【正文】 可以看看什么情況下利用了極限的保號(hào)性，例如：題目中有一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零，或者給定義數(shù)值，可以根據(jù)這個(gè)數(shù)值大于零或小于零，像這樣的情況，就可以寫出這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義，利用極限的保號(hào)性，得出相應(yīng)的結(jié)論，切記要根據(jù)題目要求來判斷是否需要，但首先要有這樣的思路，希望同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)多去總結(jié)。第三，極限的計(jì)算。這一部分是重中之重，這也是三大計(jì)算中的第一大計(jì)算，每年必考的題目，所以需要同學(xué)們能夠熟練地掌握并會(huì)計(jì)算不同類型的極限計(jì)算。首先要知道基本的極限的計(jì)算方法，比如：四則運(yùn)算、等價(jià)無(wú)窮小替換、洛必達(dá)法則、重要極限、單側(cè)極限、夾逼定理、單調(diào)有界收斂定理，除此之外還要泰勒展開，利用定積分定義求極限。其次還要掌握每一種極限計(jì)算的注意事項(xiàng)及拓展，比如：四則運(yùn)算中掌握“抓大頭”思想(兩個(gè)多項(xiàng)式商的極限，是無(wú)窮比無(wú)窮形式的，分別抓分子和分母的最高次計(jì)算結(jié)果即可)，等價(jià)無(wú)窮小替換中要掌握等價(jià)無(wú)窮小替換只能在乘除法中直接應(yīng)用，加減法中不能直接應(yīng)用，如需應(yīng)用必須加附加條件，計(jì)算中要掌握基本的等價(jià)無(wú)窮小替換公式和其推廣及湊形式，進(jìn)一步說就是第一要熟練掌握基本公式，第二要知道怎么推廣，也就是將等價(jià)無(wú)窮小替換公式中的x用f(x)來替換，并且要驗(yàn)證在x趨于某一變化過程中f(x)會(huì)否趨近于零，滿足則可以利用推廣后的等價(jià)無(wú)窮替換公式，否則不能。下面給出推廣后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)1～ln(f(x)+1),1cosf(x)～(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。第三要能將變形的無(wú)窮小替換公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，比如：公式中固定出現(xiàn)的“1”和f(x)為無(wú)窮小量。希望同學(xué)們?cè)谧鲱}目的時(shí)候多加注意，熟能生巧?？佳懈邤?shù)：極限中的“極限”(二)前面我們已經(jīng)介紹了等價(jià)無(wú)窮小替換公式的應(yīng)用及注意事項(xiàng)，接下來，跨考教育數(shù)學(xué)教研室佟老師為大家繼續(xù)說說極限的計(jì)算方法。極限的第三種方法就是洛必達(dá)法則。首先，要想在極限中使用洛必達(dá)法則就必須要滿足洛必達(dá)法則，說到這里有很多同學(xué)會(huì)打個(gè)問號(hào)，什么法則，不就是上下同時(shí)求導(dǎo)?其實(shí)不盡然。洛必達(dá)有兩種，無(wú)窮比無(wú)窮，零比零，分趨近一點(diǎn)和趨近于無(wú)窮兩種情況，以趨近于一點(diǎn)來說明法則條件，條件一：零比零或者無(wú)窮比無(wú)窮(0/0，∞/∞)。條件二：趨近于這一點(diǎn)的去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且分母導(dǎo)數(shù)不為零。條件三：分子導(dǎo)數(shù)比分母導(dǎo)數(shù)的極限存在或者為無(wú)窮，則原極限等于導(dǎo)數(shù)比的極限。在這里要注意極限計(jì)算中使用洛必達(dá)法則必須同時(shí)滿足這三個(gè)條件，缺一不可，特別要注意條件三，導(dǎo)數(shù)比的極限一定是存在或者為無(wú)窮，不能把無(wú)窮認(rèn)為是極限不存在，因?yàn)闃O限不存在還包括極限不存在也不為無(wú)窮這種情況，比如：x趨近于零，sin(1/x)的極限不存在也不為無(wú)窮。每次使用都必須驗(yàn)證三條件是否同時(shí)滿足。再來看看重要極限，重要極限有兩個(gè)，一個(gè)是x趨近于零時(shí)，sinx/x趨近于零，另一個(gè)是x趨近于零時(shí)，(1+x)1/x趨近于e，或者寫成x趨近于無(wú)窮，(1+1/x)x趨近于e(1∞形式)，總結(jié)起來就是(1+無(wú)窮小量)無(wú)窮小量的倒數(shù)，所以要記住重要極限的特點(diǎn)，并可以將其推廣，即把x換成f(x)，在f(x)趨近零，sinf(x)/f(x)趨近于零，(1+f(x))1/f(x)趨近于e，或f(x)趨近無(wú)窮，(1+1/f(x))f(x)趨近于e，還要注意當(dāng)給你冪指函數(shù)的極限計(jì)算，先要判斷他是不是1∞形式，如果是，就可以考慮利用重要極限解決，湊出相應(yīng)的形式就可以得出結(jié)論。這里還要特別的提一下幾個(gè)未定式(∞∞，0∞，1∞，00，∞∞)，這五個(gè)未定式需要轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞,其中∞∞可以通過通分、提取或者代換將其轉(zhuǎn)化，0∞可以將0或者∞放在分母上，以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，1∞，00，∞∞利用對(duì)數(shù)恒等變化來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，其中1∞還可以利用重要極限計(jì)算。綜上所述，等價(jià)無(wú)窮小替換和重要極限要掌握基本公式和推廣，可以將任意變形公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，并且給定一個(gè)極限首要任務(wù)就是利用等價(jià)無(wú)窮替換公式化簡(jiǎn)。洛必達(dá)法則處理七種未定式，靈活地將不同形式的極限轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞，計(jì)算時(shí)注意滿足洛必達(dá)法則的三個(gè)條件，希望同學(xué)們可以掌握基礎(chǔ)，靈活地解決不同類型的極限。第五篇：高等數(shù)學(xué)167。 多元函數(shù)的極限和連續(xù)一 多元函數(shù)的概念不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實(shí)際問題中，許多量的變化，不只由一個(gè)因素決定，而是由多個(gè)因素決定。例如平行四邊行的面積A由它的相鄰兩邊的長(zhǎng)x和寬y以及夾角q所確定,即A=xysinq。圓柱體體積V由底半徑r和高h(yuǎn)所決定,即V=pr2h。這些都是多元函數(shù)的例子。一般地，有下面定義：定義1: 設(shè)E是R2的一個(gè)子集，R是實(shí)數(shù)集，f是一個(gè)規(guī)律，如果對(duì)E中的每一點(diǎn)(x,y)，通過規(guī)律f，在R中有唯一的一個(gè)u與此對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在E上的一個(gè)二元函數(shù)，它在點(diǎn)(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u=f(x,y)。有時(shí)，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x=Rxy222就是一個(gè)上半球面，球心在原點(diǎn)，半徑為R，此函數(shù)定義域?yàn)闈M足關(guān)系式x2+y2163。R2的x，y全體，即D={(x,y)|x2+y2163。R2}。又如，Z=xy是馬鞍面。二 多元函數(shù)的極限定義2設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f(M)=f(x,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)206。E附近有定義．如果e0，$d0，當(dāng)0r(M,M0)d時(shí)，有f(M)Ae，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf(MM174。M0)=A或f(M)174。A(M174。M0)。定義的等價(jià)敘述1 ：設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f(M在點(diǎn)0)=f(x,y)M0(2x,0y0)206。2E近有定義．如果e0附，$d0，當(dāng)(xx0)+(yy0)d時(shí)，有f(x,y)Ae，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院限。記為limf(MM174。M0)=A或f(M)174。A(M174。M0)。定義的等價(jià)敘述2： 設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f(M在點(diǎn)M0(x,0y0)206。)=f(x,y)附E近有定義．如果e0，$d0，當(dāng)0xx0d,0yy0d且(x,y)185。(x0,y0)時(shí)，有f(x,y)Ae，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf(MM174。M0)=A或f(M)174。A(M174。M0)。注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(M)=A，則當(dāng)M以任何點(diǎn)列及任何方式趨M174。M0于M0時(shí)，f(M)的極限是A；反之，M以任何方式及任何點(diǎn)列趨于M0時(shí)，f(M)的極限是A。但若M在某一點(diǎn)列或沿某一曲線174。M0時(shí)，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。例1：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)=xyx+yxyx+y22222，討論在點(diǎn)(0,0)的的二重極限。例2：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)=2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限是否存在。236。239。0,例3：f(x,y)=237。239。238。1,x163。y其它或y=0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢(shì)，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。例4：limx+yxxy+ysinxyx22。x174。165。y174。165。例5：① limx174。0y174。0② lim(x+y)ln(x+y)③ lim(x+y)ex174。0y174。0x174。165。y174。165。2222222(x+y)例6：求f(x,y)=xy3223x+y在（０，０）點(diǎn)的極限，若用極坐標(biāo)替換則為limrr174。0cosqsinqcosq+sinq3322=0?龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院（注意：cos3q+sin3q在q=7p4時(shí)為０，此時(shí)無(wú)界）。xyx+y222例7：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)=證明二元極限不存在的方法．，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限．基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個(gè)特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個(gè)特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說明極限與輻角有關(guān)．例8：f(x,y)=xyx+y22在(0,0)的二重極限不存在．三二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)f(M)在M0點(diǎn)有定義，如果limf(M)=f(M0)，則稱f(MM174。M0)在M0點(diǎn)連續(xù)．e0,$d0,當(dāng)0如果f在開集E內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱f在E內(nèi)連續(xù)，或稱f是E內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。例9：求函數(shù)u=tan(x2+y2)的不連續(xù)點(diǎn)。四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理：若f(x,y)再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。一致連續(xù)性定理: 若f(x,y)再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。最大值最小值定理: 若f(x,y)再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。零點(diǎn)存在定理:設(shè)D是Rn中的一個(gè)區(qū)域，P0和P1是D內(nèi)任意兩點(diǎn)，f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果f(P0)0，f(P1)0，則在D內(nèi)任何一條連結(jié)P0,P1的折線上，至少存在一點(diǎn)Ps，使f(Ps)=0。龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院五二重極限和二次極限在極限limf(x,y)中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重x174。x0y174。y0極限（二重極限）．此外，我們還要討論當(dāng)x,y先后相繼地趨于x0與y0時(shí)f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：若對(duì)任一固定的y，當(dāng)x174。x0時(shí)，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)=j(y),而j(y)x174。x0在y174。y0時(shí)的極限也存在并等于A，亦即limj(y)=A，那么稱A為f(x,y)先對(duì)x，再y174。y0對(duì)y的二次極限，記為limlimf(x,y)=A．y174。y0x174。x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．x174。x0y174。y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。注：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例10：（二重極限存在，但兩個(gè)二次極限不存在）．設(shè)11236。xsin+ysin239。yxf(x,y)=237。239。0238。x185。0,y185。0x=0ory=0由f(x,y)163。x+y 得limf(x,y)=0（兩邊夾）。由limsinx174。0y174。01y不存在知f(x,y)的累次y174。0極限不存在。例11：（兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)f(x,y)=xyx+y22，(x,y)185。(0,0)由limlimf(x,y)=limlimf(x,y)=0知兩個(gè)二次極限存在且相等。但由前面知x174。0y174。0y174。0x174。0limf(x,y)不存在。x174。0y174。0例12：（兩個(gè)二次極限存在，但不相等）。設(shè)f(x,y)=xyx+y2222，(x,y)185。(0,0)龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院則 limlimf(x,y)=1，limlimf(x,y)=1。limlimf(x,y)185。limlimf(x,y)（不x174。0y174。0y174。0x174。0x174。0y174。0y174。0x174。0可交換）上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會(huì)有一些聯(lián)系。定理1:設(shè)（1）二重極限limf(x,y)=A；（2）y,y185。y0，limf(x,y)=j(y).則x174。x0y174。y0x174。x0y174。y0limj(y)=limlimf(x,y)=A。y174。y0x174。x0（定理1說明：在重極限與一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。推論1:設(shè)（1）limf(x,y)=A；（2）（3）y,y185。y0，limf(x,y)存在；x,x185。x0，x174。x0y174。y0x174。x0y174。y0limf(x,y)存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限y174。y0x174。x0x174。x0y174。y0x174。x0y174。y0limf(x,y)。推論2: 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限x174。x0y174。y0y174。y0x174。x0x174。x0y174。y0limf(x,y)必不存在（可用于否定重極限的存在性）。222例13：求函數(shù)f(x,y)=xy22xy+(xy)在(0,0)的二次極限和二重極限。龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院