【正文】 值點。當(dāng)然，有些條件極值問題也可以轉(zhuǎn)化成非條件極值來做，這要視具體情況來確定。如果問題有結(jié)論是明確的，在相關(guān)函數(shù)形式比較簡單時，用Lagrange乘數(shù)法來處理條件極值問題，往往有一定的優(yōu)勢。而且考研中這類題目相對較為常見。5．多元函數(shù)的最大值與最小值我們已經(jīng)知道，一個有界閉區(qū)域W上多元連續(xù)函數(shù)f(p)（我們這里姑且用點函數(shù)形式表示）必有最大值與最小值。而要求出最大值與最小值，我們可以按如下步驟進(jìn)行：（1）首先求出區(qū)域內(nèi)的可疑點：一階偏導(dǎo)數(shù)（若存在）為零的點；一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點。 26（2）求出（1）中各點的函數(shù)值。（3）求出函數(shù)在W的邊界上的可疑點，就是用Lagrange乘數(shù)法求得的那種點，并算出這些點的函數(shù)值。（4）比較（2）（3）兩步所得的各函數(shù)值，其中最大（?。┱呔褪撬蟮淖畲螅ㄐ。┲?。 第六章 多元函數(shù)積分學(xué)（二重積分、三重積分、曲線積分以及曲面積分）（一）二重積分1．二重積分的概念與性質(zhì)（1）定義 設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上有界。把D任意分割成n個小區(qū)域（這里Dsi既表示第i個小區(qū)域，同時也表示第i個小區(qū)域的面積），Ds1，Ds2，L,Dsn并且在每個小區(qū)域Dsi中任意取一點(xi,hi)(1163。最大值。如果極限lim229。l174。0i=1ni163。n)，又記l為各個小區(qū)域直徑的f(xi,hi)Dsi存在，則稱函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上的二重積分存在（可積），并把該極限值稱為函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上的二重積分，記為242。242。Df(x,y)ds， 或者 242。242。Df(x,y)dx dy即有242。242。Df(x,y)dxdy=liml174。0229。i=1nf(xi,hi)Dsi.其中f(x,y)稱為被積函數(shù)，D稱為積分區(qū)域，x,y稱為積分變量，f(x,y)dxdy稱為被積表達(dá)式。（2）二重積分存在定理 若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則242。242。Df(x,y)dxdy存在。27（3）二重積分的幾何意義 若函數(shù)f(x,y)非負(fù)，則242。242。Df(x,y)dxdy表示以D為底，曲面z=f(x,y)為頂，側(cè)面為母線平行于z軸的柱面的曲頂柱體的體積。對于一般的連續(xù)函數(shù)f(x,y)，242。242。Df(x,y)dxdy表示以D為底，曲面z=f(x,y)為頂，側(cè)面為母線平行于z軸的柱面的曲頂柱體的體積的代數(shù)和（位于xoy平面上方的部分體積帶正號，位于xoy平面下方的部分體積帶負(fù)號所作成的和）。 （4）二重積分的性質(zhì)由于二重積分的定義本質(zhì)上類同于定積分的定義，因此它們的性質(zhì)基本上相同，可分為三大類：《1》線性性質(zhì) 若函數(shù)f1(x,y),f2(x,y),L,f2(x,y)都是有界閉區(qū)域D上的可積函數(shù)，k1,k2，L,kn是n個常數(shù)，則229。kifi(x,y)在有界閉區(qū)域D上的也可積，且有i=1n242。242。229。kifi(x,y)dxdyi=1Dn=229。k242。242。ii=1Dnfi(x,y)dxdy.《2》對區(qū)域的可加性 若有界閉區(qū)域D可表示為兩個有界閉區(qū)域D1,D2的并，且D1199。D2沒有設(shè)f1(x,y),f2(x,y)是有界閉區(qū)域D上的兩個可積函數(shù)，如果在D上恒有成立，則242。242。Df1(x,y)163。f2(x,y)f1(x,y)dxdy163。242。242。Df2(x,y)dxdy簡單的說，就是函數(shù)越大，積分值也越大。該性質(zhì)有非常有用的三個討論：A 若f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的可積函數(shù)，則 28242。242。Df(x,y)dxdy163。242。242。Df(x,ydxdyB（二重積分的估值定理）若f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的可積函數(shù)，且滿足則 其中A是區(qū)域D的面積。C（二重積分的中值定理）若f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則至少存在一點(x,h)使得242。242。Dm163。f(x,y)163。M,(x,y)206。D mA163。242。242。Df(x,y)dxdy163。MA f(x,y)dxdy=f(x,h)A.定理中的f(x,h)就是f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的平均值。2．二重積分的計算（1）利用直角坐標(biāo)計算《1》如果區(qū)域D（見下圖（1））可表示為：a242。242。D163。x163。b,j(x)163。y163。y(x)，則 f(x,y)dxdy=242。badx242。y(x)j(x)f(x,y)dy 圖（1） 圖（2）《2》如果區(qū)域D（見上圖（2））可表示為：c242。242。D163。y163。d,k(y)163。x163。h(y)，則 f(x,y)dxdy=242。dcdy242。h(y)k(y)f(x,y)dx對于更復(fù)雜的圖形，可以切割成如上的一些標(biāo)準(zhǔn)圖形，再利用積分對區(qū)域的 29可加性。（2）利用極坐標(biāo)計算如果區(qū)域D（見下圖（3））可表示為：a163。q163。b,r1(q)163。r163。r2(q)，則242。242。Df(x,y)dxdy=242。abdq242。r2(q)r1(q)f(rcosq,rsinq)rdr 圖（3） 而確定q=a，q=b，r=r1(q)及r=r2(q)可以這樣來進(jìn)行：設(shè)想從原點出發(fā)的一條射線繞逆時針方向旋轉(zhuǎn)，最先碰到區(qū)域D的邊界時，對應(yīng)的射線就是q最后碰到區(qū)域D的邊界時，對應(yīng)的射線就是q=b=a；；利用這兩條射線，把區(qū)域D的=r1(q)，遠(yuǎn)的那段方邊界又分成距離原點較近和較遠(yuǎn)的兩段,近的那段方程就是r程就是r=r2(q).此外公式中的面積元素也變成了rdrdq，別忘了因子r.=a和q=b下圖顯示的是三種基本圖形及其積分的上下限（確定角度q線有時要取切線）：的射 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的基本的轉(zhuǎn)化關(guān)系式必須熟記：x=rcosqy. x； y=rsinq； 30 r= q=arctan（3）積分計算中的對稱性設(shè)區(qū)域D關(guān)于直線L對稱，用(x,y)和(x162。,y162。)表示關(guān)于直線L的對稱點。則有如下結(jié)論：《1》如果被積函數(shù)f(x,y)滿足條件：f(x,y)=f(x162。,y162。),(x,y)206。D那么必有242。242。Df(x,y)dxdy=0.《2》如果區(qū)域D被直線L劃分為關(guān)于L對稱的兩塊D1和D2，并且被積函數(shù)f(x,y)滿足條件：f(x,y)=f(x162。,y162。),(x,y)206。D那么必有242。242。D1f(x,y)dxdy=242。242。D2f(x,y)dxdy，從而242。242。f(x,y)dxdy=2242。242。f(x,y)dxdy. DD1【注】如果把上述直線L改為一個點（比如坐標(biāo)原點），結(jié)論仍然成立。3．二重積分的應(yīng)用（1）平面圖形的面積 當(dāng)被積函數(shù)為1時，有界閉區(qū)域D的面積為A=242。242。dxdyD=242。242。rdrdq. D因此依據(jù)區(qū)域D的特點，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過二重積分可以計算出區(qū)域D的面積。（2）曲面面積 如果光滑曲面S:z則曲面S的面積為 A==f(x,y)在xoy平面上的投影區(qū)域為區(qū)域D，242。242。D.（3）平面薄片的質(zhì)心 設(shè)占有平面區(qū)域D的一塊平面薄片，其密度函數(shù)為區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)r(x,y)，則該薄片的質(zhì)量為m=242。242。r(x,y)dxdy D其質(zhì)心坐標(biāo)(,)可以由下述公式確定31 =242。242。xr(x,y)dxdyD242。242。Dr(x,y)dxdy，=242。242。yr(x,y)dxdyD242。242。Dr(x,y)dxdy.（4）轉(zhuǎn)動慣量 設(shè)占有平面區(qū)域D的一塊平面薄片，其密度函數(shù)為區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)r(x,y)，則該薄片繞x軸、y軸和原點旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量分別為Ix=242。242。yr(x,y)dxdy，2DIy=242。242。D2xr(x,y)d x d和yIo=242。242。(xD2+y2)r(x,y)dxdy.更一般地，若平面直線L的方程為ax+by+c的轉(zhuǎn)動慣量為 IL=0，則該薄片繞直線L旋轉(zhuǎn)(ax+by+c)2=242。242。r(x,y)dxdy. 22a+bD（5）平面薄片對質(zhì)點的引力 設(shè)占有xoy平面上區(qū)域D的一塊平面薄片，其密度函數(shù)為區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)r(x,y)。又設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點位于z軸上點M(0,0,a)處。則薄片對該質(zhì)點的引力在x軸、y軸和z軸上的分力依次為Fx=mG242。242。Dxr(x,y)dxdy(x+y+a2223，F(xiàn)y=mG242。242。Dyr(x,y)dxdy(x+y+a222和Fz=mG242。242。Dar(x,y)dxdy(x+y+a222. （二）三重積分1．三重積分的概念（1）定義 設(shè)三元函數(shù)f(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域W上有界。把W任意分割成n個小區(qū)域DW1，DW2，L,DWn（這里DWi既表示第i個小區(qū)域，同時也表示第i個小區(qū)域的體積），并且在每個小區(qū)域DWi中任意取一點(xi,hi,zi)(1163。各個小區(qū)域直徑的最大值。如果極限lim229。l174。0i=1ni163。n)，又記l為f(xi,hi,zi)DWi存在，則稱函數(shù)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域W上的三重積分存在（可積），并把該極限值稱為函數(shù)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域W上的三重積分，記為32242。242。242。Wf(x,y,z)dv，或者 242。242。242。Wydzf(x,y,z)dxd即有242。242。242。Wf(x,y,z)dxdydz=liml174。0229。i=1nf(xi,hi,zi)DWi.其中f(x,y,z)稱為被積函數(shù)，W稱為積分區(qū)域，x,y,z稱為積分變量，f(x,y,z)dxdydz稱為被積表達(dá)式。（2）三重積分存在定理 三維有界閉區(qū)域W上的連續(xù)函數(shù)的三重積分一定存在。（3）物理意義 三維有界閉區(qū)域W上的密度函數(shù)r(x,y,z)的三重積分等于該空間物體的質(zhì)量。 2．三重積分的性質(zhì)《1》線性性質(zhì) 若函數(shù)f1(x,y,z),f2(x,y,z),L,f2(x,y,z)都是有界閉區(qū)域W上的可積函數(shù)，k1,k2，L,kn是n個