【正文】 x講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì)作業(yè) P89: 3，4，6，7，10（2）（4）167。9. 6多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用236。x=j(t)239?？臻g曲線G的參數(shù)方程為：237。y=y(t)，t206。[a,b]239。z=w(t)238。此方程也可以寫(xiě)成向量形式。若記174。rrrrrrvr=xi+yj+zk，f(t)=j(t)i+y(t)j+w(t)k，于是174。vr=f(t)，t206。[a,b]，這就確定了一個(gè)從實(shí)數(shù)到向量的一個(gè)映射。r定義1：設(shè)數(shù)集D204。R，則映射f:D174。Rn為一元向量值函數(shù)，記作多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用174。vr=f(t)，t206。D其中數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域，t稱為自變量，r稱為因變量。在R中，f(t)可表示為： 3v174。rrrf(t)=f1(t)i+f2(t)j+f3(t)k，t206。D 174。或者f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t))，t206。D 下面研究向量值函數(shù)的極限，連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)。：定義2：設(shè)向量值函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若存在一個(gè)常向量r0，對(duì)于任意給定的正數(shù)e，總存在正數(shù)d，使得當(dāng)t滿足0|tt0|d時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(t)都滿足不等式174。174。174。rrr|f(t)r0|e174。r則稱常向量r0為向量值函數(shù)f(t)當(dāng)t174。t0時(shí)的極限，記作rrlimf(t)=r0r等價(jià)于limf(t)=(limf1(t),limf2(t),limf3(t))t174。t0t174。t0t174。t0t174。t0t174。：174。rr設(shè)向量值函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，若limf(t)=f(t0)，則稱向量值函數(shù)f(t)174。t174。t0在點(diǎn)t0處連續(xù)。等價(jià)于f1(t),f2(t),f3(t)都在點(diǎn)t0處連續(xù)。向量值函數(shù)f(t)，t206。D，若f(t)在D上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(t)是D上的連續(xù)函數(shù)。：定義3：設(shè)向量值函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果 174。174。174。174。rrrf(t0+Dt)f(t0)Drlim=lim存在，Dt174。0DtDt174。0Dt多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用174。rrdr|t=t。則稱此極限向量為向量值函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)或?qū)蛄?，記作f162。(t0)或dt0174。174。r向量值函數(shù)f(t)，t206。D，若f(t)在D上每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱f162。(t)是D上的導(dǎo)函數(shù)。rrrr162。162。162。等價(jià)于：f1(t),f2(t),f3(t)都在點(diǎn)t處可導(dǎo)，即f162。(t)=f1(t)i+f2(t)j+f3(t)k。：向量值函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)表示在此處的一個(gè)切向量。174。(t)=(cost)i+(sint)j+tk，求limf(t)。174。t174。174。(t)=(t+1,4t3,2t6t)，t206。R，求曲線G在與點(diǎn)2t0=2相應(yīng)的點(diǎn)處的單位且向量。設(shè)空間曲線G的參數(shù)方程為236。x=j(t)239。237。y=y(t)，t206。[a,b]239。z=w(t)238。這里假定j(t), y(t), w(t)都在[a, b]上可導(dǎo).記：f(t)=(j(t),y(t),w(t))，t206。[a,b]。由向量值函數(shù)的導(dǎo)向量的幾何意義知： 174。rr向量T=f162。(t0)=(j162。(t0),y162。(t0),w162。(t0))，于是曲線G在點(diǎn)M0處的切線方程為xx0yy0zz0==. j162。(t0)y162。(t0)w162。(t0)法平面: 通過(guò)點(diǎn)M0而與切線垂直的平面稱為曲線G在點(diǎn)M0 處的法平面, 其法平面方程為j162。(t0)(xx0)+y162。(t0)(yy0)+w162。(t0)(zz0)=0.例3 求曲線x=t, y=t2, z=t3在點(diǎn)(1, 1, 1)處的切線及法平面方程.解因?yàn)閤t162。=1, yt162。=2t, zt162。=3t2, 而點(diǎn)(1, 1, 1)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t=1, 所以T =(1, 2, 3).于是, 切線方程為多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用法平面方程為 x1=y1=z1,12(x1)+2(y1)+3(z1)=0, 即x+2y+3z=6.討論:1. 若曲線G的方程為y=j(x), z=y(x).問(wèn)其切線和法平面方程是什么形式?提示: 曲線方程可看作參數(shù)方程: x=x, y=j(x), z=y(x), 切向量為T=(1, j162。(x), y162。(x)).2. 若曲線G的方程為F(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0.問(wèn)其切線和法平面方程又是什么形式? 提示: 兩方程確定了兩個(gè)隱函數(shù):y=j(x), z=y(x), 曲線的參數(shù)方程為x=x, y=j(x), z=y(x), dy236。dz=0F+F+Fxyz239。dydzdxdx由方程組237。可解得和. dydxdx239。Gx+Gy+Gzdz=0dxdx238。切向量為T=(1, dydz,). dxdx例4 求曲線x2+y2+z2=6, x+y+z=0在點(diǎn)(1, 2, 1)處的切線及法平面方程. 解 為求切向量, 將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù), 得dy236。dz=02x+2y+2z239。dxdx, 237。dy239。1++dz=0238。dxdx解方程組得dydyzxdzxy=0, dz=1. ==, . 在點(diǎn)(1, 2, 1)處, dxdxyzdxyzdx從而T =(1, 0, 1).所求切線方程為法平面方程為(x1)+0(y+2)(z1)=0, 即xz=0. x1=y+2=z1,10多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用三. 曲面的切平面與法線設(shè)曲面S的方程為F(x, y, z)=0,M0(x0, y0, z0)是曲面S上的一點(diǎn),并設(shè)函數(shù)F(x, y, z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零. 在曲面S上, 通過(guò)點(diǎn)M0任意引一條曲線G, 假定曲線G的參數(shù)方程式為x=j(t), y=y(t), z=w(t),t=t0對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M0(x0, y0, z0), 且j162。(t0), y162。(t0), w162。(t0)不全為零. 曲線在點(diǎn)的切向量為T =(j162。(t0), y162。(t0), w162。(t0)).考慮曲面方程F(x, y, z)=0兩端在t=t0的全導(dǎo)數(shù):Fx(x0, y0, z0)j162。(t0)+Fy(x0, y0, z0)y162。(t0)+Fz(x0, y0, z0)w162。(t0)=0.引入向量n=(Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0, y0, z0)),易見(jiàn)T與n是垂直的. 因?yàn)榍€G是曲面S上通過(guò)點(diǎn)M0的任意一條曲線, 它們?cè)邳c(diǎn)M0的切線都與同一向量n垂直, 所以曲面上通過(guò)點(diǎn)M0的一切曲線在點(diǎn)M0的切線都在同一個(gè)平面上. 這個(gè)平面稱為曲面S在點(diǎn)M0的切平面. 這切平面的方程式是Fx(x0, y0, z0)(xx0)+Fy(x0, y0, z0)(yy0)+Fz(x0, y0, z0)(zz0)=0.曲面的法線: 通過(guò)點(diǎn)M0(x0, y0, z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線. 法線方程為xx0yy0zz0.==Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量. 向量n=(Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0, y0, z0))就是曲面S在點(diǎn)M0處的一個(gè)法向量.例5 求球面x2+y2+z2=14在點(diǎn)(1, 2, 3)處的切平面及法線方程式.解F(x, y, z)= x2+y2+z214,Fx=2x, Fy=2y , Fz=2z ,Fx(1, 2, 3)=2, Fy(1, 2, 3)=4, Fz(1, 2, 3)=6.法向量為n=(2, 4, 6), 或n=(1, 2, 3).所求切平面方程為2(x1)+4(y2)+6(z3)=0, 即x+2y+3z14=0.多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用法線方程為x1=y2=z3.123討論: 若曲面方程為z=f(x, y), 問(wèn)曲面的切平面及法線方程式是什么形式?提示:此時(shí)F(x, y, z)=f(x, y)z .n=(fx(x0, y0), fy(x0, y0), 1)=x2+y21在點(diǎn)(2, 1, 4)處的切平面及法線方程.小結(jié)，連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)；； 。教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題在教學(xué)過(guò)程中要注意一元向量值函數(shù)的定義以及極限，連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)，空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的定義及其求解方法，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)(xmy,zny)=0的所有切平面恒與定直線平行，其中F(u,v)可微。236。x2+y2+z23x=(1,1,1)的切線與法平面。238。2z3y+5z4=0講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì)作業(yè) P100: 3，4，5，8，9，10167。9. 7 方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)現(xiàn)在我們來(lái)討論函數(shù)z=f(x, y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問(wèn)題.設(shè)l是xOy平面上以P0(x0, y0)為始點(diǎn)的一條射線, el=(cos a, cos b)是與l同方向的單位向量. 射線l的參數(shù)方程為多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用x=x0+t cos a, y=y0+t cos b(t179。0).設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義, P(x0+t cos a, y0+t cos b)為l上另一點(diǎn), 且P206。U(P0). 如果函數(shù)增量f(x0+t cos a, y0+t cos b)f(x0, y0)與P到P0的距離|PP0|=t的比值f(x0+tcosa, y0+tcosb)f(x0,y0)t當(dāng)P沿著l趨于P0(即t174。t0+)時(shí)的極限存在,則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù), 記作182。f182。l(x0,y0), 即182。f182。l(x0,y0)=lim+t174。0f(x0+tcosa, y0+tcosb)f(x0,y0).t從方向?qū)?shù)的定義可知, 方向?qū)?shù)率.方向?qū)?shù)的計(jì)算:182。f182。l(x0,y0)就是函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)處沿方向l的變化定理如果函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)可微分, 那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在, 且有182。f182。l(x0,y0)=fx(x0,y0)cosa+fy(x0,y0)cosb,其中cos a, cos b是方向l 的方向余弦.簡(jiǎn)要證明: 設(shè)Dx=t cos a, Dy=t cos b, 則f(x0+tcosa, y0+tcosb)f(x0, y0)=f x(x0, y0)tcosa+f y(x0, y0)tcosb+o(t).所以lim+t174。0f(x0+tcosa, y0+tcosb)f(x0,y0)=fx(x0,y0)cosj+fy(x0,y0)sinj.t這就證明了方向?qū)?shù)的存在, 且其值為182。f182。l(x0,y0)=fx(x0,y0)cosa+fy(x0,y0)cosb. 提示: f(x0+Dx,y0+Dy)f(x0,y0)=fx(x0,y0)Dx+fy(x0,y0)Dy+o((Dx)2+(Dy)2).Dx=t cos a, Dy=t cos b,(Dx)2+(Dy)2=t.討論: 函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)P 沿x軸正向和負(fù)向,沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何?多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用提示:182。f182。f=。182。l182。x182。f182。f 沿x軸負(fù)向時(shí), cosa=1, cosb=0, =. 182。l182。x 沿x軸正向時(shí), cosa=1, cosb=0,例1 求函數(shù)z=xe2y在點(diǎn)P(1, 0)沿從點(diǎn)P(1, 0)到點(diǎn)Q(2, 1)的方向的方向?qū)?shù).解 這里方向l即向量PQ=(1, 1)的方向, 與l同向的單位向量為 174。el=(1, 1). 因?yàn)楹瘮?shù)可微分, 且所以所求方向?qū)?shù)為182。z182。x(1,0)=e2y=1, 182。z(1,0)182。y(1,0)=2xe2y(1,0)=2, 182。z=11+2(1)=2.182。l(1,0)222對(duì)于三元函數(shù)f(x, y, z)來(lái)說(shuō), 它在空間一點(diǎn)P0(x0, y0, z0)沿el=(cos a , cos b , cos g)的方向?qū)?shù)為 182。f182。l(x0,y0,z0)=lim+t174。0f(x0+tcosa, y0+tcosb,z0+tcosg)f(x0,y0,z0).t如果函數(shù)f(x, y, z)在點(diǎn)(x0, y0, z0)可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向el=(cos a , cos b , cos g)的方向?qū)?shù)為182。f182。l(x0,y0,z0)=fx(x0, y0, z0)cosa+fy(x0, y0, z0)cosb+fz(x0, y0, z0)cosg.例2求f(x, y, z)=xy+yz+zx在點(diǎn)(1, 1, 2)沿方向l的方向?qū)?shù), 其中l(wèi)的方向角分別為60176。, 45176。, 60176。.二. 梯度設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0, y0)206。D, 都可確定一個(gè)向量fx(x0, y0)i+fy(x0, y0)j,這向量稱為函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)的梯度, 記作grad f(x0, y0), 即grad f(x0, y0)= fx(x0, y0)i+fy(x0, y0)j.梯度與方向?qū)?shù): 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用如果函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)可微分, el=(cos a , cos b )是與方向l同方向的單位向量, 則182。f182。l(x0,y0)=fx(x0,y0)cosa+fy(x0,y0)cosb,= grad f(x0, y0)el=| grad f(x0, y0)|cos(grad f(x0, y0),^ el).這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間的關(guān)系. 特別, 當(dāng)向量el與grad f(x0, y0)的夾角q=0, 即沿梯度方向時(shí), 方向?qū)?shù)182。f182。l取得最大值, 這個(gè)最大值就是梯度(x0,y0)的模|grad f(x0, y0)|. 這就是說(shuō): 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量, 它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向, 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值.討論: 182。f的最大值。 182。l結(jié)論: 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量, 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.我們知道, 一般說(shuō)來(lái)二元函數(shù)z=f(x, y)在幾何上表示一個(gè)曲面, 這曲面被平面z=c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為237。236。z=f(x