[工學(xué)]計(jì)算方法-第1章-資料下載頁(yè)
2024-10-13 20:24本頁(yè)面
【正文】 ???????????????????nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxs?????其中， ???????????????????nknkkkn,4,3)1()1)(1(1)1()1)(1(1113221????????????() ▲ 各相對(duì)誤差限的大小與運(yùn)算先后有關(guān) ； 先運(yùn)算的數(shù)，誤差也較大 ▲ 運(yùn)算應(yīng)先安排小數(shù)參加運(yùn)算，可防止 “ 大數(shù)吃小數(shù) ” 30 2. 連乘 : )( 21 nxxxfl ??? ?▲ 各相對(duì)誤差限的大小與運(yùn)算先后 無(wú)關(guān)。 33 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計(jì)原則 設(shè)計(jì)和選擇算法 首要關(guān)心 的問(wèn)題是 精度 要求，要 建立一些定性分析準(zhǔn)則用于判斷結(jié)果的可靠性， 這是 數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題 。 ▋ 對(duì)于一個(gè)數(shù)值方法，若對(duì)原始數(shù)據(jù)或某一步有舍入誤差， 在執(zhí)行過(guò)程中，這些誤差能得到控制，則稱 該數(shù)值方法 穩(wěn)定 。否則，稱為 不穩(wěn)定的 。 ▲ 利用兩種數(shù)值方法 A和 B解輸入和舍入誤差規(guī)則相同的 同一問(wèn)題，若用 A發(fā)比 B法得到的計(jì)算解精度更高，則 稱 A法比 B法具有較大的穩(wěn)定性 。 ▲ 例 8 計(jì)算積分 ?? 101 dxexeI xn7,2,1,0 ??n, 解：由于 ??? ????? 10 11010 )( dxexndxexdxexe xnxnxn故 11 ??? nn nII() 方法一 ：利用公式 ()式，先計(jì)算 I0，然后計(jì)算 I1, I2, …, I 7 設(shè)計(jì)算值 的誤差為 ，若 I0時(shí)誤差為 ，則 *iI )( *iI???????? !7)(,!2)(,)( *7*2*1 ??? III ?方法二 ：利用公式 nII nn???11， 先計(jì)算 I7，再計(jì)算 I6,I5,…,I 0 計(jì)算 I7 時(shí)產(chǎn)生誤差 ，那么計(jì)算 I0 時(shí)的誤差為 ?!7)(*0?? ?I例 9 求線性方程組 ????????????????????6047514131123413121613121321321321xxxxxxxxx() 其準(zhǔn)確解為 x1=x2=x3=1。但是，若對(duì)數(shù)據(jù)取 3位有效數(shù)字， 利用 Guass消去法求解，則計(jì)算解： 4 9 ,4 8 , 321 ??? xxx 33 同樣對(duì)方程 ?????????????622452413231321321xxxxxxxx利用 Guass消去法，取 3位有效數(shù)字，則得到準(zhǔn)確解： 6,1,9 321 ????? xxx“數(shù)值問(wèn)題 ” 計(jì)算解的精度， 不但 與數(shù)值方法的穩(wěn)定有關(guān)， 而且 還與數(shù)值問(wèn)題的性態(tài)好壞有關(guān)。 ▲ 在數(shù)值問(wèn)題中，若輸出數(shù)據(jù)對(duì)輸入數(shù)據(jù)的擾動(dòng)（誤差） 很敏感（小的變化會(huì)引起較大的變化），稱這類(lèi)數(shù)值 問(wèn)題為 病態(tài)問(wèn)題 ；否則稱為 良態(tài)問(wèn)題 。 ▲ 34 ★ 選用計(jì)算公式和設(shè)計(jì)算法時(shí)的 普遍原則 ： 一．四則運(yùn)算中的穩(wěn)定性問(wèn)題 1） 防止大數(shù)吃小數(shù) 77??????☆ 預(yù)防方法： 先加小數(shù) ，由小到大逐次相加。如 77??????2） 要避免兩個(gè)相近數(shù)相減 △ 相近數(shù)相減會(huì)嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)值的位數(shù) )c os (1 x? 可改為 )2/(s in2 2 x再如仿照前面求二次方程的根的方法處理。 35 3） 避免小數(shù)作除數(shù)和大數(shù)作乘法 這樣可避免誤差放大，因 |||||||||)(| 122121 ExExxxE ??22122121 ||/|}||||||{||)/(| xExExxxE ??() () 二． 提高算法效率 問(wèn)題 1） 盡量減少運(yùn)算次數(shù)： 以兩例說(shuō)明： 128643216842265 xxxxxxxxx ????????例 10 計(jì)算 的值。 0111)( axaxaxaxp nnnnn ????? ?? ?△ 直接計(jì)算需要 n(n+1)/2次乘法和 n次加法。 若將公式變成 遞推公式 ： ?????????????01)(0,1,2,1,sxpnnkaxssasnkkknn?后，再計(jì)算 Pn(x)，只需做 n次乘法和 n次加法。 △ 充分利用遞推公式 ，可提高算法效率。 2） 充分利用耗時(shí)少的運(yùn)算 例如： k+k比 2k， a*a比 a2， b* b/4等節(jié)省時(shí)間。 3） 充分利用存貯空間 1） 節(jié)省原始數(shù)據(jù)的存貯單元； 2） 節(jié)省工作單元。 37 三． 著眼于高質(zhì)量的軟件
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