【導讀】采用比例導引法。導彈和目標在同一平面內(nèi)運動，如圖11-1。距離，DH為一基準方向。DT為目求視線，q為DM與DH之間的。夾角，稱為目標視線角。按比例導引法導引時，在彈上裝有紅外線或無線電導引頭，儀，經(jīng)過放大變換后，控制舵面偏轉(zhuǎn)，導彈產(chǎn)生橫向控制力，改變導彈速度向量的方向。N為比例系數(shù)，稱為導航比。對一般的導彈來說N=3~6。導彈向著前置碰撞點飛行。方程相對于理想彈道線性化，得出導彈運動的狀態(tài)方程。軸成q角，設(shè)，，q都比較小。速飛行，即都是不變值。用相對坐標變量比較方便。式中表示目標的橫向加速度，表示導彈的橫向加速度，控制信號加給舵機，舵面。然而，當要求一個反饋形式的控制時，按上式列出。的問題往往很難解。脫靶量，要求時刻x值越小越好。另外舵偏角受到限制，導。式中，如寫成矩陣形式2DKK??

　　

【正文】 須從最佳隨機控制的觀點，重新考慮整個尋的制導系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的選取。 按照隨機最佳控制理論，在下述條件下，最佳估值器和最佳控制器的設(shè)計（即卡爾曼濾波器和最佳導引規(guī)律的設(shè)計）無相互關(guān)聯(lián)，可獨立進行設(shè)計： ； ； ，形如 011( ) ( )22fftT T Tt tJ X S X X Q X U R U d t? ? ??式中 —— 系統(tǒng)工作開始計終結(jié)時刻； X—— 狀態(tài)矢量； U—— 作用于系統(tǒng)控制對象上的控制信號或控制函數(shù)： S， Q—— 非負定矩陣； R—— 正定矩陣； 所求得的最佳控制函數(shù) U，應(yīng)能使 J達到最小。除了有時第二個條件可放寬以外，這些條件都是必備的。 0, ftt 對于我們所考慮的系統(tǒng)，顯然不是線性系統(tǒng)，因為在放大器和舵機中存在著飽和非線性特性，在相對運動學環(huán)節(jié)中 存在著正弦和余弦函數(shù)等。 另外，作用在系統(tǒng)上的有些隨機輸入量，也不符合正態(tài)分布規(guī)律。例如，雷達目標回波信號中的振幅噪聲已知為瑞利分布，而目標機動的典型概率分布為圖 118 所示的曲線，也不是高斯分布。因而，原則上不能將最佳估值問題和最佳控制問題分割開。 這樣，我們單獨設(shè)計的卡爾曼濾波器，就不能原封不動地搬到制導系統(tǒng)中去，必須對濾波器本身及導引規(guī)律兩者都作適當?shù)膮f(xié)調(diào)和改動，否則將不能有效地提高制導系統(tǒng)的導引準確度。 但是從純理論的角度去處理這一問題的話，將會遇到很大的困難。因為我們面臨的是一個高階的非線性協(xié)調(diào)。工程上較實用的方法是試驗方法，即用制導系統(tǒng)的仿真試驗來對最佳估值器和最佳控制規(guī)律進行試驗設(shè)計。 由于原有的系統(tǒng)是模擬式制導系統(tǒng)，而卡爾曼濾波器是一個數(shù)學部件，故在將卡爾曼濾波器接入制導系統(tǒng)之后，即形成一個數(shù)字 —— 模擬混合系統(tǒng)。 在進行仿真試驗時，現(xiàn)有的模擬式部件都在模擬式電子計算機上用排題的方法實現(xiàn)，而卡爾曼濾波器本身則在數(shù)字計算機上用軟件實現(xiàn)。 在模擬式計算機和數(shù)字計算機之間還要加上適當?shù)臄?shù)字 /模擬及模擬 /數(shù)字轉(zhuǎn)換裝置及相應(yīng)的接口程序，以實現(xiàn)模擬式計算機和數(shù)字計算機之間的信息交換和運行控制。 對于此混合式制導系統(tǒng)進行統(tǒng)計模擬，也使用蒙特 卡羅（ MonteCarlo）方法，即使用足夠多的隨機輸入量樣本，在某些初始條件和參數(shù)下進行足夠多次的運算，求取狀態(tài)變量的統(tǒng)計平均值。這樣一來，如果原來測取的噪聲樣本不夠長，就應(yīng)根據(jù)已建立起來的噪聲的數(shù)學模型，產(chǎn)生足夠長的噪聲樣本。 其具體方法如下： ，例如乘同余法。產(chǎn)生在區(qū)間 [0， 1]上均勻分布的隨機數(shù) R（ i）； ，利用已得的均勻分布隨機數(shù)，產(chǎn)生 的正態(tài)分布隨機數(shù)樣本 ： 式中 S為和 有關(guān)的常系數(shù)。 代入已建立的噪聲的數(shù)學模型中，產(chǎn)生所需的 AR（ 2）時間序列 ： 這即是方程（ 1168b）的代換式。 2(0, )aN ?0()ui? ?0 ( ) { 2 l n ( 1 ) c o s 2 ( ) }u i R i R i S?? ? ?2a?0()uiiW1 1 2 2 0? ? ()i i iW W W u i????? ? ? 對于我們的例子，用上述方法進行了混合仿真試驗。在適當?shù)剡x取系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)之后，得到了較滿意的結(jié)果。由噪聲分量產(chǎn)生的脫靶距離，和具有 RC濾波器的模擬式制導系統(tǒng)的蒙特 卡羅模擬結(jié)果相比，大約可減少一半，典型的制導系統(tǒng)混合仿真試驗曲線如圖 1114所示。 由圖可以看出，用卡爾曼濾波器所得到的視線角速度 的最佳估值，比采用 RC濾波器的模擬器的模擬式系統(tǒng)得到的視線角速度的變化規(guī)律 ，更靠近于確定性制導系統(tǒng)，即只有初始條件作為唯一輸入量的原模擬式制導系統(tǒng)，而確定性系統(tǒng)的動態(tài)仿真結(jié)果說明，它的終點脫靶量近視為零。 為了進一步改善濾波器的性能，一般可采用適應(yīng)式卡爾曼濾波器。在這種濾波器中，要用某種方法在線、實時地對噪聲的統(tǒng)計特性的變化加以預(yù)測和估計，據(jù)此修改噪聲模型，并相應(yīng)地改變?yōu)V波器及導引規(guī)律諸參數(shù)。 167。 觀測噪聲數(shù)學模型的建模方法 建立觀測噪聲數(shù)學模型所用的方法，即是一般的線性隨機 時間序列的分析方法，亦即近年來出現(xiàn)的建立 ARMA模型的方法。它的基本思想和基本方法如下。 對于很廣泛一類平穩(wěn)隨機時間序列 若其數(shù)學期望或統(tǒng)計平均值為零（在它不為零時，可取原序列與它的數(shù)學期望之差作為 序列），總可以用下述三個差分方程之一來描述： 0{ } , ( 1, 2 , ),tW t n?tW? ?? ? ? ?1111,( ) ,ttttttz W aW z az W z a???????????其中 及 為 的算子多項式。 稱為后移算子，即 1()z? ? ? ?1z? ? 1z? 1z?n t t nz W W? ??n為正整數(shù)。這樣，上述算子多項式可寫為 ? ?1 1 2 11 2 11 1 2 11 2 11( ) 1ppppqqqqz z z z zz z z z z? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?其中 p和 q為正整數(shù)，稱為模型的階數(shù)。規(guī)定 為零均值高斯白噪聲。 方程（ 1179）稱為自回歸模型。若 的最高冪次為 p，則稱為 p階自回歸模型。 ta? ?1z? ? 若方程 的全部根都位于復(fù)平面 z上的單位圓內(nèi)，則由方程 （ 1179）所得到的隨機序列，一定是平穩(wěn)隨機序列。這時，我們稱方程（ 1179）所代表的模型為 p階平穩(wěn)自回歸模型，簡記為 AR（ P）模型。 方程（ 1180）稱為滑動平均模型。若 中 的最高冪次為 q，則稱它為 q階滑動平均模型。若在方程 中，其全部根都 的 全部根都在復(fù)平面 z上的單位圓內(nèi)，則稱此方程所代表的模型為可逆滑動平均模型。 ? ?1 0z? ? ?1( ) 0z? ? ?1z?1()z? ?因為在滿足這個條件時，方程（ 1180）存在可逆解 為一個 的無窮多項式，而在滿足上述條件時，這個無窮多項式可寫成有理分式的形式。此模型簡記為 MA（ q）。 同理，稱方程（ 1181)代表的模型為自回歸與滑動平均混合模型。若這個方程左右兩邊的算子多項式所構(gòu)成的方程： 分別滿足上述條件，即它們的根全部在復(fù)平面ｚ上的單位圓內(nèi)，且階數(shù)分別為ｐ和ｑ，則稱方程（ 1181）所代表的模型為 p階平穩(wěn)自回歸與 q階可逆滑動平均混合模型，簡記為 ARMA（ p，q)。 ? ?11 ,tta z W? ???? ?11z??? 1z?問題在于：記錄到一個隨機序列的樣本之后，究竟是不是平穩(wěn)序列？如果是平穩(wěn)隨機序列，它屬于上述三類中的哪一類？ P和 q如何確定？諸系數(shù) 及 和 的方差 （數(shù)學期望已知為零）如何求出？這些問題即是建立噪聲的數(shù)學模型時需要解決的主要問題。 （一）平穩(wěn)性判別和預(yù)處理： 一般來說，一個物理隨機過程，如果它賴以發(fā)生的物理系統(tǒng)的環(huán)境條件和參數(shù)在系統(tǒng)的全部工作時間內(nèi)保持不變，則可把該過程視為平穩(wěn)隨即過程。但是這種看法并不嚴格。在實際問題中，還必須根據(jù)測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析計算，從數(shù)值上檢驗它的平穩(wěn)性。 12, p? ? ? 12, q? ? ? ta 2a? 檢驗的具體方法是：選取一個長樣本序列中足夠長的幾段，計算各段的均、方差及相關(guān)函數(shù)，看這些量是否相等或 近視相等。如果它們近視相等，則可認為這個隨機序列在所 檢驗的時間區(qū)間上是平穩(wěn)的。 在確認了隨機序列的平穩(wěn)性之后，還應(yīng)對該序列進行預(yù) 處理，即剔出這個隨機序列中所包含的非隨機量，使它僅包 含隨機噪聲。然后，還需去掉此噪聲的常值數(shù)學期望。 （二）計算隨機序列的自協(xié)方差函數(shù) 、自相關(guān)函數(shù) 及偏相關(guān)函數(shù) ： 對零均值隨機序列 定義 為此序列的自協(xié)方差函數(shù)的一個估值， m一般可取為序列長度 n的 1/4~1/10。由平穩(wěn)序列的性質(zhì)可知 定義 ?k? ?k??kk?12, , ,nW W W11? ( 0 , 1 , 2 , , )nkk i i kiW W k mn? ? ?????? ? ( 0 ,1 , 2 , , )kk km?? ???0?? ( 0 ,1 , 2 , , )?kk km????? 為該序列的自相關(guān)函數(shù)的一個估值。易于看出 如果要用序列中某時刻 t之前的 k個值 的線性組合來逼近 t時刻之值，形如： 并且存在一組系數(shù) 使能逼近方差 達到最小，則稱 為該隨機序列的偏自相關(guān)函數(shù)?？衫孟率鲞f推公式計算 ： 0? ? ?1 kk? ? ? ???1 2 1( , , , )t k t k t tW W W W? ? ? ? ?1 1 2 2? t k t k t k k t kW W W W? ? ?? ? ?? ? ? ?12( , , , ),k k kk? ? ?2?[]ttE W W??kk?kk?11 , 1 , 1 1 , ( 1 )? ? ,? ? ? ? ( 1 , 2 , , )kkk j k j k k k k j jk??? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?1111 , 11?? ????1kk k j k jikk kj k ji? ? ????? ? ??????????利用這些公式，在給出 之后，即可逐步遞推，求出偏自相關(guān)函數(shù)序列 表 1 平穩(wěn)隨機序列模型類別及階數(shù)確定 模型類型 判別依據(jù) AR（ p） MA（ q） ARMA(p,q) 拖尾 截尾 拖尾 截尾 拖尾 拖尾 階數(shù) P=（截尾點 的 k值） 1 q=（ 截尾點的 k值） 1 通過實驗確定 1??12( , , , )k k kk? ? ??k??k?kk??kk? 在求出 及 之后，分別以 和 為縱坐標， 以 k為橫坐標，畫出它們的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)曲線。依據(jù)這些曲線的形狀，并按下表判別模型的類別和階數(shù) p和 q（見表 1）。表中所謂 及 隨 k的變化的兩條曲線是截尾或拖尾，依下述方法確定：若曲線在某個 k值之后， 或 的取值恒滿足： 1. 或 中不大于 的個數(shù)大于總數(shù) m的 %； 2. 或 中不大于 的個數(shù)大于總數(shù)的 %； 1 1 2 2? ? ?( , , , )mm? ? ?12? ? ?( , , , )m? ? ? ?k? kk??k? ?kk??k? ?kk??||k? ?||kk??||kk??||k?1m2m（三）模型參數(shù)的初步估計 （ p）模型參數(shù)的估計 對 AR（ p）模型而言，所謂參數(shù)估計，主要是計算 共 p+1個參數(shù)的值。在已計算出 序列之后，對參數(shù) 而言，可取為 而參數(shù) 可用下式求出： 212? ? ? ?( , , , , )pa? ? ? ??kk? 12? ? ?( , , , )p? ? ?? ? ( 1 , 2 , , )j k j jp????2?a?20,1? ?? ?? pa i j j iij? ? ? ? ? ???? ?2 MA（ q）模型的參數(shù)估計 對 MA（ q）模型而言，參數(shù)估計的任務(wù)，即是計算 共（ｑ＋１