx dx 222 cs cco tcs c? ??? )(c o t xd?.c o t31c o t 3 Cxx ????結(jié)論 比較以上三種解法 , 便知萬能置換不一定是最佳方法 , 故三角有理式的計算中先考慮其它手段 , 不得已才用萬能置換 . Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 9 求積分 .s in3s in s in1? ?? dxxx x解 2c o s2s i n2s i ns i n BABABA ????? ?? dxxx xs i n3s i n s i n1 ? ?? dxxx xc o s2s in2 s in1? ?? dxxx x 2c o ss in4 s in1?? dxxx 2c o ss i n 141 ?? dxx2c o s141Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 ? ?? dxxx xx 222c o ss i nc o ss i n41 ?? dxx2c o s141?? ?? dxxdxxx s i n141c o ss i n41 2?? dxx2c o s141?? ??? dxxxdx s i n141)( c o sc o s141 2?? dxx2c o s141xc o s41?2t anln41 x? .t an41 Cx ??Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 討論類型 ),( n baxxR ? ),( n ecx baxxR ??解決方法 作代換去掉根號 . 例 10 求積分 ? ? dxx xx 11解 令 tx x ??1 ,1 2tx x ???2. 簡單無理函數(shù)的積分 Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 ,112 ?? tx ? ? ,12 22 ??? t t d tdx? ? dxx xx 11 ? ? ? ? dtt ttt? ???? 222 121? ??? 12 2 2t dttdtt? ?????? ???? 1112 2 Cttt ?????? 11ln2.11ln122Cx xxx x ??????????????? ??????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 11 求積分 .1113? ??? dxxx解 令 16 ?? xt ,6 5 dxdtt ??? ??? dxxx 3 11 1 dtttt 523 61 ??? ?dtt t? ?? 163Ctttt ?????? |1|ln6632 23.)11l n (6131312 663 Cxxxx ??????????說明 無理函數(shù)去根號時 , 取根指數(shù)的 最小公倍數(shù) . Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 12 求積分 .1213? ??? dxxxx解 先對分母進(jìn)行有理化 原式 ? ?????? ???? dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(? ???? dxxx )1213()13(1331 ??? ? xdx )12(1221 ??? ? xdx.)12(31)13(92 2323Cxx ?????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 六、小結(jié) 兩類積分換元法： ???（一） 湊微分 （二） 三角代換、倒代換、根式代換 基本積分表 (2) 合理選擇 ，正確使用分部積分公式 vu ?,dxvuuvdxvu ?? ????