【正文】 2. 不定積分的計算 例 12 求積分 .1213? ??? dxxxx解 先對分母進行有理化 原式 ? ?????? ???? dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(? ???? dxxx )1213()13(1331 ??? ? xdx )12(1221 ??? ? xdx.)12(31)13(92 2323Cxx ?????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 ,112 ?? tx ? ? ,12 22 ??? t t d tdx? ? dxx xx 11 ? ? ? ? dtt ttt? ???? 222 121? ??? 12 2 2t dttdtt? ?????? ???? 1112 2 Cttt ?????? 11ln2.11ln122Cx xxx x ??????????????? ??????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 ? ?? dxxx xx 222c o ss i nc o ss i n41 ?? dxx2c o s141?? ?? dxxdxxx s i n141c o ss i n41 2?? dxx2c o s141?? ??? dxxxdx s i n141)( c o sc o s141 2?? dxx2c o s141xc o s41?2t anln41 x? .t an41 Cx ??Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 解（三） 可以不用萬能置換公式 . ? dxx4s in1 dxxx )co t1(cs c 22? ??x dxxx dx 222 cs cco tcs c? ??? )(c o t xd?.c o t31c o t 3 Cxx ????結(jié)論 比較以上三種解法 , 便知萬能置換不一定是最佳方法 , 故三角有理式的計算中先考慮其它手段 , 不得已才用萬能置換 . Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 8 求積分 .s in14? dxx解（一） ,2tan xu ? ,1 2s in 2uux ?? ,1 2 2 duudx ??? dxx4s in1 duu uuu? ???? 4 642 8 331Cuuuu ?????? ]3333 1[81 33.2t a n2412t a n832t a n832t a n241 33 Cxxxx ??????????????????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 7 求積分 .c o ss in1 s in? ?? dxxx x解 ,1 2s in 2uux ??2211c o suux??? ,122 duudx ??由萬能置換公式 ? ?? dxxx x c o ss i n1 s i n duuu u? ??? )1)(1( 2 2duuu uuu? ?? ????? )1)(1( 112 222Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為 )c o s,( s i n xxR2c o s2s i n2s i nxxx ??2sec2tan22 xx? ,2t an12t an22 xx??,2s i n2c o sc o s 22 xxx ??三角函數(shù)有理式的積分 五、其它形式的不定積分 Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 5. sin c os ( , )m x nx dx m n R?? 型解： sin c os m x nx dx?11sin ( ) sin ( )22m n x d x m n x d x? ? ? ???: s i n c o s , s i n s i n , c o s c o s ,E x m x n x m x n x m x n x被積函數(shù)是利用三角函數(shù)的積化和差公式可解 . 積化和差c o s ( ) c o s ( ) . ( )2 ( ) 2 ( )m n x m n x C n mm n m n??? ? ? ? ? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 (2 ) nm若 與 都 是 偶 數(shù) ， 這 時 由 三 角 公 式221 c os 2 1 c os 2sin , c os ,22xxxx????a) 含有 sin2x 或 cos2x 的奇次冪，此時可由 (1)求之； 將被積函數(shù)化簡 , 其結(jié)果： b) 含有 sin2x 或 cos2x 的偶次冪，用上述三角公式化簡 , 化成含 sin4x 與 cos4x 的函數(shù)，依次類推 . 1sin c os sin 2 ,2x x x?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 s i n c o , s4 . nmxx若被積函數(shù)是 分以下兩種情形討論：( 1 ) 2 1 ( ) ,n m m k k N? ? ?若 與 至 少 有 一 個 是 奇 數(shù) ， 不 妨 設(shè) n 為 正 數(shù) ， 于 是22sin c os sin c os c ossin ( 1 sin ) sin ,n m n knkx x dx x x x dxx x d x??????2 ( 1 s i n ) kx?將 按二項式定理展開, 逐項積分可解, 其形如1s in s in s in .1pP AA x d x x Cp?????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 3 . ( s i n , c o s ) ( s i n , c o s ) , t a n .R x x R x x t x? ? ? ?若 設(shè) 即可例 11. 2sin c o ssin c o sxx dxxx??解： 21 ta n , , c ost x dt dxx??設(shè)有252ta n c o s s in c o s c o sx x d xx x x?? ??原式22 2 2t a n( 1 t a n ) ( 1 t a n ) c o sx d xx x x?????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 43c o s c o ss inx x d xx? ?原式223(1 )t dtt?? ?223( 1 s in ) ( s in )s inx dxx?? ?3 2.dt dt tdttt? ? ? ?? ? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 8. 221 ( 0 1 , | | )1 2 c o sr d x r xr x r ?? ? ? ????解： 22 ta n , 2 a r c ta n , , 21x dtt x t dxt? ? ? ?設(shè)則222 2 2 2 2221 2 2( 1 ) =1 1 ( 1 ) ( 1 )121rr dt dtt t r r trrt?? ??? ? ? ? ??????原 式21()1211 ( )1rdtrrtr??????? tan2xt ?12 a r c ta n .1 r tCr????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 就有 22 2 22 1 2( s in , c o s ) ( , )1 1 1 .ttR x x d x R d tt t t???? ? ??? 這樣就把積分有理化了 . 從而三角函數(shù) R(sinx,cosx) 存 在初等函數(shù)的原函數(shù) . ta n ( sin , c os ) 2x t R x x?變量替換 稱為關(guān)于三角函數(shù) 的.萬能替換Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 例 6. 2( 1 ) 2 5x x x d x? ? ??2 2 21 2 5 ( 2 5 ) 2 ( 1 ) 42 x x d x x x dx? ? ? ? ? ? ? ???原式24 l n ( 1 2 5 ) .x x x C? ? ? ? ? ?解： 322 21 ( 2 5 ) ( 1 ) 2 53 x x x x x? ? ? ? ? ? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 2222 ( ) ( ) ,24bba x b x c d x a x c d xa? ? ? ? ? ???而2( 2 ) ( ) ( 0 ) M x N a x b x c adx? ? ? ??形如 的積分2()M x N a x b x c d x? ? ??22 ()2M ax bx c d ax bx ca? ? ? ? ??2( ) ,2MbN a x b x c d xa? ? ? ??Yunnan University 167。 2. 不定積分的計算 222 . ( , ) 0 , 4 0 (R x a x b x c d x a b a c? ? ? ? ?? 型積分，其中 無重根) .