【正文】 由柯西 — 黎曼方程 2222 ( ) ( ) 0u u v vx y x y y x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?02222?????? y vx v 調和函數 f u iv??49 已知 u 求 v 它們是某解析函數的實部和虛部 dyxudxyudyyvdxxvdvyxv ?????????????? ?? ?),(可由 (1) 曲線積分 (2) 湊全微分顯式 (3) 不定積分 求出 例 22),( yxyxu ??求 )(),( zfyxv解 : 2,22222??????? y ux u u 是調和函數 。 ?? ?????????? Cx dyy dxdyxudxyuyxv 22),((1) 全微分的積分與路徑無關 ( 0 , ) ( , )( 0 , 0 ) ( 0 , )( , )( 0 , )( , ) 2 2 2 2 2 2y x yyxyyv x y y dx x dy y dx x dy Cy dx C x y C? ? ? ? ?? ? ? ????共軛調和函數 50 (2) )2(22),( xydx d yy d xyxdv ??? Cxyv ?? 2(3) )(2)(2),( xxyxx dyyxv ?? ???? ?視 x 為參量，對 y 積分 yyuxyxv 2)(39。2 ????????? ?求 滿足的方程 )(x? Cx ?)(?CizCiiyxCix y iyxzf ????????? 2222 )(2)()(為什么能這樣解？ 51 小結 ，必要條件是柯西－黎曼方程。充分條件是函數的實部與虛部的導數存在，連續(xù)并滿足柯西－黎曼方程。 。 xvyuyvxu???????????作業(yè)： P16， 1 2：（ 1），（ 2），（ 4），（ 5） 52 命題：作變量變換 ， 后，則復變函數 2zzx ???2zzyi???( , ) ( , ) ( , )u x y iv x y f z z ???若函數在 G內解析，則它不顯含 ，即 , zz?成為 的函數，試證明， z? ( , )0f z zz??? ??證明： ( , ) ( ) ( )1 02f z z u i v x u i v yz x z y zu v v uix y x y?? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???結論：解析函數不顯含 是直接由 CR方程推導的，也是解析函數的必要條件。 z?53 例：已知解析函數實部 求虛部 ( ) ( sin c os )xzf z e y i y iC ie iC? ? ? ? ? ?對 y積分 si nxu e y?解： 2222 0uuxy??????u 為調和函數 由 CR條件 sinco sxxuveyxyuveyyx????????? ? ???sin ( ) c o s ( )xxv e y d y g x e y g x? ? ? ? ??c os ( ) c osxxe y g x e y??? ()g x C?( ) ( , ) ( , )2 2 2 2z z z z z z z zf z u ivii? ? ? ?? ? ? ??? 包含 的項自動抵消 z?? ? = , = 0( , ) ( , ) ( )x z yu x y iv x y f z??54 平面標量場 恒定場 ：場與時間無關，如靜電場 平面場 ：若所研究的場在空間某方向上是均勻的，從而只需要在垂直于該方向的平面上研究它，這樣的場稱為平面場 平面靜電場 電勢滿足二維拉普拉斯方程 ( ) ( , ) ( , )f z u x y i v x y?? 解析函數為平面靜電場的復勢 ( , )u x y若設 為電勢 ( , )u x y ? co n st( , )v x y ? co n st等勢線族 電場線族 55 2 2 2( ) ( ) 2f z z x y i x y? ? ? ? 2( ) 1 /f z z?( , )u x y 勢，等勢線 ( , )v x y 通量函數 nu d y u d xE E n u nx d s y d s??? ? ? ? ? ? ? ???ABAB的切線方向余弦 ( , )dx dyds ds法線方向余弦 ( , )d y d xd s d s?B B B BnA A A Au u v vN E d s d y d x d y d x d vx y y x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?56 多值函數 根式函數定義：給定一個自變量 z，凡是滿足等式 w2=z的 w值，就是根式函數 ?z的函數值，或者說是 z的平方根。 多值性 自變量 z： ? 根式函數 ?z可取兩個值 w z a?? 采用極坐標 iwe??? iz a re ???則 0 , 1 , 2 ,2r n n?? ? ?? ? ? ? ? ?/21( / 2 ) / 22()()iiiw z r ew z r e r e?? ? ???? ? ?相對于 0 , 2 ,n ??相對于 1 , 3 ,n ? ? ?57 支點 ：對于多值函數 w=f(z)，若 z繞某點一周，函數值 w不復原，而在該點各單值分支函數值相同。 z=a C1 w=0 Z平面 W平面 閉合曲線不包含 a點 58 z=a C2 Z平面 W平面 閉合曲線包含 a點 1 0 . 500 . 511 0 . 500 . 511 0 . 500 . 51 z1 / 2 1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81z黎曼面 ：多值函數的每兩個相鄰單值分支的 z平面在割線處連接起來 —— 構成的“多葉平面”就是 黎曼面 59 函數 的黎曼面 zw ? 在 z平面上割破 (連接 z=0和 z=∞的 )負實軸，可以得到 的兩個不同的完全分離的單值函數。 za r g20ziw z e?a r g 221ziw z e???設想兩個 z平面相重迭 ,在 割破處交叉 粘合：黎曼面 60 其它多值函數 l n l n | | a r gz z i z??對數函數： 反三角函數： 221a r c si n l n( 1 )1a r c c os l n( 1)z i z ziz z zi? ? ?? ? ?a rc s inwz? 2 2 1 0i w iwe iz e? ? ?221[ 2 ( 2 ) 4 ]2 1iwe iz iziz z? ? ? ?? ? ?s in2iw iweezwi????21 l n ( 1 )w iz zi? ? ?問：反函數中的根式前取“ ”號行不行？