【正文】 法 ，要求達(dá)到 領(lǐng)會(huì) 層次 清楚無(wú)窮限反常積分的定義及其斂 散性 在被積函數(shù)比較簡(jiǎn)單的情況下會(huì)依據(jù)定義判別它是反常積分的斂散性，并在收斂時(shí)求出其值 ，要求達(dá)到 簡(jiǎn)單應(yīng)用 層次 會(huì)在直角坐標(biāo)系中計(jì)算平面圖形有面積 會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所所旋轉(zhuǎn)體的體積 第六章 多元函數(shù)微積分 （一）考核的知識(shí)點(diǎn) （二 ）自學(xué)要求 多元函數(shù)微積分是一元函數(shù)微積分的自然發(fā)展，它的許多重要概念和處理問題的思想、方法與一元函數(shù)微積分的情形十分相似，前者以后者為基礎(chǔ)；另一方面，隨著變量的增多，其內(nèi)容也更加豐富，由于許多實(shí)際問題常常涉及多個(gè)變量，所以多元微積分的應(yīng)用非常廣泛，本章以二元函數(shù)微積分為主。 本章總的要求是：理解多元函數(shù)概念和二元函數(shù)的幾何意義；清楚偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義；了解高階偏導(dǎo)數(shù)的定義及混合偏導(dǎo)數(shù)在一定條件下與對(duì)變量求導(dǎo)次序的無(wú)關(guān)性；掌握復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；理解二元函數(shù)的極值概念并掌握其求法；理解二重 積分的定義及其幾何意義；掌握二重積分的計(jì)算方法。 本章重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念及其計(jì)算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，二重積分的計(jì)算。 難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，二重積分的計(jì)算。 （三）考核要求 ，要求達(dá)到 領(lǐng)會(huì) 層次 知道多元函數(shù)的定義及二元函數(shù)的幾何意義 會(huì)求二元函數(shù)的定義區(qū)域 ，要求達(dá)到 簡(jiǎn)單應(yīng)用 層次 清楚偏導(dǎo)數(shù)的定義及一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 清楚全微分及多元函數(shù)可微的定義 清楚全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系及 函數(shù)可微的充分條件 ，要求達(dá)到 簡(jiǎn)單應(yīng)用 層次 掌握以下三種類型的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： （ 1） w=f（ u， v）； u=u（ x）， v=v（ x） . （ 2） w=f（ u）； u=u（ x， y） . （ 3） w=f（ u， v）； u=u（ x， y）， v=v（ x， y） . ，要求達(dá)到 簡(jiǎn)單應(yīng)用 層次 了解隱函數(shù)的概念，掌握由一個(gè)函數(shù)方程所確定的一元和二元隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 ，會(huì)計(jì)算初等函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 知道二階偏導(dǎo) 數(shù)的定義，會(huì)計(jì)算初等函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 知道二階混合偏導(dǎo)數(shù)在一定條件下與對(duì)各有關(guān)變量求導(dǎo)的次序無(wú)關(guān) ，要求達(dá)到 簡(jiǎn)單應(yīng)用 層次 清楚二元函數(shù)極值的定義 清楚極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的關(guān)系，知道函數(shù)取得極值的充分條件 會(huì)求函數(shù)的極值并會(huì)解決比較簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題 ，要求達(dá)到 簡(jiǎn)單應(yīng)用 層次 清楚二重積分的定義及其幾何意義 了解二重積分的基本性質(zhì) 會(huì)在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（不要求會(huì)交換 二次積分的積分次序）。 第 一 章 函數(shù)及其圖形 一、考核內(nèi)容 ，初等函數(shù) 二、基本概念，主要公式，典型例題 （ 1）定義：若變量 x 在某一變域 D 中的任取一值時(shí)，變量 y 按某確定的法則有一個(gè)惟一確定值與 x 的這個(gè)值對(duì)應(yīng)，就說(shuō)變量 y 是變量 x 的函數(shù)，記作 其中 x 叫自變量， y 叫因變量 自變量 x 的取值范圍叫定義域，記作 Df 例如大家在中學(xué)學(xué)過的 叫多項(xiàng)式函數(shù)， 叫以 a 為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，叫以 a 為底的指數(shù)函數(shù) ， 叫正弦函數(shù)，它們都是函數(shù) （ 2）典型例題 例一，求下列函數(shù)的定義域 （ 1） 解：分式的分母不能為零，所以 . 用區(qū)間表示為 Df： （ 2） 解：偶次根式的被開方數(shù)不能小于 0，所以得 ，方程的根為 x1=2， x2=3， 所以不等式的解只能在 取得，經(jīng)驗(yàn)算知解為 。 ∴ Df： （ 3） 解：取對(duì)數(shù)的數(shù)只能大于 0，所以有 分子的根和分母的根分別為 x1=2,x2=5, 所以不等式的解只能在 取得，經(jīng)驗(yàn)算知解為 ∴ Df： （ 4） 解：取反正弦或反余弦的數(shù)只能在 1 與 1 之間，所以有 解得 ∴ Df：［ 4， 2］ 例二 解： f(1)表示將函數(shù) f(x)中的 x 換為 1，叫函數(shù) f(x)在 x 取 1 時(shí)的值，所以 例三，已知 f(x)的定義域?yàn)?(2， 5］，求 f(x－ 2)的定義域 解： f(x)的定義域?yàn)?(2， 5］，即 2＜ x≤5 ∴ f(u)的定義域?yàn)?2＜ u≤5 ∴ f(x－ 2)的定義域?yàn)?2＜ x－ 2≤5 解得 4＜ x≤7 ∴ f(x－ 2)的定義域?yàn)?Df：（ 4， 7］ 例四 已知 g(x)的定義域?yàn)椋?0， 9］，求 f(x)=g(x－ 2)+g(x+2)的定義域 解：因?yàn)?g(x)的定義域?yàn)椋?0， 9］，即 0≤x≤9，所以 g(x－ 2)的定義域?yàn)?0≤x－ 2≤9，解得 2≤x≤11， 同理 g(x+2)的定義域?yàn)?0≤x+2≤9 解得 2≤x≤7 ∴ f(x)的定義域?yàn)? 它的公共部分為 ∴ f(x)的定義域 Df:[2,7] 例五 下列各對(duì)函數(shù)是否相同？若不同，請(qǐng)說(shuō)明 x 取何值時(shí)是相同的 （ 1） 解：在 中， x 的取值范圍為 ，而在 中， x 的取值范圍為，因?yàn)?x 取值范圍不同，所以它們是不同的函數(shù)，例如 無(wú)意義，而 有意義且 。 當(dāng) x＞ 0 時(shí)，則有 。則它們是相同的。 （ 2） 解： y=x 的定義域是 ，而 的定義域是 。因?yàn)槎x域不同，所以它們是不同的函數(shù)。 當(dāng) x≠0時(shí)，則有 ，這時(shí)它們就相同了。 （ 3） ， 解： ∵ ，所以這時(shí)它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系不 同，因此是不同的函數(shù)。 若只讓 x≥0，則 ，這時(shí)它們就相同了。 2．函數(shù)的幾種特性。 （ 1）函數(shù)的增減性的概念 定義：如果函數(shù) f(x)的自變量在區(qū)間 I 內(nèi)任意取兩值 x1x2 時(shí)，均有不等式f(x1)f(x2) 就說(shuō)在區(qū)間 I 內(nèi)函數(shù) f(x)是單調(diào)增加的，并 且說(shuō)區(qū)間 I 是單調(diào)增加區(qū)間；若不等式為 f(x1)f(x2) 就說(shuō)在區(qū)間 I內(nèi)函數(shù)是單調(diào)減少的，并且說(shuō)區(qū)間 I是單調(diào)減少區(qū)間。 典型題 ：求 f(x)=x2的單調(diào)區(qū)間 解： ① 在 ，則有 所以在 是減少的，且 的減區(qū)間。 ② 在 ，則有 所以在 是增加的，且記區(qū)間 是 的增區(qū)間 （ 2）函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù)的圖形恒有關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)（ x,y）與（ x,y），所以偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y軸對(duì)稱 奇函數(shù)的圖形恒有關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（ x， y）與（ x,y），所以奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，見下圖。 典型題： 例一，驗(yàn)證 是偶函數(shù)， 是奇函數(shù)。 例二，討論 的奇偶性。 解： 例三，討論下列函數(shù)的奇偶性 下面是第二個(gè) 例四．討論下列函數(shù)的奇偶性 例五，證明奇函數(shù)乘奇函數(shù)是偶函數(shù) 同法可得下面結(jié)果： 例六，觀察下列函數(shù)的奇偶性 (3)函數(shù)的有界性 典型題 討論下列函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上的有界性 (4)函數(shù)的周期性 關(guān)于周期函數(shù)，有下面的特例，學(xué)員可作為重要結(jié)果加以使用。 典型例題： 例一，指出下列函數(shù)中是否是周期函數(shù)，若是，則寫出其周期 T 例二 例三 三、反函數(shù)的概念及圖形 根據(jù)反函數(shù)的定義，在求反函數(shù)時(shí)的步驟如下： 典型例題，求下列函數(shù)的反函數(shù) 解：第一步，解出 x 先移項(xiàng)得 y(x+3)=x2 ∴ yx+3y=x2 再合并含有 x 的項(xiàng) yxx=23y ② y=ln(1+2x)+3 解：第一步，解出 x 因?yàn)? (y3)=ln(1+2x) 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義 得 第二步 將上式中的 x 與 y 對(duì)換得 解： 3y=sin(2x1) 根據(jù)反三角函數(shù)的定義 ∴ arcsin3y=2x1 兩邊同乘 2ex得 2yex=(ex)2+1 ∴ (ex)22yex+1=0 四、復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù) (1)復(fù)合函數(shù)的定義 典型例題 例一 寫出由下列函數(shù)復(fù)合而生成的復(fù)合函數(shù)。 ① y=u2,u=sinv,v=3x+1 解： y=u2=(sinv)2=[sin(3x+1)]2 簡(jiǎn)寫為 y=sin2(3x+1) ② y=lnu,u=cosv,v=x2+1 解： y=lncosv=lncos(x2+1) 例二 討論 y=lnu,u=2+sinx 是否能復(fù)合為復(fù)合函數(shù)。 解： ∵ u=2+sinx1 ∴ y=lnu=ln(2+sinx)無(wú)意義，說(shuō)明它不是函數(shù)，當(dāng)然不是復(fù)合函數(shù)。 例三 （下面十第三個(gè)） (2)基本初等函數(shù) 下面六種函數(shù)叫基本初等函數(shù) ① 常數(shù)函數(shù) 函數(shù) y=c(常數(shù) )叫常數(shù)函數(shù)，常數(shù)函數(shù) y=c 的圖形 (見下圖 )是過 y 軸上縱坐標(biāo)為 c 的點(diǎn)的水平直線。 ② 冪函數(shù) 函數(shù) y=xa叫冪函數(shù) 在冪函數(shù)中，最常見的有下面幾種情形。 (1)y=x3, 它的圖形經(jīng)過 (Ⅰ )(Ⅲ )象限 (見下圖 )且經(jīng)過原點(diǎn)的增函數(shù) (2)y=x2 它的圖形在 x 軸上方經(jīng)過 (Ⅰ )(Ⅱ )象限且過原點(diǎn)，關(guān)于 y 軸對(duì)稱 (見下圖 ) (3)y=x 它的圖形是原點(diǎn)，在 (Ⅰ )(Ⅲ )象限的分角線 (見下圖 ) 它的圖形只在第一象限，且是過原點(diǎn)的增函數(shù)（見下圖） 它的圖形在第一、第三象限，是減函數(shù)（見下圖） ③ 指數(shù)函數(shù) 函數(shù) y＝ ax(a＞ 0 且 a≠1)叫指數(shù)函數(shù)。 （ 1） 當(dāng) a＞ 1 時(shí)， y＞ 0 且是過點(diǎn)（ 0， 1）的增函數(shù) ，其圖形見下圖 (2)當(dāng) 0＜ a＜ 1 時(shí)，仍有 y＞ 0，且它的圖形是過點(diǎn)（ 0， 1）的減函數(shù)，其圖形見下面圖形 指數(shù)函數(shù)有下面計(jì)算性質(zhì)： ④ 對(duì)數(shù)函數(shù) 函數(shù) y=logax(a＞ 0,且 a≠1)叫對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義域 Df： x＞ 0 (1)a＞ 1 時(shí)，它是過點(diǎn)（ 1， 0） 的增函數(shù)，且圖形在 y 軸右側(cè)的（ Ⅰ ）（ Ⅳ ）象限，其圖形見下圖 (2) 0＜ a＜ 1 時(shí)，它是過點(diǎn)（ 1， 0）的減函數(shù)，且圖形在 y 軸右側(cè)的第（ Ⅰ ）（ Ⅳ ）象限，其圖形見下圖 對(duì)數(shù)函數(shù)有下面性質(zhì) 對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax 是指數(shù)函數(shù) y=ax的反函數(shù)，所以有： ⑤ 三角函數(shù) 三角函數(shù)有六種 （ 1）正弦函數(shù) y=sinx 它是以 2π為周期，函數(shù)值在 1 與 1 之間波動(dòng)的有界奇函數(shù)，其圖形見下圖 (2)余弦函數(shù) y=cosx 它是以 2π為周期，函數(shù)使在 1 與 1 之間波動(dòng)的有界偶函數(shù)，其圖形見下圖 (3)正切函數(shù) y=tanx 它是 以 ∏為周期的函數(shù)，在 內(nèi)增加，其圖形見下圖 （ 4）余切函數(shù) y=cotx (5)正割函數(shù) y=secx (6)余割函數(shù) y=cscx 三角函數(shù)有下面公式 sinxcscx=1 , cosxsecx=1 tanxcotx=1 sin2x=2sinxcosx cos2x=cos2x－ sin2x cos2x=2cos2x－ 1 cos2x=1－ 2sin2x ∴ sin2x=1/2(1－ cos2x) cos2x=1/2(1+cos2x) ⑥ 反三角函數(shù) 反三角函數(shù)有 (1)反正弦函數(shù) y=arcsinx (2)反余弦函 數(shù) y=arccosx 0≤y≤π (3)反正切函數(shù) y=arctanx 反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，所以有 例五 （ 3）初等函數(shù) 定義，由常數(shù)函數(shù) y=c，冪函數(shù) y=xa，指數(shù)函數(shù) y=ax，對(duì)數(shù)