【正文】 *2*1*2*1*1**2*1*1*2*2*1**2*1*1*2*2*1xExExExxxxxExxxxxxExExxExxxErrrrr??????167。 3 誤 差 32 數(shù)值運算的誤差 2. 四則運算中的誤差 (3) 除法： **2*2*12**1*2*11***2*2*12*1*2*11*)(),(39。)(),(39。)()(),(39。)(),(39。)(yxExxfyxExxfyExExxfxExxfyEr ????2*2*12*212121 )(39。 ,139。,),(xxfxfxxxxf ????)()()()()()()()()(1)(*2**1**2*1*2*2*2*1*1*2*22*2*1*1*2*2*1xExExxExxExxExxExxxExxxErrr??????注意分母 167。 3 誤 差 33 浮點基本運算的誤差 1. 浮點數(shù)及其誤差 二進實數(shù)： x = ? 2?? 0.?1?2… ?t… 其中 ?1 ? 0 機器數(shù)： x* = ? 2?? 0.?1?2… ?t 符號 階碼 尾數(shù) 稱 fl(x) = x*為 x的機器規(guī)格化浮點數(shù) ， 簡稱浮點數(shù) . 記 ? = ? 0.?1?2… ?t… ， ?* = ? 0.?1?2… ?t， 則 x = 2? ?， x* = 2? ?* 尾數(shù)的長度由硬件決定 167。 3 誤 差 33 浮點基本運算的誤差 1. 浮點數(shù)及其誤差 記 ? = ? 0.?1?2… ?t… ， ?* = ? 0.?1?2… ?t， 則 x = 2? ?， x* = 2? ?*, 顯然 ， | ? | ? |?* | ? =21, 所以 ， 誤差 （ 舍入 ） ： |E| = | x*– x | = | fl(x) – x | =2?| ? – ?*| ? 2? 2t = 2?–t 相對誤差 (舍入 )： ?tβ || * ?? ? tttβββ ?? ??? || 1* ?? 11**** 222||2||2|| ????????? ttr xEE?????167。 3 誤 差 33 浮點基本運算的誤差 2. 浮點數(shù)的四則運算 記 fl(x)的相對舍入誤差為 則 fl(x) – x = x?x， |?x | ? 2–t+1. 由此得到浮點數(shù)四則運算產(chǎn)生的舍入誤差為： fl(x?y) = (x?y) + (x?y)?1,2=(x?y)(1+?1,2) fl(xy) = (xy)(1+?3) |?x | ? 2–t+1 x=1， 2， 3， 4. xxxflεx?? )()1)(()( 4??? yxyxflfl(x) = x + x?x = x(1+?x) 167。 3 誤 差 33 浮點基本運算的誤差 2. 浮點數(shù)的四則運算 例 311 設(shè) x = 2101? ， y = 211? ， 求 fl(x–y). 解 ： 顯然 t = 110（ 6位 ） ， 101–11=10 t 對階 ： y = 2101? （ 01） ， 右移 2位 x–y =2101( – ) = 2101? 規(guī)格化 ： fl(x–y) = 2100? 167。 3 誤 差 33 浮點基本運算的誤差 2. 浮點數(shù)的四則運算 注 ： 若 x = 2111? ， y = 21? ， 則 111–1=110 ? t， 對階時有 ： y = 2111? （ 111101） ， 右移 6位 ， x?y =2111( ? ) = 2111? = x ——大數(shù)吃小數(shù) 167。 3 誤 差 33 浮點基本運算的誤差 3. 連加和連乘的誤差 例 312 y = x1+x2+x3 的兩種算法 . 解 ： (1) y = (x1+x2)+x3 fl(x1+x2) = (1+?1)(x1+x2)， fl(y)=(1+?2)(fl(x1+x2)+x3) = (1+?2)[(1+?1)(x1+x2)+x3] = ? ])1(1)[( 22132121321 εεεxxxxxxxx ????????考慮舍入誤差的影響 2121)( εεyxxyyyfl ????167。 3 誤 差 33 浮點基本運算的誤差 3. 連加和連乘的誤差 例 312 y = x1+x2+x3 的兩種算法 . 解 ： (1) y = (x1+x2)+x3 (2) y = x1+(x2+x3) 故應(yīng)根據(jù) | x1+x2 |還是 | x2+x3 |較小來選用 (1)或 (2). 2121)( εεyxxyyyfl ????4332)( εεyxxyyyfl ?????167。 3 誤 差 33 浮點基本運算的誤差 3. 連加和連乘的誤差 說明： (1) 連加的和是帶有相對誤差的各數(shù) (xk)(1+?k)的精確和 ， 諸相對誤差限的大小因各數(shù)參加運算的先后次序而異 . (2) 連乘的運算與各數(shù)參加運算的先后次序無關(guān) . 167。 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則 1. 選用穩(wěn)定性好的算法 ， 以控制誤差的傳播 例 9 計算積分 n = 0, 1, 2, … , 7 解： (1) In = 1nIn1： ? (2) ： ? ?? 101 dxexeI xnn]|[1 10 110 ? ??? dxexnexeI xnxnn)( !7)( *0*7 IεδδIε ??nII nn???11 )( !7)(*7*0 IεδδIε ??)( * 11* ?? ???? nnnn IInII167。 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則 2. 四則運算的穩(wěn)定性 (1) 防止大數(shù)吃小數(shù) ——對位中 連加中的順序： 如在 5位機上計算 52492=?105， ai ? = ?105 = 0 應(yīng)先計算 ， 再與 52492相加 . ,5249210001???? ??iii aaS??10001iia167。 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則 2. 四則運算的穩(wěn)定性 (2) 避免相近兩數(shù)相減 有效數(shù)位會嚴(yán)重?fù)p失 如 x = ， y = ， 在 4位機上計算： z = x3 – y3 =()3 – ()3 = ? 101 – ? 101 = ? 10–2， 至多 1位有效數(shù)字 *2*1*2*2*1*1*2*1* )()()(xxxExxExxxEr ????167。 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則 2. 四則運算的穩(wěn)定性 如 x = ， y = ， 在 4位機上計算： z = x3 – y3 =()3 – ()3 = ? 101 – ? 101 = ? 10–2， 至多 1位有效數(shù)字 改為： z = (x – y)(x2 + xy + y2) =? 10–2?(? 101 +? 101+? 101) = ? 10–2， 此時將有 3位有效數(shù)字 167。 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則 2. 四則運算的穩(wěn)定性 注：改變減法的 例子 xxxx ????? 1112s i n2c os12 xx ??nx xnxxxe !1!31!211 32 ?????????????1ar c tanar c tanar c tan???167。 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則 2. 四則運算的穩(wěn)定性 (3) 避免小數(shù)做除數(shù)和大數(shù)做乘數(shù) 2*2*2*1*1*2*2*1)()()()(xxExxExxxE ??)()()( *2*1*1*2*2*1 xExxExxxE ??167。 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則 3. 提高算法效率 (1) 簡化計算步驟 ， 減少運算次數(shù) 如： x255=xx2x4x8x16x32x64x128 又如：計算 pn(x) = anxn+an1xn1+… +a1x+a0 改為： （秦九韶法） ?????????????01)(0,1,2,2,1 sxpnnkaxssasnkkknn?167。 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則 3. 提高算法效率 (2) 利用耗時少的運算 加比乘快 ， 乘比除快 (3) 充分利用存儲空間