【正文】 分以下情況考慮： 2 (0( 1 ) )M x N d x aa x b x c? ????形如 的積分222()2M x N M d a x b x cdxaa x b x c a x b x c? ? ??? ? ? ???2( ) ,2b M d xNa a x b x c?? ???2222 .( ) ( )24d x d xa x b x c b ba x caa??? ? ? ???而Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 例 3. 23 ( 1 ) ( 1 )dxxx???解： 311 = .11 x dxxx ?????原 式323 3 3 3 21 1 2 6 , 1 , , 1 1 1 ( 1 )x t tt x d x d tx t t t? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?設(shè)則323 3 2 31 6 3 2 ( 1 ) 1tt t d t d tt t t? ? ?? ? ? ?????原 式2211dt t dtt t t????? ? ???Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 例 1. 77 8 1 514.xx dxxx???解： 1 4 1 314 , , 1 4 ,x t x t d x t d t? ? ?設(shè) 則 有：1 11 4 1 4 2 77 21 3 1 38 15 1 6 1 51 4 1 47 14( ) ( )1 4 1 4( ) ( )t t t tt d t t d ttttt????????原 式 =54 3 211 4 1 4 ( 1 ) .1t d t t t t t d tt?? ? ? ? ? ? ????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 五、其他類型的不定積分 （一）簡單無理函數(shù)的不定積分 原則： 簡單無理函數(shù) 變量替換 有理函數(shù) 符號(hào) R (u, v) 表示以 u 和 v 為 變量的有理函數(shù) . 1 . ( , ) 2 0 .n a x bR x d x n a d b cc x d? ? ? ??? 型積分，其中 且Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 例 17. 求 2 .1( 1 ) dxxx ??21( 1 ) dxxx ?? 21 1 1( 1 ) 1dxx x x??????? ? ????21 1 1( 1 ) 1dx dx dxx x x? ? ???? ? ?.1l n | | l n | ( 1 ) |1x x Cx? ? ? ? ??解： Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 12 2 2 1 223 .2 ( 1 ) ( ) 2 ( 1 )n nntnIIa n t a a n ?????? ? ?因此, nI這是關(guān)于 的遞推公式. 此時(shí),11221 a r c ta n ,dt tICt a a a? ? ???1 2 3 1 .nnI I I I I?? ? ? ? ?由 222 2 2 311 a r c ta n ,22ttICa t a a a? ? ? ??332 2 2 2 4 2 2 5 ,1 3 3 a r c t a n4 ( ) 8 8t t ta t a a t a a a? ? ? ? ? ???Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 2 ( 2 , 3 ,( 4 ) )() n nB x C dxx p x q ?????222() ()2 ( ) 2 ( )nnB d x p x q B p d xCx p x q x p x q??? ? ?? ? ? ???211 ( ) ,2 ( 1 ) ( ) 2 nnB B pCIn x px q ?? ? ? ?? ? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 2. 有理函數(shù)的不定積分 ()()FxQx?從 式，任何有理真分式 的不定積分都能歸結(jié)為（）不定積分：求下列四種類型分式的( 1 ) l n | | .A dx A x a Cxa ? ? ???2 2 2 2 22 2 1 1 2 .( 1 ) ( 1 ) 1 1 ( 1 )x x xx x x x x?? ? ? ?? ? ? ? ?所以 22 22( 3 ) .22l n ( ) a r c ta n2 44B x C B C B p x pd x x p x q Cx p x q q p q p? ? ?? ? ? ? ??? ???1( 2 ) .( 2 , 3 , )() ( 1 ) ( )n nAAd x C nxa n x a ?? ? ?? ???Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 例 16. 2222( 1 ) ( 1 )xxx???分解 為簡單分式之和.解： 方法一 1 1 2 22 2 2 2 222( 1 ) ( 1 ) 1 1 ( 1 )B x C B x CxAx x x x x??? ? ? ?? ? ? ? ?設(shè) 4 3 21 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 122( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) .( 1 ) ( 1 )A B x C B x A B B C x C C B B x A C Cxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????1112 1 12 1 2 1210,0,2 0 ,2,2.ABCBA B B CC C B BA C C????????? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??1 1 2 21 , 1 , 1 , 2 , 0 .A B C B C? ? ? ? ? ? ? ?解方程組, 得:比較兩端分子的同次冪系數(shù) , 得 Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 根據(jù) 代數(shù)分項(xiàng)分式定理 , 有 ?? ???????? ?? )()()()( )( 221 ax Aax Aax AxQ xF??)()()( 221bxBbxBbxB??????? ?1 1 2 22 2 2 21 1 2 22 2 2 2( ) ( ).( ) ( )()C x DC x D C x Dx px q x px q x px qE x FE x F E x Fx rx s x rx s x rx s?????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ??, , , , ,i j k k m mA B C D E F其中， 都是常數(shù). 求解常數(shù)的方法：Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 ()( ) ( )()()( ) ( )()PxP x Q xQxPxP x Q xQx??若 的次數(shù) 的次數(shù)，稱 為有理假分式；若 的次數(shù) 的次數(shù)，稱 為有理真分式.( ) ( )()( ) ( )P x F xTxQ x Q x??多項(xiàng)式除法有理假分式 有理真分式（多項(xiàng)式） .12 643212 3 222 4 ?? ??????? ? xx xxxxx x四、有理函數(shù)積分法 1. 代數(shù)的預(yù)備知識(shí) 設(shè) P(x)與 Q(x)都是多項(xiàng)式 , 則有理函數(shù)的一般形式是 .()()PxQx例如： Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 將不定積分視為一個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算是錯(cuò)誤的 , 不定積分是 原函數(shù)的集合 . 此時(shí) , ? ? ??? .|s i n|lns i ns i ns i nc os Cxx xddxxx使用分部積分公式還可得到一些有用的 遞推公式 , 例如 ： ( l n ) ,nnI x d x? ?dxxxnxxxdxxI nnnn ?? ????? ? 1)( l n)( l n)( l n 1,)( l n)( l n)( l n 11 ?? ???? ? nnnn nIxxdxxnxx? ???? .lnln1 Cxxxx d xI其中，Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 例 15. c o s sin .a x a xe b x d x e b x d x??求 及解： ?? ?? ,s i nc os1c os bx dxeabbxeabx dxe axaxax1sin sin c o s ,ax ax axbe b x d x e b x e b x d xaa????聯(lián)立 , 解之得： 22sin c osc os ,ax axb bx a bxe bx dx e Cab?????22sin c ossin ,ax axa bx b bxe bx dx e Cab?????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 例 12. a r c ta n x d x?求解： 2a r c t a n 1xx x dxx?? ??原式21a r c ta n l n ( 1 ) .