第七章參數(shù)估計(編輯修改稿)
2024-08-28 12:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ????? ? ? ?? ? ?nn n ni i ii i iiL f x x xx i n? ? ? ?11 l n2niinlnL ln x? ? ??? ? ? ?? ?111 l n 0 2 2niid l n L n xd??? ? ?? ? ? ??令 1 lnniin x? ??? ?即 ： ? ?1 0 1 0 0 Xxxfx ?? ??? ????????設(shè) 總 體 的 密 度 為 ：為 未 知 參 數(shù) ，其 他:M L E微 分 法 求 解? ? ? ?? ? ? ?1211211.( ) 。 , , , , 。 。 = , , , , , 。 。 )nniinniiL L x x x f xlnL lnL x x x ln f x? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ???寫 出 似 然 函 數(shù)（ 有 時 需 要 寫 出 對 數(shù) 似 然 函 數(shù)（ ）2. ( ) 0l n ( ) 0d Ldd Ld??????寫 出 似 然 方 程 ( 有 時 需 要 寫 出 對 數(shù) 似 然 方 程 )3. ? 1n解 （ 對 數(shù) ） 似 然 方 程 ， 得 = h ( x , , x ) 。4. M L E ?? 1n得 的 為 = h ( X , , X ) .? ?? ?? ?11 4 , 0 , , 0 , , , , 例 ： 設(shè) 總 體 的 概 率 密 度 為 ： 其 中 是 未 知其 它常 量 為 的 樣 本 ， 求 的 矩 估 計 與 極 大 似 然 估 計 。?? ?? ? ? ?????? ???????xnexX f xX X X ? ? 1 矩估計解：? ? ? ?1 E X x f x d x? ?????? ?? ? ? ?222 1 xE X x e d x???? ??? ???? ?1222121 , 1B ( ) ,niiAXXXn??? ? ??? ?? ????? ?????? ?從 而 而? ?2 DX? ?2121??1 (), 1 ()niiniiXXnX X Xn????????????? ? ? ?????的 矩 估 計 量 為????? ?1 xx e d x??? ??? ??? ?? ?2 2 xx e d x????? ??? ???? ? 2222? ?? ?? ? ?? ? ? ?2 2 2E X E X ?? ? ?? ? 2 極大似然估計? ? ? ?11, in xiLe ???? ? ???? ??此 處 不 能 通 過 求 偏 導(dǎo) 數(shù) 獲 得 的 極 大 似 然 估 計 量 ，? ?? ?? ?21l n , 10l n ,0niiL nxL n????? ????????? ? ? ???????? ? ? ?? ???無 解那 么 對 數(shù) 似 然 方 程 為－? ? ? ?111l n , l n1 l n , 0, , 1 , 2 , 。niiniiiL n xnn x x i n? ? ? ???? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ???對 數(shù) 似 然 函 數(shù) 為 ：＝? ?111, 0 , , 1 , 2 , 。niixin e x i n????? ????? ? ?? ? 2 極大似然估計? ? 111,niinxnLeL???? ? ?????? ??另 一 方 面 ， 是 的 增 函 數(shù) ，取 到 最 大 值 時 ， 達 到 最 大 。? ?12L ( ) 0 , , i 1 , 2 , , n, , , ,(1)需即 的 取 值 范 圍 最 大 不 超 過??????inxx m in x x x? ? ? ?211 0niid l n L n xd? ??? ? ?? ? ? ? ??令? ? ? ?121 , , , ,nX m i n X X X????故? ?1? XX?? ??? ? ? ?11 niilnL nln x? ? ???? ? ? ??又? ?125 0 , 0 X , , , nXXX????例 ： 設(shè) 總 體 服 從 上 的 均 勻 分 布 ， 未 知 ， 試 由 樣 本 求 出 的 極 大 似 然 估 計 量 和 矩 估 計 量 。 ? ?1 極解 ： 大 似 然 估 計 ? ?1 0。0 xX f x???? ???? ???因 的概率密度為：其它? ? 121 0 , , ,0 nn x x xL ????? ???? ???故參數(shù) 的似然函數(shù)為：其它? ?ln ?0,M L EdL nd? ??? ? ? ?由 于 不 能 用 微 分 法 求? ? 12n l n , 0 , , ,ln 0 , 故 對 數(shù) 似 然 函 數(shù) 為 ： 其 它??? ? ? ??? ??nx x xL? ? 121 0 , , ,0 參 數(shù) 的 似 然 函 數(shù) 為 ：其 它????? ???? ???nn x x xL? :M L E?從 義 發(fā)以 下 定 出 求? ? ? ? ? ?12) 0 , 0 , 1 , 2 , ..., , , , .innnx i nx x m ax x x x? ? ??? ? ? ?? ? ?因 為 L( 需 故 此 時 的 取 值范 圍 為 0 ， 其 中? ? ? ?? ?1又 對 的 是 減 函 數(shù) ， 越 小 ， 越 大 ，故 取 為 時 ， 最 大 ；? ? ? ????? nnnL x LxL? ? 0 1 2E X x d x? ?????由? ?2 矩 估 計? ?? ? ? ?12? , , , .所 以 的 極 大 似 然 估 計 量 為其 中?? ??M L E nnnXX m a x X X X? 2 X???, 0 ,2 1 2 3例 6 ： 設(shè) 總 體 的 概 率 分 布 率 為 ： 其 中 未 知2 1 3現(xiàn) 得 到 樣 本 觀 測 值 2 ， 3 ， 2 ， 1 ， 3 ， 求 的 矩 估 計 值 與 最 大 似 然 估 計 值 。?? ? ?????????X ? ? 1 矩 估 計解 ：? ? kkE X x p? ?12所 以 ＝ （ 3 － ） ,5??3 5 2???2
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