參數估計在建模中的應用上(編輯修改稿)
2025-06-17 13:35 本頁面
【文章內容簡介】 ； ? 用樣本方差估計總體方差 Var(X)， 即 ? 用樣本的 p 分位數估計總體的 p 分位數， ? 用樣本中位數估計總體中位數 。 ? ()E X x?2?V a r ( ) nXs?例 對某型號的 20輛汽車記錄其每加侖汽油的行駛里程 (km)，觀測數據如下： 經計算有 由此給出總體均值、方差和中位數的估計分別為 : , 和 。 矩估計法的實質是用經驗分布函數去替換總體分布，其理論基礎是 格里紋科定理 。 2 .6 95 , 0. 91 85 , 28 .6nx s m? ? ?二、概率函數 P(x,θ)已知時未知參數的矩估計法 設總體具有已知的概率函數 P(x, ?1, …, ?k)， x1, x2 , …, xn 是樣本，假定總體的 k階原點矩 ?k存在，若 ?1, …, ?k 能夠表示成 ?1, …, ?k 的函數 ?j = ?j(?1, …,?k)，則可給出諸 ?j 的矩估計法為 其中 1? ( , , ) , 1 , , ,jj ka a j k?? ??11 n jjiiaxn ?? ?例 設總體服從指數分布，由于 EX=1/?， 即 ? =1/ EX，故 ? 的矩法估計為 另外，由于 Var(X)=1/?2，其反函數為 因此，從替換原理來看， ?的矩法估計也可取為 s 為樣本標準差。這說明矩估計可能是不唯一的，這是矩估計法的一個缺點，此時通常應該盡量采用 低階矩 給出未知參數的估計。 ? 1/ x? ?1 / V a r ( )X? ?1? 1/ s? ?例 x1, x2, …, xn是來自 (a,b)上的均勻分布U(a,b)的樣本 ， a與 b均是未知參數 ， 這里k=2， 由于 不難推出 由此即可得到 a, b的矩估計為： 2(), V a r ( ) ,2 1 2a b b aE X X????3 V a r ( ) , 3 V a r ( ) ,a E X X b E X X? ? ? ??? 3 , 3a x s b x s? ? ? ?極大似然估計 定義 設總體 X屬離散型，其分布律為 p(x。? )， ?是參數 ? 可能取值的參數空間， x1, x2 , …, xn 是樣本，將 樣本的聯合分布律 看成 ? 的函數，用 L(? 。 x1, x2, …, xn) 表示，簡記為 L(? )，
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