參數估計在建模中的應用上-資料下載頁
2025-05-12 13:35本頁面
【正文】 總體 N(?,? 2)， θ=(?,? 2)是二維參數，設有樣本 x1, x2 , …, xn，則似然函數及其對數分別為 22212 / 2 2212 2 221()1( , ) e xp221( 2 ) e xp ( )21l n ( , ) ( ) l n l n( 2 )2 2 2niinniiniixLxnnLx????????? ? ? ???????? ??? ??? ????? ? ? ?????? ? ? ? ? ???? 將 lnL(?,? 2) 分別關于兩個分量求偏導并令其為 0, 即得到似然方程組 221l n ( , ) 1 ( ) 0niiL x?? ??? ?? ? ? ?? ?222 4 21l n ( , ) 1 ( ) 022niiLn x?? ?? ? ??? ? ? ? ?? ? 解此方程組，可得 ? 的極大似然估計為 代入得出 ? 2的極大似然估計 利用二階導函數矩陣的非正定性可以說明上述估計使得似然函數取極大值。 11? niixxn?????2 2 21*1? ()niix x sn??? ? ?? 雖然求導函數是求極大似然估計最常用的方法，但并不是在所有場合求導都是有效的。 例 設 x1, x2 , …, xn 是來自均勻總體 U(0, ? )的樣本，試求 ? 的極大似然估計。 解 似然函數 要使 L(? )達到最大，首先一點是指示函數取值應該為 1，其次是 1/? n盡可能大。由于1/? n是 ?的單調減函數，所以 ? 的取值應盡可能小，但指示函數為 1決定了 ? 不能小于x(n)，由此給出 ?的極大似然估計： 。 (){ 0 } { }111()innxxnniL I I????? ? ? ?????()? nx? ? 極大似然估計有一個簡單而有用的性質：如果 是 ? 的極大似然估計，則對任一函數 g(? )，其極大似然估計為 。該性質稱為極大似然估計的 不變性 ， 從而使一些復雜結構的參數的極大似然估計的獲得變得容易了。 ???()
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