【導(dǎo)讀】轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范。R），另一變量a的范。圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x<45?a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成。說明：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1?a則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1,1，1]內(nèi)單調(diào)遞減。，1]上是減函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)k，使不等式。sin2x≤1對(duì)于任意x∈R恒成立，1適合題設(shè)條件。例3．設(shè)直線l過點(diǎn)P（0，3），和橢圓xy22941??順次交于A、B兩點(diǎn)，試求APPB的。，但從此后卻一籌莫展,問題的。求變量關(guān)于某個(gè)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.方程，消去y得出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。例4．已知長(zhǎng)方形四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，

　　

【正文】 代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn) B到直線 l 的距離為 2 ”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解 . 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路： 解 ：設(shè)點(diǎn) )2,( 2xxM ? 為雙曲線 C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn) M到直線 l 的距離為： 212222?? ??? k kxkx ? ?10 ??k ??? 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于 x 的方程 . 由于 10 ??k ，所以 kxxx ??? 22 ，從而有 .2222 22 kxkxkxkx ???????? 于是關(guān)于 x 的方程 ??? ? )1(222 22 ?????? kkxkx ? ? ???????????????02)1(2,)2)1(2(222222kxkkkxkkx ? ? ? ? ? ? ???????????????????.02)1(2,022)1(22)1(221222222kxkkkkxkkkxk 由 10 ??k 可知： 方程 ? ? ? ? ? ? 022)1(22)1(221 22222 ????????? kkxkkkxk 的二根同正，故 02)1(2 2 ???? kxkk 恒成立，于是 ??? 等價(jià)于 把直 線 l’的方程代入雙曲線方程，消去 y，令判別式 0?? 直線 l’在 l 的上方且到直線 l 的距離為 2 轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題 求解 問題 關(guān)于 x 的方程 ? ?10212222 ??????? kkkxkx 有唯一解 第 30－ 34 課時(shí) ： 參數(shù)取值問題的題型與方法 146 ? ? ? ? ? ? 022)1(22)1(221 22222 ????????? kkxkkkxk . 由如上關(guān)于 x 的方程有唯一解，得其判別式 0?? ，就可解得 552?k. 說明 ：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 . 3．分析與解 ：從不等式分析入手，易知首先需要判斷 f(x)的奇偶性和單調(diào)性，不難證明，在 R 上 f(x)是奇函數(shù)和增函數(shù)，由此解出 cos2? +2msin ?sin 2m+2. 令 t=sin? ,命題轉(zhuǎn)化為不等式 t2? 2mt+(2m+1)0,t∈ [0,1](*) 恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。 接下來，設(shè) g(t)=t2? 2mt+(2m+1),按對(duì)稱軸 t=m與區(qū)間 [0， 1]的位置關(guān)系，分類使 g(t)min0,綜合求得 m 12?. 本題也可以用函數(shù)思想處理，將（ *）化為 2m(1? t)? (t2+1),t∈ [0,1] ⑴當(dāng) t=1 時(shí)， m∈ R。 ⑵當(dāng) 0≤ t1 時(shí)， 2mh(t)=2? [(1? t)+ t?12 ],由函數(shù) F（ u)=u+u2 在（ ? 1， 1]上是減函數(shù)，易知當(dāng) t=0 時(shí)， h(x)max=? 1, ∴ m 12? ,綜合（ 1）、（ 2）知 m 21? 。 說明 ：本題涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的條件極值、不等式等知識(shí)，以及用函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法解題，是綜合性較強(qiáng)的一道好題。 4．分析 ：方程可轉(zhuǎn)化成 lg(x2+20x)=lg(8x? 6a? 3),從而得 x2+20x=8x? 6a? 30,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù) y= x2+20x及一次函數(shù) y=8x? 6a? 3，則只需考慮這兩個(gè) 函數(shù)的圖象在 x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。 解 ：令 y1= x2+20x=（ x+10） 2? 100,y2=8x? 6a? 3,則如圖所示， y1的圖象為一個(gè)定拋物線， y2 的圖象是一條斜率為定值 8，而截距不定的直線，要使 y1和 y2在 x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于 l1 和 l2之間。（包括 l1但不包括 l2) 當(dāng)直線為 l1 時(shí)，直線過點(diǎn)（ ? 20， 0）此時(shí)縱截距為? 6a? 3=160,a= 6163? 。 當(dāng)直線為 l2時(shí)，直線過點(diǎn)（ 0， 0），縱截距為 ? 6a? 3=0，a=21? ∴ a 的范圍為 [ 6163? ，21?）。 5．解： （ 1）當(dāng) 2k? 時(shí)，方程化為 0y? ，表示 x 軸。 （ 2）當(dāng) 6k? 時(shí)，方程化為 0x? ，表示 y 軸 （ 3）當(dāng) 2,6k? 時(shí)，方程為標(biāo)準(zhǔn)形式： 22 1(*)62xykk???? ① 當(dāng) 6 2 4k k k? ? ? ? ?時(shí)，方程化為 222xy??表示以原點(diǎn)為圓心， 2 為半徑的圓。 x y l1 l2 l 20 o 第 30－ 34 課時(shí) ： 參數(shù)取值問題的題型與方法 147 ② 當(dāng) 2k? 時(shí)，方程（ *）表示焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線，焦點(diǎn)為 ( 8 2 ,0)k?? ③ 當(dāng) 24k?? 時(shí)，方程（ *）表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，焦點(diǎn)為 ( 8 2 ,0)k?? ④ 當(dāng) 46k?? 時(shí)，方程（ *）表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，焦點(diǎn)為 (0, 2 8)k?? ⑤ 當(dāng) 6k? 時(shí)，方程（ *）表示焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線，焦點(diǎn)為 (0, 2 8)k?? 6．解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是 x、 y 臺(tái)，總利潤是 P，則 P＝ 6x+8y 由題意： 30x+20y ≤ 300 5x+10y≤ 110 x≥ 0， y≥ 0 x、 y 均為整數(shù) 畫圖知直線 y＝－ 3/4x＋ 1/8P 過 M（ 4,9）時(shí)，縱截距最大，這時(shí) P 也取最大值 Pmax＝ 6 4＋ 8 9＝ 96（百元） 故：當(dāng)月供應(yīng)量為：空調(diào)機(jī) 4 臺(tái)，洗衣機(jī) 9 臺(tái)時(shí)，可獲得最大利潤 9600 元。 7．解：設(shè)每盒盒飯需要面食 x（百克），米食 y（百克） 則目標(biāo)函數(shù)為 S＝ + 且 x， y 滿足 ： 6x+3y≥ 8 4x+7y≥ 10 x≥ 0 ， y≥ 0 畫圖可知，直線 y＝－ 5/4x+5/2S 過 A（ 13/15,14/15）時(shí)，縱截距 5/2S 最小，即 S 最小。 故每盒盒飯為 13/15 百克，米食 14/15 百克時(shí)既科學(xué)又費(fèi)用最少。 8．解答從略，答案是： 值班人員的眼睛距表盤距離為 ))(( ???? nmnx （米）。本題材料背景 :儀表及工業(yè)電視，是現(xiàn)代化企業(yè)的眼睛，它總是全神貫注地注視著生產(chǎn)內(nèi)部過程，并忠實(shí)地把各種指標(biāo)顯示在值班人員的面前。這就要在值班人員和儀表及工業(yè)電視之間，建立某種緊密的聯(lián)系，聯(lián)系的紐帶是值班人員的眼睛！因此只有在最佳位置上安排值班人員的座位，才能避免盲目性。 ：假設(shè)圍欄的邊長(zhǎng)為 x米和玉米，于是由題設(shè)可知 x＞ 0， y＞ 0，且 xy＝ 144 （ 1） 2x+y≤ 50 （ 2） 雙 曲 線 xy ＝ 144 在 第 一 象 線 內(nèi) 的 一 支 與 直 線 2x ＋ y ＝ 50 的 交 點(diǎn) 是 A（ 33725,2 33725 ?? ）， B（ 33725,2 33725 ?? ），滿足條件（ 1）、（ 2）的解集是在雙曲線 xy＝ 144（ 2 337252 33725 ???? x ），這一段上的點(diǎn)集（即如圖中雙曲線 A、B 之間的一段），當(dāng)過雙曲線 A、 B 之間上的任一點(diǎn)作一點(diǎn)作直線 2x＋ y＝ k（ k＞ 0）就是相應(yīng)需用鐵絲網(wǎng)的長(zhǎng)度，直線 2x+y=k（ k＞ 0）與雙曲線 xy＝ 144 相切。這時(shí)，相應(yīng)的 k 值最第 30－ 34 課時(shí) ： 參數(shù)取值問題的題型與方法 148 小，消去 y得 x的二次方程： 01442 2 ??? kxx ，從 △ ＝ 0得 0144242 ????k ， 即k＝ 24 2 （米）所需用鐵絲網(wǎng)的最短長(zhǎng)度為 24 2 米。從圖中知，利用已有墻的最大長(zhǎng)度由點(diǎn) A的縱坐標(biāo)給出，即 33725? 米，利用墻的最短長(zhǎng)度由 B 縱坐標(biāo)給出，即 33725?米。