【導(dǎo)讀】賴關(guān)系，是微積分的主要研究對象。常用表示方法；理解函數(shù)的幾種基本特性；理解函數(shù)的反函數(shù)及它們的圖形之間的關(guān)系；掌握函數(shù)的復(fù)合和分解；熟練掌握基本初等函數(shù)及其圖形的性態(tài)；知道什么是初等函數(shù)；知道幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)；能根據(jù)比較簡單的實際問題建立其中蘊含的函數(shù)關(guān)系。，要求達到"領(lǐng)會"層次。對給定的解析式，會求出由它所確定的函數(shù)的自然定義域。知道函數(shù)的三種表示法――解析法，表格法，圖像法，并知道它們各自的特點。否具有這些特性。函數(shù)是應(yīng)用最為廣泛的函數(shù)。間斷點；知道初等函數(shù)的連續(xù)性；清楚閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。會判斷兩個無窮小量的階的高低或是否等階。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分是微分學(xué)中兩個重要的、密切相關(guān)的概念。熟知函數(shù)在一定的導(dǎo)數(shù)和左、右導(dǎo)數(shù)的定義及它們之間的關(guān)系。知道函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會求曲線在一點的切線方程。知道導(dǎo)數(shù)作為變化率在物理中可以表示作直線運動的物體的速度。

　　

【正文】 果。 今后，我們用 表示函數(shù) 表示 。 （解一）：先寫出復(fù)合過程， （解二）直接用鏈導(dǎo)公式求導(dǎo) （解一）先寫出復(fù)合過程 （解二）直接用鏈導(dǎo)公式求導(dǎo) 如果復(fù)合函數(shù)由三個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成，鏈導(dǎo)公式可以推廣為： （解一）先寫出復(fù)合過程 （解二）直接用鏈導(dǎo)公式 解：直接用鏈導(dǎo)公式 當函數(shù) y=f(x)中同時既有四則運算又有復(fù)合運算，而且四則運算在外層時，應(yīng)先進行四則運算。 例十四： 求： 解：形為 的函數(shù)叫冪指函數(shù)，它可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)為下： (2)先取對數(shù)后求導(dǎo)數(shù)的方法，故稱對數(shù)求導(dǎo)法。 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，有下面結(jié)果： 解：先將上式取對數(shù)，然后化簡得： 然后將上兩邊對 x 求導(dǎo)數(shù) 將上式兩邊都對 X 求導(dǎo)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù) 定義： ，叫 y 的二階導(dǎo)數(shù)； ，叫 y 的三階導(dǎo)數(shù)； ,叫 y 的四階導(dǎo)數(shù)； ，叫 y 的五階導(dǎo)數(shù)； …… ； , 叫 y 的 n 階導(dǎo)數(shù)。 要求學(xué)員會用高階導(dǎo)數(shù)的定 義求一些簡單情形下的 n 階導(dǎo)數(shù)。 例一： ,求 y 的各階導(dǎo)數(shù) ，因為次數(shù)最高為 10，所以所有高于 10 的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都為零。 下面第五節(jié) 上面的結(jié)果，可以歸納為下面的分式： 例七 填空 ① ____________ ② ____________ ③ _________ ④ _________ ⑤ ________ 解： ① 7!, ② 0， ③ 、 5!、 ， ④ ， ⑤ 例八：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 例九： ① 已知函數(shù) y=f(x)的八階導(dǎo)數(shù) ，求它的十階導(dǎo)數(shù) 例十：驗算 ，滿足方程： （五）微分 （ 1）在介紹導(dǎo)數(shù)的定義時，我們把符號 △X 叫 X 的增加量，當 △X→0 時，就說 △X是 X 的微小增加量，這時也可將 △X 記作 dx,而 dx 是 X 的微小增加量。 下面我們把 dx 叫函數(shù) y=f(x)的微分，記作 dy，即 y 的微分等于 y 的導(dǎo)數(shù)乘 X 的微小增加量 dx，即： ， dx 也叫 x 的微分 由微分定義知道： ∴ y 的導(dǎo)數(shù) 也可以理解為 y 的微分 dy 與 x 的微分 dx 的商，因此也叫微商。 同樣地，我們將 y 在 x 處的導(dǎo)數(shù) 乘以 X 的微分 dx 叫 函數(shù) y 在點 處的微分，記作： （ 2）近似計算公式 可以證明， y 的增加量 △y＝ yy0 與 y 在點 處的微分 ，當 △x→0 時，近似相等，即：｜ △x｜很小時， 或 ｜ △x｜很小時， 即： |△x |很小時， 我們用｜ △x｜＜＜ 1 很小時，表示 △X 很小 則有：｜ △x｜＜＜ 1 時， 或：｜ △x｜＜＜ 1 時， ∴ ｜ △x｜＜＜ 1 時， 特別情形： 時，有： ｜ △x｜＜＜ 1 時， 例一 證明：｜ x｜＜＜ 1 時， 證：令 ∴ ∴ |△x |＜＜ 1， 將 △x 用文字 X 替換得 ｜ x｜＜＜ 1 時， 例二 證明 |x|＜＜ 1 時， 當 |△x|＜＜ 1 時， ∴ |△x|＜＜ 1 時， 用 X 替代 △X 得： |x|＜＜ 1 時， 例三：證明： |x|＜＜ 1 時， 例四：證明 上面 的結(jié)果總結(jié)一下，在近似計算中可以作為公式使用。 下面是第六節(jié) 典型例題： 例二：填空 ① ≈ ② 解： 例三：求 的近似值。 x 很小的時候， sinx=x， x 的單位：弧度 注意：在近似計算公式 Sin≈x中， X 的角度必須用弧度。 例四：求 的近似值 經(jīng)濟名詞介紹： （ 1）在經(jīng)濟學(xué)當中常用： C 表示產(chǎn)品的總成本； R 表示產(chǎn)品的收入； L 表示產(chǎn)品的利潤； Q 或 X 表示產(chǎn)量； D 表示產(chǎn)品的需求量或銷售量，在產(chǎn)銷平衡時 D 和 Q 相同，可不加區(qū)別； P 表示產(chǎn)品每單位的售價， 商品價格，它們的關(guān)系為： L＝ R－ C， R＝ PQ。 （ 2）微積分學(xué)的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中叫邊際，邊際就是導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)就是邊際。 若成本是產(chǎn)量的函數(shù) C=C(Q)，則收入對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù) 叫邊際成本，記作 MC，即 MC= ； 若收入是產(chǎn)量的函數(shù) R＝ R(Q)，則收入對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù) 叫邊際收入，記作 MR，即 MR= ； 同樣，利潤 L 對產(chǎn)量 Q 的導(dǎo)數(shù) 叫做邊際利潤，記作 ML，即 ML= 。 （ 3）若產(chǎn)品的供給量 S 是價格 P 的函數(shù)，則 叫產(chǎn)量的供給彈性，記作 ES/EP，即 若產(chǎn)品的需求量 D 是價格 P 的函數(shù) D=D(P)，則 叫產(chǎn)品的需求彈性，記作ED/EP，即 需求彈性在等號右邊添負號，是因為需求量 D 是價格的 減函數(shù)， ，添負號后可是 ED/EP＞ 0。 需求彈性 ED/EP 的經(jīng)濟意義是：當價格 P 增加 1%時，需求量減少 ED/EP% 典型例題 例一： 例二：已知產(chǎn)品的供給量 s=100+，求供給彈性及價格 p=10 時的供給彈性值 。 例三：已知產(chǎn)品的需求量 D=10002P，求產(chǎn)品的需求彈性，并計算 （ 1） P＝ 200 時的彈性和 P=200 時的收入，說明它的經(jīng)濟意義； （ 2） P＝ 250 時的彈性和 P=250 時的收入，說明它的經(jīng)濟意義； （ 3） P＝ 300 時的彈性和 P=300 時的收入，說明它的經(jīng)濟意 義。 （ 1） 它說明價格 p 增加 1％時，售量 D 減少 當 P＝ 200 時，售量 D＝ 1000400＝ 600 ∴ 收入 R＝ PD＝ 200600＝ 120200 （ 2） P＝ 250 時 它說明價格 P 增加 1％時，售量減少 1％ 當 P＝ 250 時，售量 D＝ 500 ∴ 收入 R＝ DP＝ 500250＝ 125000 （ 3） P＝ 300 時， 它說明價格增加 1％時，售量減少（ 3/2） % 當 P＝ 300 時，售量 D＝ 400 ∴ 收入 R＝ PD＝ 300400＝ 120200 由本例可見，價格過高過低收入都低，只有需求彈性為 1 時的收入最高。 例四：證明 （ 1） 即這時價格增加會使收入增加。 （ 2） ，即這時價格增加反而會使收入減少。 （ 3） 是駐點而且是極大值點。 因為只有一個極大值，所以 ED/EP＝ 1 是最大值點，即 ED/EP＝ 1 時，收入最多。 三、同步練習(xí)題 （ 2）若 g（ x）在 x＝ 1處不可導(dǎo)，但在 x＝ 1處有極限且 （ 5）求曲線 y＝ lnx 在點 x＝ e 的切線和法線方程。 （ 6）在曲線 上求一點，使過該點的切線與直線 y＝ 5x＋ 1 平行，并求出該切線方程。 （ 7）已知 相切，求 a，并寫出切線方程。 （ 8）質(zhì)點的運動方程為 ，求時刻 t＝ 2 時的速度。 ① ； ② ； ③ ； ④ （ 36）填空 ① 則 ② 則 ③ 答案： （三）同步練習(xí)題答案 ∵ 切線與直線 y=5x+1 平行，所以它的斜率相同，由于 y=5x+1 的斜率為 5，所以切線的斜率也是 5，得： （ 7）設(shè)切點為 ( ) （ ⅰ ） （ ⅱ ） ∴ 在切點處它們的斜率相等。 代入上式得： 第 四 章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、考核要求 Ⅰ 知道羅爾定理成立的條件和結(jié)論，知道拉格朗日中值定理成立的條件和結(jié)論。 Ⅱ 能識別各種類型的未定式，并會用洛必達法則求它們的極限。 Ⅲ 會判別函數(shù)的單調(diào)性，會用單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并會利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單的不等式。 Ⅳ 會求 函數(shù)的極值。 Ⅴ 會求出數(shù)在閉區(qū)間上的最值，并會求簡單應(yīng)用問題的最值。 Ⅵ 會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的凹凸區(qū)間和拐點。 Ⅶ 會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。 二、基本概念、主要定理和公式、典型例題 Ⅰ 微分中值定理 今后 ，如果函數(shù) f(x)在某一點 x0處的導(dǎo)數(shù)值 =0，就說這一點 是駐點，因此羅爾中值定理的結(jié)論也可以說 f(x)在（ a， b）內(nèi)至少有一個駐點。 從 y=f(x)的幾何圖形（見下圖）可以看出，若 y=f(x)滿足羅爾中值的條件，則它在（ a， b）內(nèi)至少有一點，其切線是水平的，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，該點的斜率=k=0。 從函數(shù) y= f(x)的圖形看（見下圖）， 連接 y= f(x)在 [a， b]上的圖形的端點 A與 B，則線段 AB 的斜率為： 將 AB平行移動至某處，當 AB的平行線與曲線 y=f(x)相切時，若切點為 x=c，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知： 或?qū)?作 故從幾何圖形看，拉格朗日定理是成立的。 典型例題 例一：（單選）下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上滿足羅爾中值定理的條件的函數(shù)是（ ） ① ， [1， 1]； ② ， [1， 1]； ③ ， [1， 2]； ④ ， [1， 1]。 解： ① 在 [1， 1]上處處有意義，沒有無意義的點，因為他沒有分母，所以 在 b區(qū)間 [1， 1]上處處連續(xù)滿足第一個條件。 又 f(1)=1， f(1)=1，所以在端點上函數(shù)值相等，滿足第三個條件 因此這函數(shù)在開間內(nèi)不是處處可導(dǎo)，只少在 0 這一點不可導(dǎo)的，因此不滿足第二個條件。 ② 在 x=o 處不可導(dǎo)， ∴ 也不滿足第二個條件。 ③ f (1)=1， f(2)=4， ∴ 在 [1， 2]上滿足第三個條件。 ④ ， 處處可導(dǎo)且 處處連續(xù)， f(1)=1， f(1)=1。 ∴ 在 [1， 1]上滿足三個條件。 例二：證明方程 在（ 0， 1）內(nèi)至少有一個根。 證：用羅爾中值定理 解：由于 令 在 [0， 1]上滿足羅爾定理的三個條件。所以在（ 0， 1）內(nèi)至少存在一個數(shù) c (0＜ c＜ 1) 使 。 ∴ x=c 是方程 的根。 即 x=c 是方程 的根。 例三：證明不等式： arctanb－ arctana≤b a ， (a＜ b) 解： 令 f(x)= arctan x ∴ 處處存在。 ∴ f(x)= arctan x 處處可導(dǎo)，處處 連續(xù)，所以 f(x)=arctanx 在 [a， b]上滿足拉格朗日定理的二個條件，因此存在 a＜ c＜ b，使 。 即： ∴arctanb － arctana＜ ba 在第三章我們曾知常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，即 反過來會問：導(dǎo)數(shù)為零的函數(shù)是否一定是常數(shù)，下面我們證明 證：在（ a， b）任取兩數(shù) x1， x2，假定 x2＞ x1，證明這兩個函數(shù)值相等的。由于函數(shù)在 a， b內(nèi)處處可導(dǎo)，因此根據(jù)拉格朗中值定理知道在區(qū)間內(nèi)部處處