【正文】 3例3．求由曲面z=8x2y2，z=x2+y2所圍立體的體積。236。239。z=8x2y2236。239。x2+y2=4解法1：兩曲面的交線237。 222。237。22239。239。238。z=x+y238。z=4故所求立體W在xoy面上的投影區(qū)域為D={(x,y)x2+y2163。4}。 V==242。242。(8x2y2)ds242。242。(x2+y2)ds DDD242。242。(8x2y2x2y2)ds=242。242。[82(x2+y2)]ds D=242。 2p0 21dj242。(82r2)rdr=2p(4r2r4) 0220=16p解法2：V=242。242。242。dV=242。0W22pdj242。rdr242。028r2dz r212=2p242。r(82r2)dr=2p[4r2r4]0=16p。 02解法3：V=8242。242。242。dV=242。dzW0W4D1(z)242。242。dxdy+242。dz48D2(z)242。242。dxdy=242。pzdz+242。p(8z)dz=16p。 044例4．設(shè)I=242。242。242。f(x,y,z)dV，其中W是由x2+y2+z2163。4和x2+y2163。3z圍成的區(qū)域，試在直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下分別將I化為三次積分。 解：（1）在直角坐標(biāo)系下，236。239。x2+y2+z2=4236。239。x2+y2=3222。237。兩曲面的交線為237。2， 2239。238。x+y=3z 239。238。z=1W 在 xoy面上的投影區(qū)域為Dxy={(x,y)x2+y2163。3}。 I= （2）在柱面坐標(biāo)系下， 242。33dx242。3x24x2y2dy223x2x+y242。f(x,y,z)dz。r22W={(r,j,z)0163。j163。2p, 0163。r163。3,163。z163。4r}，dV=rdrdjdz， 3I=242。dj242。02p0rdr242。4r2r23f(rcosj,rsinj,z)dz。 第四節(jié) 重積分的應(yīng)用 一、主要內(nèi)容曲面的面積（重點）設(shè)曲面S由方程z=f(x,y)給出,Dxy為曲面S在xoy面上的投影區(qū)域,函數(shù)f(x,y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)和fy(x,y),則曲面的面積為：A=242。242。+fx2(x,y)+fy2(x,y)dsDxy若曲面的方程為x=g(y,z)或y=h(z,x),可分別將曲面投影到y(tǒng)oz面或zox面,設(shè)所得到的投影區(qū)域分別為Dyz或Dzx,類似地有2A=242。242。Dyz230。182。x246。1+231。247。232。182。y248。230。182。x246。+231。247。dydz232。182。z248。A=242。242?；駾zx230。182。y246。+231。247。232。182。z248。2230。182。y246。+231。247。dzdx232。182。x248。2質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力（了解）第十一章：曲線積分與曲面積分1.2.3. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。 掌握計算兩類曲線積分的方法。 熟練掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)。4.5. 了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會用高斯公式計算曲面積分。 知道散度與旋度的概念，并會計算。6． 會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量。第一節(jié)：對弧長的曲線積分各種形式的曲線積分的算法，注意積分下限小于積分上限。 平面曲線：(1) 若L的參數(shù)方程為x=j(t), y=y(t) (a163。t163。b),則b242。L242。L242。Lf(x,y)ds=242。f[j(t),y(t162。2(t)+y162。2(t)dt(aamp。lt。b). ab(2) 若曲線L的方程為y=y(x)(a163。x163。b), 則 f(x,y)ds=242。f[x,y(x+y162。2(x)dx. ad(3)若曲線L的方程為x=j(y)(c163。y163。d), 則 f(x,y)ds=242。f[j(y),y162。2(y)+1dy. c 空間曲線：若曲G的方程為x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a163。t163。b), 則242。Gf(x,y,z)ds=242。abf[j(t),y(t),w(t162。2(t)+y162。2(t)+w162。2(t)dt.第二節(jié)：對坐標(biāo)的曲線積分（有方向）各種形式的曲線積分的算法，注意積分下限對應(yīng)于始點，上限對應(yīng)于終點。注意積分變量的選??！兩類曲線積分的聯(lián)系！平面曲線：設(shè)P(x, y)、Q(x, y)是定義在光滑有向曲線L: x=j(t), y=y(t), 上的連續(xù)函數(shù), 則242。L242。LP(x,y)dx=242。P[j(t),y(t)]j162。(t)dt, abQ(x,y)dy=242。Q[j(t),y(t)]y162。(t)dt. ab當(dāng)曲線L的方程為y=y(x)(a163。x163。b), x=j(y)(c163。y163。d)時，分別選取x和y作為參數(shù)?？臻g曲線：若空間曲線G由參數(shù)方程x=jt), y =y (t), z=w(t)給出, 那么曲線積分 242。GP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=242。 a{P[j(t),y(t),w(t)]j162。(t)+Q[j(t),y(t),w(t)]y162。(t)+R[j(t),y(t),w(t)]w162。(t)}dt,242。GPdx+Qdy+Rdz=242。G(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds b其中a對應(yīng)于G的起點, b對應(yīng)于G的終點. 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：上式是合寫形式，意味著兩兩相等.對坐標(biāo)的曲線積分是定積分的推廣，而對弧長的曲線積分不是定積分的推廣。第三節(jié)：格林公式及其應(yīng)用注意格林公式成立的條件即曲線L是閉合的且有方向熟練掌握例4利用積分與路徑無關(guān)求解微分方程的積分！ 格林公式：設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有242。242。(D182。Q182。Pdxdy=Pdx+Qdy, L182。x182。y其中L是D的取正向的邊界曲線.應(yīng)注意的問題:對復(fù)連通區(qū)域D, 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分, 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向. 此外，有時候所給曲線不閉合，這時候可以不上一段曲線使之閉合然后再用格林公式（例4一定要會）。區(qū)域面積公式：設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L, 取P=y, Q=x, 則由格林公式得21xdyydx. dxdy=xdyydx, 或A=dxdy=242。242。L242。242。L2DD積分242。LPdx+Qdy在Dyy0x242。xP(x,y0)dx+242。Q(x,y)dy,0242。yQ(x0,y)dy+242。xP(x,y)dx. 0y注意定點(x0,y0)的選取本著計算簡單的原則，計算時要保證所選路徑在區(qū)域242。242。f(x,y,z)dS=242。242。f[x,y,z(x,y+zx2(x,y)+z2SDxy（2） 如果積分曲面S的方程為y=y(z, x), Dzx為S在zOx面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為242。242。f(x,y,z)dS=242。242。f[x,y(z,x),zSDzx22+yz(z,x)+yx(z,x)dzdx.（3） 如果積分曲面S的方程為x=x(y, z), Dyz為S在yOz面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為22f(x,y,z)dS=f[x(y,z),y,z]+x(y,z)+x(y,z)dydz. yz242。242。242。242。SDyz242。242。dS=A, 其中A為曲面S的面積.S對面積的曲面積分是二重積分的推廣 第五節(jié)：對坐標(biāo)的曲面積分將曲面積分化為二重積分:（1） 若S由方程z=z(x, y)給出的, S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy , 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)R(x, y, z)在S上連續(xù), 則有242。242。R(x,y,z)dxdy=177。242。242。R[x,y,z(x,y)]dxdy, （上正下負(fù)）SDxy（2） 如果S由x=x(y, z)給出, 則有242。242。P(x,y,z)dydz=177。242。242。P[x(y,z),y,z]dydz. （前正后負(fù)）SDyz（3） 如果S由y=y(z, x)給出, 則有242。242。Q(x,y,z)dzdx=177。242。242。Q[x,y(z,x),z]dzdx. （右正左負(fù)）SDzx174。174。若S由方程z=z(x, y)給出，若選取上冊，則n=(zx,zy,1)；若選下側(cè)，則n=(zx,zy,1)。兩類曲面積分之間的聯(lián)系：242。242。R(x,y,z)cosgdS=242。242。R[x,y,z(x,y)]dxdy.SDxySS242。242。P(x,y,z)dydz=242。242。P(x,y,z)cosadS, 242。242。Q(x,y,z)dzdx=242。242。P(x,y,z)cosbdS. SS綜合起來有242。242。Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=242。242。(Pcosa+Qcosb+Rcosg)dSSS利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系對yz和zx的積分轉(zhuǎn)化為對xy，其他類似：242。242。Pdydz=242。242。PcosadS=242。242。PSSScosacosacosgdS=242。242。Pdxdy cosgcosgScosbcosbcosgdS=242。242。Qdxdy cosgcosgS第六節(jié)：高斯公式 242。242。Qdzdx=242。242。QcosbdS=242。242。QSSS設(shè)空間閉區(qū)域W是由分片光滑的閉曲面S所圍成, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有242。242。242。(W182。P182。Q182。R++)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, 182。x182。y182。zS+182。Q182。y+182。R182。z)dv=或 242。242。242。(W182。P182。x(Pcosa+Qcosb+Rcosg)dS, S利用高斯公式計算曲面積分時，若曲面不封閉需要補(bǔ)上一段曲面。計算時注意曲