【正文】 這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間的關(guān)系. 特別, 當(dāng)向量el與grad f(x0, y0)的夾角q=0, 即沿梯度方向時(shí), 方向?qū)?shù)取得最大值, 這個(gè)最大值就是梯度的模|grad f(x0, y0)|. 這就是說(shuō): 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量, 它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向, 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值. 討論: 的最大值。 結(jié)論: 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量, 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值. 我們知道, 一般說(shuō)來(lái)二元函數(shù)z=f(x, y)在幾何上表示一個(gè)曲面, 這曲面被平面z=c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為 . 這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*, 它在xOy平面上的方程為 f(x, y)=c. 對(duì)于曲線L*上的一切點(diǎn), 已給函數(shù)的函數(shù)值都是c, 所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z=f (x, y)的等值線. 若f x, f y不同時(shí)為零, 則等值線f(x, y)=c上任一點(diǎn)P0(x0, y0)處的一個(gè)單位法向量為 . 這表明梯度grad f(x0, y0)的方向與等值線上這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同, 而沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)就等于|grad f(x0, y0)|, 于是 . 這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與過(guò)這點(diǎn)的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系. 這說(shuō)是說(shuō): 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同, 它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線, 梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù). 梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形. 設(shè)函數(shù)f(x, y, z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0, y0, z0)206。G, 都可定出一個(gè)向量 fx(x0, y0, z0)i+fy(x0, y0, z0)j+fz(x0, y0, z0)k, 這向量稱為函數(shù)f(x, y, z)在點(diǎn)P0(x0, y0, z0)的梯度, 記為grad f(x0, y0, z0), 即 grad f(x0, y0, z0)=fx(x0, y0, z0)i+fy(x0, y0, z0)j+fz(x0, y0, z0)k. 結(jié)論: 三元函數(shù)的梯度也是這樣一個(gè)向量, 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值. 如果引進(jìn)曲面 f(x, y, z)=c為函數(shù)的等量面的概念, 則可得函數(shù)f(x, y, z)在點(diǎn)P0(x0, y0, z0)的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)P0的等量面 f(x, y, z)=c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同, 且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面, 而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù). 例3 求. 解 這里. 因?yàn)? , , 所以 . 例4 設(shè)f(x, y, z)=x2+y2+z2, 求grad f(1, 1, 2). 解 grad f=(fx, fy, fz)=(2x, 2y, 2z), 于是 grad f(1, 1, 2)=(2, 2, 4). 數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng): 如果對(duì)于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M, 都有一個(gè)確定的數(shù)量f(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)(例如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)等). 一個(gè)數(shù)量場(chǎng)可用一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來(lái)確定, 如果與點(diǎn)M相對(duì)應(yīng)的是一個(gè)向量F(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)向量場(chǎng)(例如力場(chǎng)、速度場(chǎng)等). 一個(gè)向量場(chǎng)可用一個(gè)向量函數(shù)(M)來(lái)確定, 而 F (M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k, 其中P(M), Q(M), R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù). 利用場(chǎng)的概念, 我們可以說(shuō)向量函數(shù)grad f(M)確定了一個(gè)向量場(chǎng)——梯度場(chǎng), 它是由數(shù)量場(chǎng)f(M)產(chǎn)生的. 通常稱函數(shù)f(M)為這個(gè)向量場(chǎng)的勢(shì), 而這個(gè)向量場(chǎng)又稱為勢(shì)場(chǎng). 必須注意, 任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是勢(shì)場(chǎng), 因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場(chǎng). 例5 試求數(shù)量場(chǎng)所產(chǎn)生的梯度場(chǎng), 其中常數(shù)m0, 為原點(diǎn)O與點(diǎn)M(x, y, z)間的距離. 解 ,同理 , .從而 .記, 它是與同方向的單位向量, 則 . 上式右端在力學(xué)上可解釋為, 位于原點(diǎn)O 而質(zhì)量為m 質(zhì)點(diǎn)對(duì)位于點(diǎn)M而質(zhì)量為l的質(zhì)點(diǎn)的引力. 這引力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比, 這引力的方向由點(diǎn)M指向原點(diǎn). 因此數(shù)量場(chǎng)的勢(shì)場(chǎng)即梯度場(chǎng)grad稱為引力場(chǎng), 而函數(shù)稱為引力勢(shì).167。8. 8 多元函數(shù)的極值及其求法 一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0, y0)的點(diǎn)(x, y), 都有 f(x, y)f(x0, y0)(或f(x, y)f(x0, y0)), 則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0, y0)有極大值(或極小值)f(x0, y0). 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 例1 函數(shù)z=3x2+4y2在點(diǎn)(0, 0)處有極小值. 當(dāng)(x, y)=(0, 0)時(shí), z=0, 而當(dāng)(x, y)185。(0, 0)時(shí), z0. 因此z=0是函數(shù)的極小值. 例2 函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)處有極大值. 當(dāng)(x, y)=(0, 0)時(shí), z=0, 而當(dāng)(x, y)185。(0, 0)時(shí), z0. 因此z=0是函數(shù)的極大值. 例3 函數(shù)z=xy在點(diǎn)(0, 0)處既不取得極大值也不取得極小值. 因?yàn)樵邳c(diǎn)(0, 0)處的函數(shù)值為零, 而在點(diǎn)(0, 0)的任一鄰域內(nèi), 總有使函數(shù)值為正的點(diǎn), 也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn). 以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念, 可推廣到n元函數(shù). 設(shè)n元函數(shù)u=f(P)在點(diǎn)P0的某一鄰域內(nèi)有定義, 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點(diǎn)P, 都有f(P)f(P0)(或f(P)f(P 0)), 則稱函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0有極大值(或極小值)f(P0). 定理1(必要條件) 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)具有偏導(dǎo)數(shù), 且在點(diǎn)(x0, y0)處有極值, 則有 fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0. 證明 不妨設(shè)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處有極大值. 依極大值的定義, 對(duì)于點(diǎn)(x0, y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0, y0)的點(diǎn)(x, y), 都有不等式f(x, y)f(x0, y0). 特殊地, 在該鄰域內(nèi)取y=y0而x185。x0的點(diǎn), 也應(yīng)有不等式f(x, y0)f(x0, y0).這表明一元函數(shù)f(x, y0)在x=x0處取得極大值, 因而必有fx(x0, y0)=0. 類似地可證fy(x0, y0)=0. 從幾何上看, 這時(shí)如果曲面z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0, z0)處有切平面, 則切平面 zz0=fx(x0, y0)(xx0)+ fy(x0, y0)(yy0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面z=z0. 類似地可推得, 如果三元函數(shù)u=f (x, y, z)在點(diǎn)(x0, y0, z0)具有偏導(dǎo)數(shù), 則它在點(diǎn)(x0, y0, z0)具有極值的必要條件為fx(x0, y0, z0)=0, fy(x0, y0, z0)=0, fz(x0, y0, z0)=0. 仿照一元函數(shù), 凡是能使fx(x, y)=0, fy(x, y)=0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0, y0)稱為函數(shù)z=f(x, y)的駐點(diǎn). 從定理1可知, 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn). 但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn). 例如, 函數(shù)z=xy在點(diǎn)(0, 0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是零, 函數(shù)在(0, 0)既不取得極大值也不取得極小值. 定理2(充分條件) 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0, 令fxx(x0, y0)=A, fxy(x0, y0)=B, fyy(x0, y0)=C, 則f (x, y)在(x0, y0)處是否取得極值的條件如下: (1) ACB20時(shí)具有極值, 且當(dāng)A0時(shí)有極大值, 當(dāng)A0時(shí)有極小值。 (2) ACB20時(shí)沒(méi)有極值。 (3) ACB2=0時(shí)可能有極值, 也可能沒(méi)有極值. 在函數(shù)f(x, y)的駐點(diǎn)處如果 fxx fyyfxy20, 則函數(shù)具有極值, 且當(dāng)fxx0時(shí)有極大值, 當(dāng)fxx0時(shí)有極小值. 極值的求法: 第一步 解方程組fx(x, y)=0, fy(x, y)=0, 求得一切實(shí)數(shù)解, 即可得一切駐點(diǎn). 第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0, y0), 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C. 第三步 定出ACB2的符號(hào), 按定理2的結(jié)論判定f(x0, y0)是否是極值、是極大值 還是極小值. 例4 求函數(shù)f(x, y)=x3y3+3x2+3y29x 的極值. 解 解方程組, 求得x=1, 3。 y=0, 2. 于是得駐點(diǎn)為(1, 0)、(1, 2)、(3, 0)、(3, 2). 再求出二階偏導(dǎo)數(shù)fxx(x, y)=6x+6, fxy(x, y)=0, fyy(x, y)=6y+6. 在點(diǎn)(1, 0)處, ACB2=1260, 又A0, 所以函數(shù)在(1, 0)處有極小值f(1, 0)=5。 在點(diǎn)(1, 2)處, ACB2=12(6)0, 所以f(1, 2)不是極值。 在點(diǎn)(3, 0)處, ACB2=1260, 所以f(3, 0)不是極值。 在點(diǎn)(3, 2)處, ACB2=12(6)0, 又A0, 所以函數(shù)的(3, 2)處有極大值f(3, 2)=31. 應(yīng)注意的問(wèn)題: 不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn), 例如, 函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)處有極大值, 但(0, 0)不是函數(shù)的駐點(diǎn). 因此, 在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí), 除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外, 如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn), 那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮. 最大值和最小值問(wèn)題: 如果f(x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), 則f(x, y)在D上必定能取得最大值和最小值. 這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部, 也可能在D的邊界上. 我們假定, 函數(shù)在D上連續(xù)、在D內(nèi)可微分且只有有限個(gè)駐點(diǎn), 這時(shí)如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值(最小值), 那么這個(gè)最大值(最小值)也是函數(shù)的極大值(極小值). 因此, 求最大值和最小值的一般方法是: 將函數(shù)f(x, y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 在通常遇到的實(shí)際問(wèn)題中, 如果根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì), 知道函數(shù)f(x, y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得, 而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x, y)在D上的最大值(最小值). 例5 某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱. 問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí), 才能使用料最省. 解 設(shè)水箱的長(zhǎng)為xm, 寬為ym, 則其高應(yīng)為m. 此水箱所用材料的面積為. 令, , 得x=2, y=2. 根據(jù)題意可知, 水箱所用材料面積的最小值一定存在, 并在開(kāi)區(qū)域D={(x, y)|x0, y0}內(nèi)取得. 因?yàn)楹瘮?shù)A在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 所以 此駐點(diǎn)一定是A的最小值點(diǎn), 即當(dāng)水箱的長(zhǎng)為2m、寬為2m、高為m時(shí), 水箱所用的材料最省. 因此A在D內(nèi)的唯一駐點(diǎn)(2, 2)處取得最小值, 即長(zhǎng)為2m、寬為2m、高為m時(shí), 所用材料最省. 從這個(gè)例子還可看出, 在體積一定的長(zhǎng)方體中, 以立方體的表面積為最小. 例6 有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板, 把它兩邊折起來(lái)做成一斷面為等腰梯形的水槽. 問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？ 解 設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為xcm, 傾角為a, 那末梯形斷面的下底長(zhǎng)為242x, 上底長(zhǎng)為242xcosa, 高為xsina, 所以斷面面積 , 即A=24xsina2x2sina+x2sina cosa (0x12, 0a163。90176。). 可見(jiàn)斷面面積A是x和a的二元函數(shù), 這就是目標(biāo)函數(shù), 面求使這函數(shù)取得最大值的點(diǎn)(x, a). 令A(yù)x=24sina4xsina+2xsina cosa=0, Aa=24xcosa2x2 cosa+x2(cos2asin2a)=0, 由于sina 185。0, x185。0, 上述方程組可化為 . 解這方程組, 得a=60176。, x=8cm. 根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在, 并且在D={(x, y)|0x12, 0a163。90176。}內(nèi)取得, 通過(guò)計(jì)算得知a=90176。時(shí)的函數(shù)值比a=60176。, x=8(cm)時(shí)的函數(shù)值為小. 又函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 因此可以斷定, 當(dāng)x=8cm, a=60176。時(shí), 就能使斷面的面積最大. 二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值. 例如, 求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問(wèn)題. 設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為x, y, z, 則體積V=xyz. 又因假定表面積為a2, 所以自變量x, y, z還必須滿足附加條件2(xy+yz+xz)=a2.