【正文】 ，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個(gè)特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個(gè)特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說明極限與輻角有關(guān)．例8：f(x,y)=xyx+y22在(0,0)的二重極限不存在．三二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)f(M)在M0點(diǎn)有定義，如果limf(M)=f(M0)，則稱f(MM174。M0)在M0點(diǎn)連續(xù)．e0,$d0,當(dāng)0如果f在開集E內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱f在E內(nèi)連續(xù)，或稱f是E內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。例9：求函數(shù)u=tan(x2+y2)的不連續(xù)點(diǎn)。四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理：若f(x,y)再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。一致連續(xù)性定理: 若f(x,y)再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。最大值最小值定理: 若f(x,y)再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。零點(diǎn)存在定理:設(shè)D是Rn中的一個(gè)區(qū)域，P0和P1是D內(nèi)任意兩點(diǎn)，f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果f(P0)0，f(P1)0，則在D內(nèi)任何一條連結(jié)P0,P1的折線上，至少存在一點(diǎn)Ps，使f(Ps)=0。龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院五二重極限和二次極限在極限limf(x,y)中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重x174。x0y174。y0極限（二重極限）．此外，我們還要討論當(dāng)x,y先后相繼地趨于x0與y0時(shí)f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：若對任一固定的y，當(dāng)x174。x0時(shí)，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)=j(y),而j(y)x174。x0在y174。y0時(shí)的極限也存在并等于A，亦即limj(y)=A，那么稱A為f(x,y)先對x，再y174。y0對y的二次極限，記為limlimf(x,y)=A．y174。y0x174。x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．x174。x0y174。y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。注：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例10：（二重極限存在，但兩個(gè)二次極限不存在）．設(shè)11236。xsin+ysin239。yxf(x,y)=237。239。0238。x185。0,y185。0x=0ory=0由f(x,y)163。x+y 得limf(x,y)=0（兩邊夾）。由limsinx174。0y174。01y不存在知f(x,y)的累次y174。0極限不存在。例11：（兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)f(x,y)=xyx+y22，(x,y)185。(0,0)由limlimf(x,y)=limlimf(x,y)=0知兩個(gè)二次極限存在且相等。但由前面知x174。0y174。0y174。0x174。0limf(x,y)不存在。x174。0y174。0例12：（兩個(gè)二次極限存在，但不相等）。設(shè)f(x,y)=xyx+y2222，(x,y)185。(0,0)龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院則 limlimf(x,y)=1，limlimf(x,y)=1。limlimf(x,y)185。limlimf(x,y)（不x174。0y174。0y174。0x174。0x174。0y174。0y174。0x174。0可交換）上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會(huì)有一些聯(lián)系。定理1:設(shè)（1）二重極限limf(x,y)=A；（2）y,y185。y0，limf(x,y)=j(y).則x174。x0y174。y0x174。x0y174。y0limj(y)=limlimf(x,y)=A。y174。y0x174。x0（定理1說明：在重極限與一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。推論1:設(shè)（1）limf(x,y)=A；（2）（3）y,y185。y0，limf(x,y)存在；x,x185。x0，x174。x0y174。y0x174。x0y174。y0limf(x,y)存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限y174。y0x174。x0x174。x0y174。y0x174。x0y174。y0limf(x,y)。推論2: 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限x174。x0y174。y0y174。y0x174。x0x174。x0y174。y0limf(x,y)必不存在（可用于否定重極限的存在性）。222例13：求函數(shù)f(x,y)=xy22xy+(xy)在(0,0)的二次極限和二重極限。龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院第五篇：高等數(shù)學(xué)簡介教材與參考書高等數(shù)學(xué)教研組的幾位具有多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師于97年組織編寫了一套《高等數(shù)學(xué)》教材，由機(jī)械工業(yè)出版社出版，此教材是根據(jù)我校工科各專業(yè)特點(diǎn)而編寫，至2003年末已連續(xù)使用5屆，學(xué)生們及后續(xù)專業(yè)課教師普遍反映很好，2004年我們采用了面向21世紀(jì)國家級(jí)重點(diǎn)教材—同濟(jì)大學(xué)主編的《高等數(shù)學(xué)》（第五版）。此外，我校圖書館及應(yīng)用數(shù)學(xué)系資料室又購進(jìn)大批面向21世紀(jì)的國優(yōu)、省優(yōu)的相關(guān)教學(xué)參考書。（三）師資隊(duì)伍及學(xué)術(shù)水平《高等數(shù)學(xué)》課程由應(yīng)用數(shù)學(xué)系教師擔(dān)任，師資力量雄厚，有教師18人、其中教授5人、副教授4人，講師5人，助教4人，年齡均在50歲以下，平均年齡為37歲，職稱結(jié)構(gòu)合理，年齡結(jié)構(gòu)優(yōu)化，充滿生機(jī)和活力。部分教師已有20多年的教齡，具有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，帶動(dòng)和培養(yǎng)了青年教師的教學(xué)水平的提高。18人中有4人正在職攻讀博士學(xué)位，2人即將畢業(yè)，3人正在攻讀碩士學(xué)位（佐證材料參看附表一、二、三和五）。中、青年教師承擔(dān)了多項(xiàng)科研和教改課題，具有較強(qiáng)的教學(xué)和科研開發(fā)能力，近4年來，在各類學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文100余篇，統(tǒng)編教材4部，完成和正在承擔(dān)的科研和課程建設(shè)項(xiàng)目19項(xiàng)。其中國家級(jí)3項(xiàng)，省級(jí)3項(xiàng)，市校級(jí)10項(xiàng)，獲省級(jí)以上科研成果獎(jiǎng)勵(lì)3項(xiàng)（佐證材料參看附表六和附表七）。高職授課率為100%（參看附表四）（四）教學(xué)設(shè)備和圖書資料學(xué)校近幾年陸續(xù)建設(shè)了大量的多媒體教室，為一些課程進(jìn)行現(xiàn)代化教學(xué)提供了方便條件，近幾年，高等數(shù)學(xué)課的教學(xué)采用多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)手段相結(jié)合的方式，先后購買引進(jìn)、聯(lián)合開發(fā)、自主開發(fā)了本課程的三套教學(xué)課件。近四年里，應(yīng)用數(shù)學(xué)系資料室購置國內(nèi)外數(shù)學(xué)圖書500余冊，每年訂閱相關(guān)雜志30余種。（五）教學(xué)內(nèi)容、方法與基本要求理工類《高等數(shù)學(xué)》課程內(nèi)容做統(tǒng)一要求，其中包括：（1）極限與連續(xù)；（2）一元函數(shù)微分學(xué)；（3）一元函數(shù)積分學(xué)；（4）向量代數(shù)與空間解析幾何基礎(chǔ)；（5）多元函數(shù)微分學(xué)；（6）多元函數(shù)積分學(xué)。（7）級(jí)數(shù)；（8）微分方程。（佐證材料參看附表十六到附表二十三）。課程的基本要求：提煉經(jīng)典數(shù)學(xué)內(nèi)容、加強(qiáng)近代數(shù)學(xué)知識(shí)及前沿的內(nèi)容。三百多年來，高等數(shù)學(xué)理論的發(fā)展推動(dòng)和促進(jìn)了許多工程技術(shù)學(xué)科的形成，在高等數(shù)學(xué)有限的學(xué)時(shí)內(nèi)為了打開接觸現(xiàn)代高科技領(lǐng)域的窗口，使其具有較強(qiáng)的可持續(xù)發(fā)展性。教學(xué)方法的改革，本課程在長期的教學(xué)實(shí)踐中形成了如下“三結(jié)合”的特色：（1）教學(xué)與科研相結(jié)合。為了從根本上提高教學(xué)質(zhì)量，教師應(yīng)該努力提高科研水平，將當(dāng)代最新的科研成果滲透到課堂中，才能為學(xué)生指明正確的方向。近幾年來，我們發(fā)表科研及教學(xué)法研究論文 篇，主持國家級(jí)科研項(xiàng)目 3 項(xiàng)，主持省部級(jí)科研項(xiàng)目5 項(xiàng)。（2）教學(xué)手段與教學(xué)內(nèi)容改革相結(jié)合。幾年來，自主開發(fā)、聯(lián)合開發(fā)、購買引進(jìn)高等數(shù)學(xué)CAI課件3套，極大地豐富了教學(xué)手段，同時(shí)，鼓勵(lì)教師開展豐富多彩的課外輔助教學(xué)，并準(zhǔn)備開設(shè)網(wǎng)上答疑系統(tǒng)。在教學(xué)內(nèi)容上，將數(shù)學(xué)建模的思想滲透到理論教學(xué)中，結(jié)合教學(xué)進(jìn)度，將數(shù)學(xué)軟件Maple、Matlab介紹展示給學(xué)生，增強(qiáng)了學(xué)生的應(yīng)用技能。（3）參加數(shù)學(xué)建模競賽與教學(xué)改革相結(jié)合。通過參加數(shù)學(xué)建模競賽，使得廣大教師擺脫了傳統(tǒng)教學(xué)體系的束縛，廣泛借鑒了兄弟院校的教學(xué)改革經(jīng)驗(yàn)，將數(shù)學(xué)建模競賽中思想、方法滲透到日常的理論教學(xué)之中，并通過課件的反復(fù)修改提煉，使全體教師的教學(xué)水平進(jìn)一步提高。（六）現(xiàn)代化教學(xué)先后購買引進(jìn)、聯(lián)合開發(fā)、自主開發(fā)了本課程的三套CAI課件，連續(xù)四年來（02——06年）廣泛開展了教學(xué)手段與教學(xué)內(nèi)容的改革。普遍采用多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)手段，將數(shù)學(xué)建模的思想方法、Maple 與Matlab等當(dāng)代數(shù)學(xué)軟件的基本功能，滲透穿插于理論教學(xué)的全過程，突出應(yīng)用技能的培養(yǎng)。（佐證材料參看附表二十五）。（七）建立和使用試題庫96年引進(jìn)西安交通大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》試題庫，04年又購買了其升級(jí)版，使用近8年，01年引進(jìn)高教出版社出版的《線性代數(shù)》、《復(fù)變函數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》和《近代數(shù)學(xué)學(xué)》試題庫，近六年的《高等數(shù)學(xué)》考試完全由試題庫組題。（佐證材料參看附表二十四）（八）考核方式經(jīng)過多年的教學(xué)實(shí)踐，我們總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，制定了嚴(yán)格、細(xì)致的命題實(shí)施細(xì)則和評卷實(shí)施細(xì)則，在日常教學(xué)與考核方式上實(shí)行“五統(tǒng)一”，即：統(tǒng)一教學(xué)大綱、統(tǒng)一教學(xué)日歷、統(tǒng)一命題、統(tǒng)一閱卷、統(tǒng)一學(xué)生評教系統(tǒng)。（佐證材料參看附表十六到附表二十三以及附表三十二、附表三十三和附表三十四）。（九）課程建設(shè)近五年來，高等數(shù)學(xué)課程申報(bào)了多項(xiàng)省級(jí)及校級(jí)課程立項(xiàng)并獲得批準(zhǔn)，資助金額十余萬。提供了參加學(xué)術(shù)會(huì)議、購買圖書資料、教材的建設(shè)、多媒體課件的開發(fā)等經(jīng)費(fèi)。通過近幾年的建設(shè)，今年準(zhǔn)備申報(bào)校及省級(jí)精品課。（佐證材料參看附表十）。（十）青年教師培養(yǎng)近五年來，我們引進(jìn)中青年教師6人，其中原來是高校教師的1人，科研單位的1人，博士畢業(yè)生1人，碩士畢業(yè)生3人（現(xiàn)1人已獲得博士學(xué)位，1人在讀博士），本科畢業(yè)生2人（1人已獲得碩士學(xué)位，1人在讀碩士）。一直以來，我們非常重視教師隊(duì)伍的建設(shè)，對青年教師的培養(yǎng)尤為重要，青年教師入校時(shí)，校內(nèi)組織崗前培訓(xùn)，分配到各院系后，院系制定詳細(xì)的培養(yǎng)計(jì)劃，每一位青年教師都有專門的老教師進(jìn)行指導(dǎo)培養(yǎng)。院里多次組織青年教師的教學(xué)比賽，選拔出幾名優(yōu)秀的教師參加校級(jí)的教學(xué)比賽，其中我系青年教師趙冰、李靜、張彥分獲得燕山大學(xué)青年教師教學(xué)基本功競賽一、二等獎(jiǎng)。組織青年教師聆聽優(yōu)秀教師講課，聽名師講座和知識(shí)創(chuàng)新講座。鼓勵(lì)青年教師繼續(xù)深造，近四年有4名教師考取博士生和2名教師考取碩士生，其中1名博士和1名碩士已畢業(yè)。（佐證材料參看附表十三和附表十四）。（十一）教學(xué)組織管理與教學(xué)研究改革嚴(yán)格執(zhí)行學(xué)校的教學(xué)規(guī)章制度，教學(xué)日歷科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，課前準(zhǔn)備充分，有完整的教案及講義，課堂教學(xué)嚴(yán)肅認(rèn)真，內(nèi)容傳授條理清楚，語言表達(dá)準(zhǔn)確，課后輔導(dǎo)答疑細(xì)致、耐心，學(xué)生作業(yè)批改及時(shí)、認(rèn)真。堅(jiān)持聽課制度，教師之間互相聽課，互相交流，實(shí)行年輕教師的導(dǎo)師負(fù)責(zé)制（佐證材料參看附表十一）。組織全體教師積極投入到教學(xué)研究和教學(xué)改革中，2005年申報(bào)成功校級(jí)課程建設(shè)項(xiàng)目“工科高等數(shù)學(xué)教學(xué)課程體系的建設(shè)”，從課程體系、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段、考核方式、實(shí)踐環(huán)節(jié)等各方面對本課程進(jìn)行全方位改革和建設(shè)。（佐證材料參看附表七）。