【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 計(jì)量 作為 ?的估計(jì) ， 稱(chēng) 為未知參數(shù) ?的點(diǎn)估計(jì)量 2. 用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值 ? 例如：用樣本均值直接 作為 總體均值的估 ? 例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接 作為 總體均值之差的估計(jì) 3. 沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體未知參數(shù)程度的信息 ),( 21 nXXX ?X),(? 21 nXXXT ?????5 50 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 點(diǎn)估計(jì)的常用方法 （一）矩法估計(jì) 用總體矩對(duì)應(yīng)的樣本矩作為其點(diǎn)估計(jì)量。 （二）極大似然估計(jì) 5 51 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn) 無(wú)偏性 有效性 一致性 均方誤差準(zhǔn)則評(píng)價(jià)點(diǎn)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)5 52 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 無(wú)偏性 (unbiasedness) P( ) B A 無(wú)偏 有偏 ?????設(shè) 是未知參數(shù) ?的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量，若 滿足 則稱(chēng) 是 ?的無(wú)偏估計(jì)量，否則稱(chēng)為有偏估計(jì)量 ),(? 21 nXXXT ????? ?? ??E ??5 53 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 有效性 (efficiency) 有效性： 對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì) 量 ， 有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效 A B 的抽樣分布 的抽樣分布 1??2??P( ) ?????5 54 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 一致性 (consistency) 一致性： 隨著樣本容量的增大 ， 估計(jì)量的 值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù) A B 較小的樣本容量 較大的樣本容量 P( ) ?????5 55 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 均方誤差準(zhǔn)則 （ Mean square error） 是參數(shù) ?的兩個(gè)估計(jì)量，若對(duì) ?的一切可能值， 設(shè) 且嚴(yán)格不等式至少對(duì)參數(shù) ?的某個(gè)可能值成立， 則稱(chēng)在均方誤 優(yōu)于 1?? 2??， 2221 )?()?( ???? ??? EE差意義下 1?? 2??注：均方誤差準(zhǔn)則計(jì)量取值“集中”于參數(shù)真值得的程度 5 56 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 1. 總體均值的區(qū)間估計(jì) 2. 總體比例的區(qū)間估計(jì) 3. 總體方差的區(qū)間估計(jì) 5 57 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 區(qū)間估計(jì) (interval estimate) 1. 在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上 ， 給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍 ， 該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差而得到的 2. 根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量 ? 比如 ， 某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在 75～ 85之間 ， 置信水平是 95% 樣本統(tǒng)計(jì)量 (點(diǎn)估計(jì) ) 置信區(qū)間 置信下限 置信上限 5 58 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 置信區(qū)間 (confidence interval) 1. 設(shè) ?是未知參數(shù)， 是來(lái)自總體的 樣本，構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ， ，對(duì)于給定的 ? (0 ? 1), 若 、 滿足： ),( 21 nXXX ?),(? 2111 nXXXT ???),(? 2122 nXXXT ???1?? 2?????? ???? 1}??{ 21P則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間 ]?,?[21 ?? 是參數(shù) ?置信水平為 (1 ?)的置信區(qū)間， (1 ?)稱(chēng)為 ]?,?[ 21 ?? 的置信系數(shù)， 1?? 2??、 稱(chēng)為置信限。 5 59 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1. 將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱(chēng)為置信水平 .（樣本的估計(jì)值接近于總體參數(shù)的概率） 2. 表示為 (1 ?) ? ? ? 為是總體參數(shù) 未在 區(qū)間內(nèi)的比例 3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% ? 相應(yīng)的 ? 為 ， ， 置信水平 5 60 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 2. 區(qū)間寬度為隨機(jī)變量，置信區(qū)間為隨機(jī)區(qū)間 3. 置信水平描述了估計(jì)的可靠度，區(qū)間寬度描述 了估計(jì)的精度 4. 用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值 ? 我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè) 置信區(qū)間與置信水平 5 61 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 置信區(qū)間與置信水平 均值的抽樣分布 (1 ?) % 區(qū)間包含了 ? ? % 的區(qū)間未包含 ? ?? ?x1 – ? ? /2 ? /2 x?x5 62 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 影響區(qū)間寬度的因素 1. 總體數(shù)據(jù)的離散程度， 用 ? 來(lái)測(cè)度 2. 樣本容量， 3. 置信水平 (1 ?)，影響 z 的大小 nx?? ?5 63 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體均值區(qū)間估計(jì)的圖示 ? x 95% 的樣本 ? ?x ? +?x 99% 的樣本 ? ?x ? + 90%的樣本 ? ?x ? +?x x?xzx ?? ? 2??5 64 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計(jì) 5 65 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體且 ?２ 已知或非正態(tài)總體、 ?２ 未知、大樣本 ) 1. 假定條件 ? 總體服從正態(tài)分布 ,且方差 (?２ ) 已 知 ? 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似 (n ? 30) 2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z 3. 總體均值 ? 在 1? 置信水平下的 置信區(qū)間為 )1,0(~ NnXz ? ???)(22 未知或 ?? ?? nszXnzX ??5 66 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 【 例 】 保險(xiǎn)公司從投保人中隨機(jī)抽取 36人 ,計(jì)算得 36人的平均年齡 歲 ， 已知投保人平均年齡近似服從正態(tài)分布 ， 標(biāo)準(zhǔn)差為 ， 試求全體投保人平均年齡的置信水平為99%的置信區(qū)間 ?X解： 已知 n=36, 1? = 99%， z?/2=。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： 總體均值 ?在 1?置信水平下的置信區(qū)間為 ( ), ????? nzx ??故全體投保人平均年齡的置信水平為 99%的置信區(qū)間為 [， ] 5 67 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 【 例 】 一家食品公司 ， 每天大約生產(chǎn)袋裝食品若干 ， 按規(guī)定每袋的重量應(yīng)為 100g。 為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè) ， 該企業(yè)質(zhì)檢部門(mén)采用抽樣技術(shù) ， 每天抽取一定數(shù)量的食品 ， 以分析每袋重量是否符合質(zhì)量要求 。 現(xiàn)從某一天生產(chǎn)的一批食品 8000袋中隨機(jī)抽取了 25袋 （ 不重復(fù)抽樣 ） ， 測(cè)得它們的重量如下表所示 ， 已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布 ， 且總體方差為 100g。 試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間 ， 置信水平為 95％ 。 25袋食品的重量 5 68 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 解： 已知 Ｘ ~N(?， 102)， n=25, 1? = 95%， z?/2=。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： 總體均值 ?在 1?置信水平下的置信區(qū)間為 ( ),18000258000251012?????????NnNnzx??該食品平均重量的置信區(qū)間為 ~ ?x注：在不重復(fù)抽樣條件下，置信區(qū)間取 12 ???NnNnzx ??5 69 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 【 例 】 一家保險(xiǎn)公司收集到由 36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本 ， 得到每個(gè)投保人的年齡 (周歲 )數(shù)據(jù)如下表 。 試建立投保人年齡 90%的置信區(qū)間 36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù) 23 35 39 27 36 44 36 42 46 43 31 33 42 53 45 54 47 24 34 28 39 36 44 40 39 49 38 34 48 50 34 39 45 48 45 32 5 70 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 解： 已知 n=36, 1? = 90%， z?/2=。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值 ?在 1? 置信水平下的置信區(qū)間為 ( ),362???????nszx?投保人平均年齡的置信區(qū)間為 ~ ?x ?s5 71 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體