高等數(shù)學(xué)練習(xí)答案-資料下載頁
2025-06-08 00:17本頁面
【正文】 . 因此微分方程為. (2)解方程. 微分方程的特征方程為r2+104r+5107=0, 其根為r 1, 2=5180。103177。5180。103i. 因此對應(yīng)的齊次方程的通解為 . 由觀察法易知y*=20為非齊次方程的一個特解. 因此非齊次方程的通解為 . 由t=0時, u c=0, uc162。=0, 得C1=20, C2=20. 因此 (V), (A). 5. 一鏈條懸掛在一釘子上, 起動時一端離開釘子8m另一端離開釘子12m, 分別在以下兩種情況下求鏈條滑下來所需的時間: (1)若不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦力。 解 設(shè)在時刻t時, 鏈條上較長的一段垂下xm, 且設(shè)鏈條的密度為r, 則向下拉鏈條下滑的作用力 F=xrg(20x)rg=2rg(x10). 由牛頓第二定律, 有 20rx162。162。=2rg(x10), 即. 微分方程的特征方程為 , 其根為, 故對應(yīng)的齊次方程的通解為 . 由觀察法易知x*=10為非齊次方程的一個特解, 故通解為 . 由x(0)=12及x162。(0)=0得C1=C2=1. 因此特解為 . 當(dāng)x=20, 即鏈條完全滑下來時有, 解之得所需時間 s. (2)若摩擦力為1m長的鏈條的重量. 解 此時向下拉鏈條的作用力變?yōu)? F=xrg(20x)rg1rg=2rgx21rg 由牛頓第二定律, 有 20rx162。162。=2rgx21rg, 即. 微分方程的通解為 . 由x(0)=12及x162。(0)=0得. 因此特解為 . 當(dāng)x=20, 即鏈條完全滑下來時有, 解之得所需時間 s. 6. 設(shè)函數(shù)j(x)連續(xù), 且滿足 , 求j(x). 解 等式兩邊對x求導(dǎo)得 , 再求導(dǎo)得微分方程 j162。162。(x)=exj(x), 即j162。162。(x)+j(x)=ex. 微分方程的特征方程為 r2+1=0, 其根為r1, 2=177。i, 故對應(yīng)的齊次方程的通解為 j=C1cos x+C2sin x. 易知是非齊次方程的一個特解, 故非齊次方程的通解為 . 由所給等式知j(0)=1, j162。(0)=1, 由此得. 因此 .
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