【正文】 2x x x C? ? ? ?例 13. dxex x32?32 ()3xexd? ?2 3 23 3 3 32 2 2()3 3 3 3 9 9xx x x xx e x xe x d e e e d x? ? ? ? ???233233xxx e x e d x?? ?2322( ) .3 9 2 7xxx eC? ? ? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 注 1. 不能直接求 u v d x??vd u?求 ,u v v d u u d v?? 選則 的原則是 要比 簡單易求,從而達到化繁為簡的目的.,v u dx??求 udv?改寫 轉(zhuǎn)化 Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例如： 211 . sin c o s sin ( sin ) sin .2x x d x x d x x C? ? ???注： 積分方法以 “化繁為簡” 為目的 . 212 . sin c o s c o s ( c o s ) c o s .2x x d x x d x x C? ? ? ? ???113. sin c os sin 2 c os 2 .24x x dx x dx x C? ? ? ???Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 注： 2222 l n | | .dx x x a Cxa ? ? ? ???22 2 2 21 a r c s in .22axa x d x x a x Ca? ? ? ? ??“湊”微分法與換元積分法比較 ( ( ) ) ( )f t t d t?? ??求 ? dxxf )(xt ?)(?設(shè)()()tx?將函數(shù) 替換為變量()xt ? 求出這個不定積分,再將結(jié)果中的 換成 即得所求的不定積分.“湊”微分法 ——將函數(shù)替換為變量： Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 22a x d x??求例 8. 解： s i n , c o s ,x a t d x a t d t??令 2 2 2 2c o s c o sa x d x a t a t d t a c o s t d t? ? ? ?? ? ?.)2s i n21(2)2c o s1(222Cttadtta ????? ?2222221( a r c sin )21a r c sin .22a x xa x Ca a aaxx a x Ca? ? ? ? ?? ? ? ?22( a r c s in , s in 2 2 s in c o s 2 ) .x a xt x t t t aa ?? ? ? ? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 Theorem : ( ) ( ) ( ) ( )f x x t t x t? ? ????設(shè) 連續(xù), 及 皆連續(xù), 的反1 ()tx? ??函數(shù) 存在且連續(xù), 且( ( ) ) ( ) ( ) ,f t t d t F t C?? ? ???? ?? ? .))(()( 1 CxFdxxf ?則 證明： )()())((( 11 ???? ?? ?? tFxFdxd).()(1)())(( xftttf ????? ???Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 4. ?x dxcsc ? ???2c os2s in2s in xxdxxdx2( ta n )22ta n c os ta n2 2 2xxddx x x????()2 l n | s e c ta n | .c o s s in ( )2dxdxx x Cx x???? ? ? ????l n | c sc | .x c otx C? ? ?1 c o s( ta n c sc )2 sinxx x c o txx?? ? ?例 5. 2343x x d x??13321 ( 4 3 ) ( 4 3 )9 x d x? ? ? ??1332212 ( 4 3 ) .99t d t x? ? ? ? ??Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 “湊”微分法 : ()f x d x?求 設(shè)法湊成 ( ( ) ) ( )g x x d x?? ??()tx??令? dttg )(積分公式 CtF ?)(帶回 x .))(( CxF ??實質(zhì)上是一種簡單換元積分法 . Yunnan University 167。Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 一、“湊”微分法 例如： 22 ( 2 )2xx ee d x d x???求 tx ?2令dtdx 21?.212121 2 CeCedte xtt ?????形式上“湊”成能由不定 積分公式求出的積分 ! 簡單替換 例 1. )(1 c ons tadxax ???? ??? ax axd )(tax ??令dtdx?.||ln||ln CaxCttdt ??????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 2. tan xdx? sin c osl n | c os | .c os c osx d xdx x Cxx? ? ? ? ? ???例 3. ?x dxse c 22c os si nc os c os 1 si ndx x dx d xx x x? ? ? ?? ? ?1 1 1( ) sin2 1 sin 1 sin dxxx?? ???221 1 s in 1 ( 1 s in )l n l n2 1 s in 2 c o sxxCC??? ? ? ??l n | se c ta n | .x x C? ? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 二、換元積分法 例 6. 121 xe dxx?求.)1(.111Cexde xx ????? ?原式2112. ,t dx dtxt? ? ?令.)1(122 Cedtedttetxtt ???????? ??原式Y(jié)unnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 7. 3131x dxx???求解： 3 2 23 13 1 , 3 1 , ( 1 ) , ,3x t t x x t dx t dt? ? ? ? ? ? ?令 則dtttdtttt)2(311)1(31423????? ??原式.)13)(2(51 32Cxx ????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 9. 221 dxxa??求解： 2t a n , s e c ,x a t d x a t d t??令 則22 2 21s e c 1s e c l n ( ta n ta n )s e cat d t td t t a a t Ca t a? ? ? ? ? ???原式).ln(,)l n ( 122 aCCCaxx ??????例 10. 22dxxa??求解： 1 . s e c , s e c t a n .x a t d x a t t d t??令? ??????? .||ln 22 CaxxCtdtas h tas h t原式a s h t d tdxachtx ?? ,.2 令Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 換元積分法 ——將變量替換為函數(shù)： ()f x d x?求 ? ? ,)())(( dtttf ??()xt??設(shè) dttdx )(???() ()xt ?將變量 替換為函數(shù)1 ()tx ? － 求出這個不定積分，再將結(jié)果中的換成 即得所求的不定積分.注： 對某些函數(shù)的不定積分，有時可用不同的方法、不同的 函數(shù)作變量替換，因之所得 結(jié)果在形式上可能不相同 . Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 三、分部積分法 ( ) ( ) ,u x v x對于可微函數(shù) 與 有,)( vuvuuv ?????or .)( vuuvvu ?????作不定積分運算 , 即得 ? ? ???? ,dxuvuvdxvuor ,? ??? v duuvudv稱之為 分部積分公式 . Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 si nx x dx?求解： ( 1 ) , s i n ( c o s ) ,u x d v x d x d x? ? ? ?令 ? ? ?????? dxxxxxd )c o s(c o s)c o s(則原式.s inc o s Cxxx ????2( 2 ) s in , ( ) ,2xu x d v x d x d? ? ?令 則?? ? ??? ).( s i n2s i n2)2(s i ns i n222xdxxxxxdx d xxsinx x dx?比 更 繁.例 11. Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 14. 求 dxax? ? 22解： 22 2222xx x a x dxxax a dx ? ? ? ???? ?22 2 2 222ax x a x a d x d xxa? ? ? ? ????22 2 2 2 2 2l