【正文】 =0, Fy(x0, y0)185。Fdy=0,182。0, 于是得Fdy=x.dxFy例1 驗(yàn)證方程x2+y21=0在點(diǎn)(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x=0時(shí)y=1的隱函數(shù)y=f(x), 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x=0的值.解 設(shè)F(x, y)=x2+y21, 則Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2185。0 , 則方程F(x, y, z)=0在點(diǎn)(x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x, y), 它滿足條件z0=f(x0, y0), 并有FyFx182。yFz公式的證明: 將z=f(x, y)代入F(x, y, z)=0, 得F(x, y, f(x, y))186。y182。z182。2z+y+z4z=0, 求2.182。z(2x)+x(x)(2x)+x22182。v=yxuyu+xxu=1xy=x. v=222。(F,G)182。u182。v在點(diǎn)P(x0, y0, u0, v0)不等于零, 則方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0在點(diǎn)P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 它們滿足條件u0=u(x0, y0), v0=v(x0, y0), 并有Fx182。(x,v)FuGuFvFuGv182。(u,x)FuGvGuFxGx,FvGv多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用182。(F,G)=,.182。(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): 設(shè)方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0確定一對(duì)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的 二元函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 則236。xu182。v 偏導(dǎo)數(shù), 由方程組237。v182。x182。u+F182。y182。u182。Gy+Gu+Gv=0.182。u, 182。x182。u和182。u+x182。x182。v239。x當(dāng)x2+y2 185。xx2+y2182。y182。v=0239。182。y182。u=xvyu, 182。182。x=x(u,v)y=y(u,v)238。xx(u,v)=0,G(x,y,u,v)186。(x,y)=185。236。將上述恒等式兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù),得236。x182。u182。y182。v238。v182。y182。v182。x182。v182。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)=f(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)y=y(x)及z=z(x)分別由下列兩式確定：exyxy=2，e=x242。9. 6多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用236。[a,b]239。rrrrrrvr=xi+yj+zk，f(t)=j(t)i+y(t)j+w(t)k，于是174。R，則映射f:D174。在R中，f(t)可表示為： 3v174。D 下面研究向量值函數(shù)的極限，連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)。rrr|f(t)r0|e174。t0t174。rr設(shè)向量值函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，若limf(t)=f(t0)，則稱(chēng)向量值函數(shù)f(t)174。向量值函數(shù)f(t)，t206。174。0Dt多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用174。174。rrrr162。(t)=f1(t)i+f2(t)j+f3(t)k。(t)=(cost)i+(sint)j+tk，求limf(t)。(t)=(t+1,4t3,2t6t)，t206。237。這里假定j(t), y(t), w(t)都在[a, b]上可導(dǎo).記：f(t)=(j(t),y(t),w(t))，t206。(t0)=(j162。(t0)y162。(t0)(yy0)+w162。=3t2, 而點(diǎn)(1, 1, 1)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t=1, 所以T =(1, 2, 3).于是, 切線方程為多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用法平面方程為 x1=y1=z1,12(x1)+2(y1)+3(z1)=0, 即x+2y+3z=6.討論:1. 若曲線G的方程為y=j(x), z=y(x).問(wèn)其切線和法平面方程是什么形式?提示: 曲線方程可看作參數(shù)方程: x=x, y=j(x), z=y(x), 切向量為T(mén)=(1, j162。dydzdxdx由方程組237。dz=02x+2y+2z239。dxdx解方程組得dydyzxdzxy=0, dz=1. ==, . 在點(diǎn)(1, 2, 1)處, dxdxyzdxyzdx從而T =(1, 0, 1).所求切線方程為法平面方程為(x1)+0(y+2)(z1)=0, 即xz=0. x1=y+2=z1,10多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用三. 曲面的切平面與法線設(shè)曲面S的方程為F(x, y, z)=0,M0(x0, y0, z0)是曲面S上的一點(diǎn),并設(shè)函數(shù)F(x, y, z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零. 在曲面S上, 通過(guò)點(diǎn)M0任意引一條曲線G, 假定曲線G的參數(shù)方程式為x=j(t), y=y(t), z=w(t),t=t0對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M0(x0, y0, z0), 且j162。(t0), y162。(t0)+Fz(x0, y0, z0)w162。236。9. 7 方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)現(xiàn)在我們來(lái)討論函數(shù)z=f(x, y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問(wèn)題.設(shè)l是xOy平面上以P0(x0, y0)為始點(diǎn)的一條射線, el=(cos a, cos b)是與l同方向的單位向量. 射線l的參數(shù)方程為多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用x=x0+t cos a, y=y0+t cos b(t179。f182。0f(x0+tcosa, y0+tcosb)f(x0,y0).t從方向?qū)?shù)的定義可知, 方向?qū)?shù)率.方向?qū)?shù)的計(jì)算:182。l(x0,y0)=fx(x0,y0)cosa+fy(x0,y0)cosb,其中cos a, cos b是方向l 的方向余弦.簡(jiǎn)要證明: 設(shè)Dx=t cos a, Dy=t cos b, 則f(x0+tcosa, y0+tcosb)f(x0, y0)=f x(x0, y0)tcosa+f y(x0, y0)tcosb+o(t).所以lim+t174。f182。x182。x 沿x軸正向時(shí), cosa=1, cosb=0,例1 求函數(shù)z=xe2y在點(diǎn)P(1, 0)沿從點(diǎn)P(1, 0)到點(diǎn)Q(2, 1)的方向的方向?qū)?shù).解 這里方向l即向量PQ=(1, 1)的方向, 與l同向的單位向量為 174。z(1,0)182。f182。l(x0,y0,z0)=fx(x0, y0, z0)cosa+fy(x0, y0, z0)cosb+fz(x0, y0, z0)cosg.例2求f(x, y, z)=xy+yz+zx在點(diǎn)(1, 1, 2)沿方向l的方向?qū)?shù), 其中l(wèi)的方向角分別為60176。D, 都可確定一個(gè)向量fx(x0, y0)i+fy(x0, y0)j,這向量稱(chēng)為函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)的梯度, 記作grad f(x0, y0), 即grad f(x0, y0)= fx(x0, y0)i+fy(x0, y0)j.梯度與方向?qū)?shù): 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用如果函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)可微分, el=(cos a , cos b )是與方向l同方向的單位向量, 則182。l取得最大值, 這個(gè)最大值就是梯度(x0,y0)的模|grad f(x0, y0)|. 這就是說(shuō): 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量, 它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向, 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值.討論: 182。236。 182。l(x0,y0)=fx(x0,y0)cosa+fy(x0,y0)cosb,= grad f(x0, y0)el=| grad f(x0, y0)|cos(grad f(x0, y0),^ el).這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間的關(guān)系. 特別, 當(dāng)向量el與grad f(x0, y0)的夾角q=0, 即沿梯度方向時(shí), 方向?qū)?shù)182。, 60176。0f(x0+tcosa, y0+tcosb,z0+tcosg)f(x0,y0,z0).t如果函數(shù)f(x, y, z)在點(diǎn)(x0, y0, z0)可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向el=(cos a , cos b , cos g)的方向?qū)?shù)為182。z=11+2(1)=2.182。z182。f 沿x軸負(fù)向時(shí), cosa=1, cosb=0, =. 182。182。f182。l(x0,y0)就是函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)處沿方向l的變化定理如果函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)可微分, 那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在, 且有182。f182。U(P0). 如果函數(shù)增量f(x0+t cos a, y0+t cos b)f(x0, y0)與P到P0的距離|PP0|=t的比值f(x0+tcosa, y0+tcosb)f(x0,y0)t當(dāng)P沿著l趨于P0(即t174。238。教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題在教學(xué)過(guò)程中要注意一元向量值函數(shù)的定義以及極限，連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)，空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的定義及其求解方法，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。(t0)).考慮曲面方程F(x, y, z)=0兩端在t=t0的全導(dǎo)數(shù):Fx(x0, y0, z0)j162。(t0), w162。dy239。Gx+Gy+Gzdz=0dxdx238。(x)).2. 若曲線G的方程為F(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0.問(wèn)其切線和法平面方程又是什么形式? 提示: 兩方程確定了兩個(gè)隱函數(shù):y=j(x), z=y(x), 曲線的參數(shù)方程為x=x, y=j(x), z=y(x), dy236。=1, yt162。(t0)法平面: 通過(guò)點(diǎn)M0而與切線垂直的平面稱(chēng)為曲線G在點(diǎn)M0 處的法平面, 其法平面方程為j162。(t0),w162。由向量值函數(shù)的導(dǎo)向量的幾何意義知： 174。[a,b]239。設(shè)空間曲線G的參數(shù)方程為236。t174。：向量值函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)表示在此處的一個(gè)切向量。162。D，若f(t)在D上每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱(chēng)f162。則稱(chēng)此極限向量為向量值函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)或?qū)蛄?，記作f162。rrrf(t0+Dt)f(t0)Drlim=lim存在，Dt174。：定義3：設(shè)向量值函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果 174。t0在點(diǎn)t0處連續(xù)。t0t174。t0時(shí)的極限，記作rrlimf(t)=r0r等價(jià)于limf(t)=(limf1(t),limf2(t),limf3(t))t174。174。D 174。vr=f(t)，t206。[a,b]，這就確定了一個(gè)從實(shí)數(shù)到向量的一個(gè)映射。此方程也可以寫(xiě)成向量形式。空間曲線G的參數(shù)方程為：237。=y(x)，z=z(x)由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所確定的函數(shù)，求dz。u小結(jié)（組）存在定理；（組）求導(dǎo)方法：方法（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算；（2）利用微分形式不變性；（3）代公式。x, . 182。u182。y, .182。0, 故可解得同理, 可得182。u182。0=182。v182。237。x182。x[u(x,y),v(x,y)], y186。(u,v)182。182。236。0. 182。yx2+y2182。當(dāng)x2+y2 185。v239。y182。x182。u和182。u=xu+yv, 182。x238。182。v=0239。x182。y182。u和182。y238。y182。u 偏導(dǎo)數(shù), 由方程組237。yu182。236。x239。182。x182。u+F182。(y,v)182。(F,G)=182。(F,G)=Gu,Fv182。(F,G)=Gx182。v 182。(u,v)182。u=2,yyyx2+y2x2+y2x+y2如何根據(jù)原方程組求u, v的偏導(dǎo)數(shù)？隱函數(shù)存在定理3設(shè)F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)在點(diǎn)P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又F(x0, y0, u0, v0)=0, G(x0, y0, u0, v0)=0, 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式:182。x=2z=(2x)+x.182。z=Fx=2x=x,182。xFz182。0, 所以存在點(diǎn)(x0, y0, z0)的一個(gè)鄰域, 使F z185。z=0, F+F182。z=,=. 182。dxFyydxx=0x)yx(d2yyxy162。ydx由于F y連續(xù), 且Fy(x0, y0)185。0,多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得182。x182。162。u182。u182。x182。u182。udy)+182。v182。v182。z182。z182。x182。u182。r182。182。x182。u182。u2sinqcosq182。qr182。u182。usinq.++182。qr182。2ucos2q2182。usinq)sinq 182。r182。(182。x182。q 182。u)182。rr2182。u)2+1(182。qr2182。y182。ucosq.182。q=182。u=182。rr182。r182。uy=182。r+182。x182。u22(1)()+()。z例5 設(shè)u=f(x, y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式:22182。2w182。u和182。z和182。y182。zdv. 182。u, 182。y182。x182。z是把復(fù)合函數(shù)z=f[j(x, y), x, y]中的y看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù), 182。y182。x182。u+182。u+182。y182。y182。u182。z182。z=182。z=？182。v182。x182。x182。z182。z182。v+182。z=182。u182。x182。z182。v, 182。z=182。zdw.dt182。0DtDt174。zdu+182。vdt182。zdv+(182。vdt182。zdv)Dt+(182。v182。zDv+o(r)=182。zdv.從而dt182。vdt182。zdvdt=(182。zdv. 182。zdv.dt182。z？設(shè)z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求182。(x,y)Dy(Dx)+(Dy)22當(dāng)(Dx)2+(Dy)2174。(x,y)Dxfy162。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)=f(x,y)在(x0,y0)可微的充分條件是（）(A)f(x,y)在(x0,y0)連續(xù)。x182。y二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱(chēng)為二元函數(shù)的微分符合疊加原理.疊加原理也適用于二元以上的函數(shù), 例如函數(shù)u=f(x, y, z)的全微分為