【正文】 計算方法的內容 1. 第一章 引論： 167。 1—167。 3 2. 第二章 線性方程組的直接法 167。 1—167。 4， 167。 5 167。 6 3. 第三章 插值法與最小二乘法 167。 1—167。 4， 167。 5 167。 7 4. 第四章 數(shù)值積分與微分 167。 1， 167。 2， 167。 5， 167。 3 5. 第五章 常微分方程數(shù)值解法： 167。 1， 167。 2 6. 第六章 逐次逼近法： 167。 1—167。 3 2 第一章 計算方法引論 ▋ 現(xiàn)代科學的三個重要組成部分 : 科學理論 , 科學實驗 , 科學計算 。 ? 僅靠數(shù)學理論的演繹和推導不能解決實際中的數(shù)值問題，只有計算機科學相結合，才能研制出實用的好算法。 ? 好的算法變成數(shù)值軟件以后才可能為社會創(chuàng)造更大的財富。 167。 1. 計算機數(shù)值方法概述 ▋ 計算方法是 數(shù)學與計算機科學 的 交叉學科 。 1） 數(shù)學的發(fā)展極大地促進了計算機科學的發(fā)展： ★ Leibniz發(fā)現(xiàn)二進制編碼； ★ Von Neumann提出現(xiàn)代計算機建構理論； ★ Bohm和 Jacopini為結構化程序設計奠定了基礎。 2） 計算機科學為數(shù)學提供先進手段，并對數(shù)學 發(fā)展產生了重大影響。 ★ 為利用數(shù)學解決實際問題提供了工具； ★ 解決了一些數(shù)學難題，并提出了新的研究課題； ★ 促進了 “ 并行算法 ” 的研究和新一代計算機的發(fā)展。 2 ▋ 計算方法的發(fā)展，產生了大量適合計算機求解的現(xiàn)代數(shù)值方法，成為科學計算的主要方法。 ▋ 現(xiàn)代計算方法的一個 顯著特點 ： 已產生大量實用的 “ 綜合數(shù)學軟件庫 ” ，并逐步 形成了數(shù)值軟件產業(yè)。 例如： ★ Mathematica是綜合數(shù)學軟件包，集符合演算、數(shù)值 計算和圖形演示等； ★ STYR是一個集數(shù)學、統(tǒng)計、應用軟件等大型綜合 數(shù)值軟件庫； ★ Matlab是集數(shù)值計算、圖形演示等一體的綜合數(shù)值 軟件庫。 ▋ 計算方法的研究問題：將常見的數(shù)學模型 轉變 成數(shù)值 問題，提出相應的 數(shù)值方法 ，并設計 數(shù)值算法 ，并利 用 程序 計算數(shù)值結果。 3 ▋ 嚴格來講，需要掌握一定的程序設計方法 4 以計算機求解數(shù)學模型包含三個過程： 總體設計 ：模型的細化； 詳細設計 ：算法的設計； 程序設計 ：利用某種計算機語言實現(xiàn)編寫程序。 ▋ 學習本課程的 基礎知識 ： 微積分、線性代數(shù)、微分方程等基本知識。 了解某種計算機高級語言。 167。 2 數(shù)值問題與數(shù)值算法 ▋ 利用 數(shù)學和計算機知識 解決實際問題 可分為兩步 ： ★ 建立數(shù)學模型 ：需要 利用有關專業(yè)知識和數(shù)學理論 ， 這屬于應用數(shù)學范圍； ★ 提出 數(shù)值問題與數(shù)值方法 ： 將數(shù)學模型 變成 數(shù)值問題 ，進而 研究 該數(shù)值 問題的 數(shù)值方法 ，并設計有效的數(shù)值算法的過程， 這屬于計算方法的范圍。 ▋ 數(shù)值方法 ：將求解 “ 數(shù)值問題 ” 在 “ 計算機上可執(zhí)行 ” 的一系列計算公式。數(shù)值問題的總體稱為計算方法。 ▋ 數(shù)值問題 ：指 “ 輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間函數(shù)關系的 一個 確定而無歧義 的描述 ” 。 5 ★ “計算機上可執(zhí)行 ”的系列計算公式：這一系列公式中的 運算只能是 四則運算 和 邏輯運算 （與、或、非等）。 ? 什么 “ 數(shù)學模型 ” 是 “ 數(shù)值問題 ” ？ 1) 求方程 的根。 02 ??? cbxax★ 輸入 a,b,c，則輸出數(shù)據(jù)是根 x1和 x2，故是 “ 數(shù)值問題 ” 2) 求常微分方程的解 ????????0)0(],0[,32yaxxy★ 因輸入數(shù)據(jù)為 2和 3， x=0和 y=0等，輸出是函數(shù) xxy 32 ?? ，故不是 “ 數(shù)值問題 ” 。 ? 如何 將數(shù)學模型變成 “ 數(shù)值問題 ” 將不是 “ 數(shù)值問題 ” 轉化為 “ 數(shù)值問題 ” 的方法： “ 離散化 ” 。 3 例如， 將求解 的問題變成求 xxy 32 ??)(,),(),( 21 nxyxyxy ? axxx n ????? ?210， 如可 x1， x2， …… ， x100 取為 , , , …… ,10=a 21 數(shù)值方法 ★ 計算公式不一定都是數(shù)值方法。如求 。 37 aacbbx2422,1????類似地， 求根公式 不能在計算機 上直接運行 ? 研究數(shù)值方法的任務有三條： 1）將計算機不能直接計算的運算化成計算機上 可執(zhí)行 的 運算；利用 等價 或 近似等價 的方法轉化； 2） 研究在計算機上